机械振动学习题解答(二)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,机械振动学,习题解答（二）,2013-04-19,4,1,如图所示，质量为,m,的油缸与刚度为,k,的弹簧相连，通过阻尼系数为,c,的黏性阻尼器以运动规律,y,=,A,sin,t,的活塞给予激励，求油缸运动的振幅以及它相对于活塞的相位。,解：,设油缸位移为,x,，活塞位移为,y,，对油缸建立方程,即,方程的解为,x,的振幅,而活塞的运动为,所以,x,相对于,y,的相位差,y,c,m,k,x,相位,4,2,如图所示，质量可忽略的直角刚性杆可绕铰链,O,自由转动，弹簧一端有简谐位移扰动,A,cos,t,。试导出系统的振动微分方程，并求系统的稳态响应。,解：,设刚性杆向顺时针方向转动,角，则图中,B,点的位移和速度分别为,对刚性杆用动量矩定理,c,m,k,A,cos,t,mg,a,L,由 化简得微分方程,B,微分方程,稳态响应,其中,或,其中,4,3,求弹簧,-,质量系统在库仑阻尼和简谐激励力,F,0,sin,t,作用下的振幅。在什么条件下运动能继续？,解：,库仑阻尼的等效阻尼系数,振幅,上式可化简为,要使运动能继续，,X,不能为虚数，所以,4,5,带结构阻尼的单自由度系统，若刚度和阻尼的作用可用复数形式 表示，系统的等效质量为,m,，求系统在简谐激励下的响应。,解：,系统的微分方程为,设系统的稳态响应,，代入上式得,解得,所以,其中,4,7,弹性支承的车辆沿高低不平的道路运行可用图示单自由度系统模拟。若每经过距离为,L,的路程，路面的高低按简谐规律变化一次，试求出车辆振幅与运行速度,v,之间的关系，并确定最不利的运行速度。,解：,将路面看成简谐激励，其周期,，则角频率,系统方程为,稳态响应,振幅,系统发生共振时为最不利的情况,4,8,图示系统中，集中质量,m =,20 kg,，弹簧刚度,k =,3.5 kN/m,，阻尼器的黏性阻尼系数为,c =,0,.,2 kNs/m,，凸轮的转速为,60r/min,，行程为,0.01m,。试求系统的稳态响应。,解：,设凸轮的行程为,a,，则凸轮的位移可表示为,，并由题意知：,a,= 0.01m,，周期,= 1s,。,将,x,0,(,t,),展开为,Fourier,级数,其中,所以,奇函数的,Fourier,级数只有正弦项，偶函数只有余弦项。,系统的微分方程为,即,于是稳态响应,静载荷,多个简谐激励,其中,4,9,一个弹簧,-,质量系统从倾斜角为,30,的光滑斜面下滑。求弹簧从开始接触挡板到脱开挡板的时间。,解：,设弹簧接触挡板的时刻为,t,=0,，此后质量,块做无阻尼自由振动，,以弹簧平衡位置为原,点,，其运动方程为,t,=0,时的初速度,初始位移（即弹簧自由长度与静平衡长度的差值）,质量块的运动规律为,求出运动规律后，要求弹簧从开始接触挡板到脱开挡板的时间，有两种办法。,m,k,S,解法二：,将此简谐运动写作,式中,由图可见，弹簧从接触挡板到脱离的时间为,解法一：,设弹簧运行至最低点时,t,=,，则弹簧脱离挡板的时刻应为,t,= 2,。,令 ，可得,弹簧从接触挡板到脱离的时间为 。,2,0,x,0,5,5,机器质量为,453.4kg,，安装时使支承弹簧产生的静变形为,5.08mm,，若机器的旋转失衡为,0.2308kgm,，求：,在,1200 r/min,时传给地面的力；在同一速度下的动振幅,。