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,机动,目录 上页 下页 返回 结束,数学科学学院 陈建华,线性代数,向量,线性方程组,典型例题,线性方程组,习题课,2.,任一,n,维向量 都是,R,n,的基本单位向量组的线性组合,:,1.,是 的线性组合,(,可由 线性表示,),有解,(,组合系数就是方程组的一个解,),3.,可表示为,的线性组合,一、向量,有非零解,(,无,),(,只有零解,),r ,向量维数,，,其排成的行列式值为,0,向量组线性相关,.,其中至少有一个向量是其余向量的线性组合,定理,5.,向量组 线性相关,定理,8.,向量组与其极大无关组等价,.,推论,向量组的任意两个极大无关组等价,定理,7.,向量组,(I),可由,(II),，,(II),可由,(,),线性表示,向量组,(I),可由,(,),线性表示,定理,9,向量组 可由,线性表示,若,t s,，则向量组,线性相关,.,推论,1,(,逆否命题,),线性表示,线性无关,，且可由,定理,10,推论：,等价的向量组秩相等,.,可由 线性表示,推论,2,等价,的,线性无关,向量组所含向量个数相等,.,推论,3,向量组的所有极大无关组所含向量个数相等,.,定理,11,矩阵,A,的行秩列秩秩,重要结论,:,行变换不改变列向量间的线性关系,定理,1,设非齐次方程组,A,m,n,X,b,，则,(1),r,(,A,),r,(,A,),，,原方程组无解,(2),r,(,A,),r,(,A,),n,，,原方程组有唯一解,(3),r,(,A,),r,(,A,),n,，,原方程组有,无穷多组,解,返回,有解判定定理,二、线性方程组,推论,1,当齐次线性方程组方程个数,m,未知数个数,n,时，必有非零解,.,定理,2,设齐次方程组,A,m,n,X,O,，,r,(,A,),r,，则,(1),r,n,，,原方程组有唯一零解,(2),r,n,，,原方程组有非零解,(,有无穷多组解,),推论,2,若,齐次方程组,A,n,n,X,O,系数行列式,|,A,|,0,，则,必有非零解,.,齐次线性方程组 有非零解,解的判定定理,1.,齐次,线性方程组解的性质,1),两解之和仍是解,2),常数乘以解仍是解,一般地，解的线性组合仍是解,导出组,2.,非齐次,线性方程组解的性质,1),(1),的两解之差是其,导出组,的解,2),(1),的一解与其,导出组,的一解之和仍是,(1),的解,解的性质定理,1.,齐次,线性方程组解的结构,定义,：,齐次线性方程组解向量组的一个极大无关组称作齐次线性方程组的一个,基础解系,。,定理,3,对齐次线性方程组,(2),，若,r,(,A,),r,n,，,则基础解系存在，且均含,n,-,r,个解。,齐次,线性方程组,(2),当 不存在,基础解系,r,(,A,),n,时只有零解,当,r,(,A,),r,n,时,，有：,解的结构定理,2.,非齐次,线性方程组解的结构,定理,2,若 是,非齐次,线性方程组,(1),的一个解,是其,导出组,(2),的全部解,则方程组,(1),的全部解,(,通解,一般解,),为,(,k,1,k,2,k,n,-,r,为任意常数,),三、典型问题剖析,例,1,设,A,是,m,n,矩阵，则线性方程组,AX,=0,只有零解的充要条件是,A,的（ ）,(A),行向量组线性无关,(B),行向量组线性相关,(,C,),列向量组线性无关,(D),列向量组线性相关,，若,例,2,设矩阵,A,的伴随矩阵不为零， 是非齐次线性方程组,AX,b,的互不相等的解，则对应的齐次方程组,AX,O,的基础解系,(,),(,A,),仅含一个非零解向量,(B),含有两个线性无关的解向量,(C),不存在,(D),含有三个线性无关的解向量,（练习卷,P23,第二题第,3,题）,（练习卷,P23,第二题第,5,题）,例,3 (94,考研,),设向量组,求向量组的一个极大无关组，向量组的秩，并写出其余向量用该极大无关组的线性表达式,.,r,3,答案：,例,4 (95,考研,),已知向量组,(I) ; (II) ;(III) .,如果,各向量组的秩分别为,r,(I),r,(II),3,，,r,(III),4,，证明向量组,的秩为,4.,线性无关,线性相关,可由 线性表示,:,证：,设,（练习卷,P25,第四题第,6,题）,线性无关,k,1,=,k,2,=,k,3,=,k,4,=0,线性无关,请思考本题的其他解法,例,5,设 为非齐次线性方程组,AX=b,的一个解， 是其导出组,AX,=0,的一个基础解系，证明： 线性无关,（练习卷,P25,第四题第,4,题）,思考,（练习卷,P28,第六题）,例,6,设,证明：向量组 与 等价。,思考,设 是齐次线性方程组,AX=,0,的一个基础解系，,证明：,也是该方程组的一个基础解系,（练习卷,P25,第四题第,5,题）,（练习卷,P25,第四题第,2,题）,例,7,a,取何值时，下列线性方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在方程组有解时，求出它的解,（练习卷,P23,第三题第,2,题）,例,8,已知向量组,与,的秩相等，且 可以由 线性表示，求,a,b,（练习卷,P28,第七题）,课后作业：,P140-141,总习题三,三,1, 3,，,7, 8,历史寻根,
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