114矩阵的其它运算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,矩阵的其它运算,矩阵的线性运算,转置矩阵与共轭转置矩阵,矩阵与矩阵,对角矩阵与准对角矩阵,1,一、矩阵的线性运算,定义,设和是两个同型矩阵，则把两个矩阵的对应元素相加而得到的矩阵称为矩阵与的和，记作,例如：,则,必须注意：只有两个同型的矩阵才能相加！,2,矩阵加法的运算规律,交换律,结合律,称作矩阵的负矩阵,由于矩阵乘法不满足交换律，故分配律有两个,3,数乘矩阵的概念我们已经介绍过即,对于数乘矩阵，下列运算律是成立的：,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的,线性运算.,（设 为矩阵， 为数）,当然AB要有意义,4,二、矩阵的转置与共轭转置,Transpose, conjugate,定义,把一个矩阵的行变成列，而列变成行所得到的新的矩阵叫原矩阵的转置矩阵矩阵的转置矩阵记作或,例如：,则,旋转变换,5,对于矩阵的转置运算，下列性质成立：,特别注意顺序！,共轭转置矩阵的概念与性质,定义,是复矩阵，若把其所有元素都改成共轭复数，得到矩阵的共轭矩阵；,的转置矩阵,叫的共轭转置矩阵,记作,即,例如,注意区分伴随矩阵！,6,对矩阵的共轭转置运算有下列性质：,特别注意(3)和(4)！,三、矩阵与矩阵,下面要介绍的是另外几种特殊的矩阵,矩阵与正交矩阵,定义,若一个矩阵满足条件,称为酉矩阵,特别地，如果是实矩阵，则称为正交矩阵,由此可知：正交矩阵不过是实的矩阵,Unitary, Hermite matrix,7,矩阵称为正交矩阵,其中最后的定义是数学中最常用的定义,例如,满足,故是正交矩阵,在后一种情况下，,故正交矩阵的定义可改为：,对应于矩阵和正交矩阵的线性变换是所谓的酉变换和正交变换,8,酉矩阵的几个重要性质：,（）,因此以上三式都可以当作是酉矩阵的定义,即每一行的元素的模的平方和等于，,其中第二式说明酉矩阵 的行满足正交条件,每一行的元素与另一行的对应元素的共轭复数的乘积之和为,9,而第三式说明酉矩阵的列是满足正交条件的,（）酉矩阵的行列式的模是,只须对等价定义中的第二式或第三式取行列式即可知,（）两个同阶矩阵的乘积是矩阵,（）若是矩阵，则 也是矩阵,把上面条性质中的酉矩阵换成正交矩阵，,换为,那么条性质也成立,为什么?,10,矩阵与对称矩阵,定义,如果方阵满足,则称为矩阵,厄米特Hermite矩阵,特别地，如是实矩阵，则是对称矩阵,即对称矩阵是特殊的厄米特矩阵,由定义可知：矩阵中，关于主对角线对称的元素是互相共轭的复数，即而对角线上元素全是实数,而对称矩阵的条件可改写为,其关于主对角线对称的元素必相等，即,对称阵在讨论二次型时起着关键的作用,11,如：,可以重新排列为,其中,这里的矩阵就是一个对称矩阵,而,12,四、对角矩阵与准对角阵,先前我们已经给出了对角矩阵为形如,的方阵，即除对角线上的元素外，其它元素全是,特别地，如果,则是数量矩阵,对于两个n阶对角矩阵的乘法，交换律是成立的，即,13,下面我们谈谈准对角矩阵的概念及最简单的性质,设为n阶方阵，则形如,的矩阵，其中,为,阶方阵，,而表示适当类型的零矩阵,这样的矩阵称为准对角矩阵或分块对角矩阵,型,由名称即可知道，准对角矩阵不过是分块矩阵的特殊情形关于一般的分块矩阵的内容请参看其他教材,14,矩阵分块是为了简化对较高阶数的矩阵的计算因为分块矩阵的运算非常简单,对同类型的分块对角矩阵,如果下面的运算都有意义，则运算性质有：,（）,15,（）,（）,（）,分块矩阵的运算似乎可以把每个子块当作矩阵的元素那样对待,16,（）,例,其中,17,其中,所以,18,故,19,例,设,解：,20,11.4,结束,21,