,解：,旋转失衡的微分方程为,振幅,其中,所以,传给地面的力,5,6,如果题,5-5,的机器安装在质量为,1136kg,的大混凝土基础上，增加基础下面弹簧的刚度，使弹簧静变形为,5.08mm,，则,动振幅将是多少？,解：,频率比,振幅,（与上题相同）,（比上题小了）,5,7,质量为,113kg,的精密仪器通过橡皮衬垫装在基础上，基础受到频率为,20Hz,、幅值为,15.24cm/s,2,的加速度激励，设橡皮衬垫有如下参数：,k,=2802N/cm,，,=0.1,，,问：传给精密仪器的加速度是多少,？,解：,微分方程,位移传递率,式中,加速度传递率,所以,5,9,机器重,2500kN,，弹簧刚度,k,=800kN/m,，阻尼比,=0.1,，干扰力频率与发动机转速相等。试问：在多大转速下，传递给基础的力幅大于激振力幅；传递力,幅为,激振力幅,20%,时的转速是多大,？,解：,力传递率,于是,故最大转速为,力传递率,于是,转速,5,10,一仪器要与发动机的频率从,1600,到,2200r/min,范围实现振动隔离，若要隔离,85%,，仪器安装在隔振装置上时，隔振装置的静变形应为多少,？,解：,根据传递率与频率比的关系曲线，要在,r,1,r,2,的频率区间内使隔振达到,85%,，只要在,r,1,时传递率,T,r,0.15,即可。,5,11,悬挂系统的固有频率为,0.5Hz,，箱子从,0.5m,高处落下，求所需的振荡空间,。,解：,设,x,为质量,m,的绝对位移，,y,为箱子的绝对位移，,z,为质量,m,相对于箱子的位移，当箱子做自由落体运动时，微分方程：,即,此系统受到阶跃激励，其响应为,（课本,p.110,）,此运动一直持续到箱子落地的时刻，设此时刻为,t,1,，则,将,t,1,代入,z,(,t,),的表达式，可得此时的位移和速度，分别记为,箱子落地后，相对速度,瞬间增加了,gt,1,，而相对位移不变，即,此后，质量,m,做有阻尼自由振动，初始条件即为,其响应为,（课本,p.54,式,(3-53),）,求此响应的最大幅值即为箱子所需的振荡空间。,两大通用方法：,1 Duhamel,积分,2 Laplace,变换,特殊函数激励的响应（,无阻尼系统,）：,1,单位脉冲响应,2,阶跃激励,F,(,t,)=,F,0,的响应,3,斜坡激励,F,(,t,)=,at,的响应,单自由度系统瞬态激励下的响应,解：,t,t,0,时，系统响应有两种解法。,解法一：将激励看成两个阶跃函数的叠加，其响应分别为,4,11,如图所示，一弹簧,-,质量系统，从,t,= 0,开始作用一不变的,F,0,力，作用时间为,t,0,。求系统在,t,t,0,两种情况下的响应，并找出,t,t,0,时最大位移与,t,0,/,的关系。如果,t,0,与系统自振周期,相比很小，最大位移为多少？请与脉冲响应函数比较。,=,+,于是,解法二：,t,t,0,时系统作自由振动，初始条件为,于是,为求,t t,0,时的最大位移，上式可用,和差化积公式,改写为,最大值,当 时，,t,0,很小的阶跃响应与脉冲响应类似，但由于阶跃激励的瞬时值是有限值，而脉冲激励的瞬时值是无穷大，故二者仍有区别：,t,0,很小的阶跃响应最大值趋近于,0,，而脉冲响应不是。,4,12,如图所示，一单自由度无阻尼弹簧,-,质量系统，受到图示力的激励，用杜哈美积分求系统在,t,t,1,两种情况下的响应，并概略图示之。,解：,t,t,1,时，系统受到的激励可看成两个斜坡函数的叠加,=,+,因此系统的总响应为,如图所示,f,1,(,t,),和,f,2,(,t,),的响应分别为,于是,解：,t,t,0,时，仍然看成两个阶跃响应的叠加）,