1.3.2极大值与极小值

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,*,高中数学,选,修,-,1.3.2,极大值与极小值,1),如果在某区间上,f,(,x,),0,，那么,f,(,x,),为该区间上的,增,函数，,2),如果在某区间上,f,(,x,),0,，那么,f,(,x,),为该区间上的,减,函数,一般地， 设函数,y,f,(,x,),，,a,b,y=f(x),x,o,y,y=f(x),x,o,y,a,b,导数,与函数的,单调性,的关系,知识回顾：,（,2,）,求导数,f,(,x,),（,1,）,求,y,f,(,x,),的定义域,D,（,4,）,与定义域求交集,利用导数讨论函数单调的步骤,:,（,5,）,写出单调区间,（,3,）,解不等式,f,(,x,),0,；,或解不等式,f,(,x,),0,.,（问题情境）,观察下图中,P,点附近图象从左到右的变化趋势、,P,点的函数值以及点,P,位置的特点,o,a,x,1,x,2,x,3,x,4,b,x,y,P,(,x,1,f,(,x,1,),y=f,(,x,),Q,(,x,2,f,(,x,2,),函数图象在,P,点附近从左侧到右侧由“上升,”,变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在,P,点,附近,，,P,点的位置最高，函数值最大,4,函数极值的定义,一般地，设函数,f,(,x,),在,点,x,0,附近有定义,，,如果对,x,0,附近的所有的点,都有,f,(,x,),f,(,x,0,),我们就说,f,(,x,0,),是函数,f,(,x,),的一个极大值,记作,y,极大值,=,f,(,x,0,),；,如果对,x,0,附近的所有的点,都有,f,(,x,),f,(,x,0,),，,我们就说,f,(,x,0,),是函数,f,(,x,),的一个极小值，记作,y,极小值,=,f,(,x,0,),.,极大值与极小值同称为极值,.,取得极值的点称为极值点,数学建构,（,1,）,极值是某一点附近的小区间而言 的,是函数的局部性质,不是整体的最值,;,（,2,）,函数的极值不一定惟一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；,（,3,）,极大值与极小值的大小没有必然关系，极大值可能比极小值还小,.,（,4,）,极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能作为极值点,.,学生活动,o,a,x,1,x,2,x,3,x,4,b,x,y,P,(,x,1,f,(,x,1,),y=f,(,x,),Q,(,x,2,f,(,x,2,),（,1,）,极值是函数的最值吗？,（,2,）,函数的极值只有一个吗？,（,3,）,极大值一定比极小值还大吗,？,x,x,0,左侧,x,0,x,0,右侧,f,(,x,),f,(,x,),观察图象并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系,?,o,a,x,0,b,x,y,o,a,x,0,b,x,y,x,x,0,左侧,x,0,x,0,右侧,f,(,x,),f,(,x,),增,f,(,x,),0,f,(,x,),=0,f,(,x,),0,极大值,减,f,(,x,),0,数学建构,请问如何判断,f,(,x,0,),是极大值或是极小值？,左正右负为极大，右正左负为极小,7,函数,y,=,f,(,x,),的导数,y,/,与函数值和极值之间的关系为,( ),A,导数,y,/,由负变正,则函数,y,由减变为增,且有极大值,B,导数,y,/,由负变正,则函数,y,由增变为减,且有极大值,C,导数,y,/,由正变负,则函数,y,由增变为减,且有极小值,D,导数,y,/,由正变负,则函数,y,由增变为减,且有极大值,D,学生活动,例,1,：,求,f,(,x,),x,2,x,2,的极值,.,解：,因此，当,x, 时，,f,(,x,),有极小值,f,( ), ,f,(,x,),2,x,1,，令,f,(,x,),0,，解得,x, 列表：,请思考求可导函数的极值的步骤,:,检查,在方程,0,的根的左右两侧的,符号，确定极值点,(,通过列表法,),确定函数的定义域；,求导数,求方程,=0,的根,这些根也称为,可能,极值点；,一览众山小,强调,:,要想知道,x,0,是极大值点还是极小值点就必须判断,f,(,x,0,),0,左右侧导数的符号,.,10,f,(,x,),f,(,x,),x,当,x,2,时,y,极小值,5,；,当,x,2,时,y,极大值,.,(-,-2),2,(,2,2),2,(2,),+,0,0,-,+,极大值,极小值,5,解,:,f,(,x,),x,2,4,，由,f,(,x,),0,解得,x,1,2,，,x,2,2.,当,x,变化时，,f,(,x),、,f,(,x,),的变化情况如下表：,小吃篇,求下列函数的极值,探索：,x,0,是否为函数,f,(,x,),x,3,的极值点,?,渐入佳境篇,x,y,O,f,(,x,),x,3,若寻找可导函数极值点,可否只由,f,(,x,),=,0,求得即可,?,f,(,x,),=3,x,2,，当,f,(,x,),=0,时，,x,0,，而,x,0,不是,该函数的极值点,.,f,(,x,0,),=0,x,0,是可导函数,f,(,x,),的极值点,x,0,左右侧导数异号,x,0,是函数,f(x),的极值点,f,(,x,0,),0,注意：,f,/,(,x,0,),0,是函数取得极值的必要不充分条件,13,例,3,、若函数,f,(,x,),ax,3,bx,4,，当,x,2,时，,函数,f,(,x,),有极值,(1),求函数,f,(,x,),的解析式；,(2),若关于,x,的方程,f,(,x,),k,有三个零点，,求实数,k,的取值范围,小试牛刀篇,(,数学运用,),一吐为快篇,（小结）,本节课主要学习了哪些内容？,请想一想？,1,极值的判定方法,2,极值的求法,注意点：,1,f,/,(,x,0,),0,是函数取得极值的必要不充分条件,2,数形结合以及函数与方程思想的应用,3,要想知道,x,0,是极大值点还是极小值点就必须判断,f,(,x,0,),0,左右侧导数的符号,.,