差分方程及其Z变换法求解

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,差分方程及其,Z,变换法求解,一、离散系统的差分方程模型,一阶前向差分方程：,一阶后向差分方程：,二阶前向差分方程：,二阶后向差分方程：,依此类推，可得,n,阶差分方程：,-,K,r,(,t,),e,(,t,),y,(,t,),1/,s,例,1,：,右图所示的一阶系统描述它的微分方程为,用一阶前向差分方程近似：,式中：,T,为采样周期，（,2,）代入（,1,）得：,二、离散系统差分方程的模拟图,连续系统采用积分器,s,-1,作为模拟连续系统微分方程的主要器件；与此相对应，在离散系统中，采用单位延迟器,z,-1,。,单位延迟器：,把输入信号延迟一个采样周期,T,秒或延迟,1,拍。,x,1,(kT),x,2,(kT),x,2,(,z,),x,1,(,z,),x,1,(0),1,例,2,：,画出例,2,所示离散系统的模拟图,由图：,r,(,kT,),KT,KT,-1,y,(,kT,),y,(,k+,1),T,-,三、差分方程的解,差分方程的求解：迭代法、,z,变换法。,迭代法：,将原系统的差分方程化为如下形式：,再利用初始条件，逐次迭代得到各采样时刻的值。,特点：适用于计算机处理求解。,例,3,：,用迭代法解二阶差分方程,y,(,k,+2),+3,y,(,k,+1)+2,y,(,k,)=1(,k,),利用初始条件,y,(0)=0,y,(1)=1,，则有：,y,(,k,+2) =-3,y,(,k,+1) -2,y,(,k,)+1(,k,),y,(2) =-3,y,(1) -2,y,(0)+1(0)= -3*1-2*0+1= -2,y,(3) =-3,y,(2) -2,y,(1)+1(1)= -3*(-2)-2*1+1= 5,。,例,3,：,用,Z,变换法解二阶差分方程,y,(,k,+2),T,+3,y,(,k,+1),T,+2,y,(,kT,)=1(,kT,),初始条件为：,y,(0)=0,y,(,T,)=1,y,(,k,+2) +3,y,(,k,+1) +2,y,(,k,)=1(,k,),初始条件为：,y,(0)=0,y,(1)=1,Z,变换法：,是用,z,变换实数位移定理、将差分方程化为以,z,为变量的代数方程，然后进行,z,反变换，求出各采样时刻的响应。,Z,变换法得到解的收敛表达式，而不是级数形式，更具有直观性，便于理论分析与研究。,解,:,解,:,例,4,：,求,y,(,k,+2),T,+,y,(,k,+1)+0.24,y,(,kT,)=,u,(,kT,),在单位阶跃函数作用下的解。初始条件,y,(0)=0,y,(,T,)=1,。,