2在恒定电场作用下电子的运动

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,见黄昆书,5.2,节,p245,本节以一维紧束缚近似下能带论的结果为例，进一步讨论晶体中电子在恒定外电场作用下的运动规律，以加深对,Bloch,电子的理解。,在,k,空间中的运动图象,在实空间中的运动图象,7.2,在恒定电场作用下电子的运动,1,一维紧束缚近似：,i,为某原子能级。设,J,1,0,，则,k,0,点为能带底；,k,/a,为能带顶。,在能带底,k,= 0,和能带顶,k,=,/a,处，电子速度,v,(,k,)=0,；,而在,k= /2a,处，,v,(,k,),分别为极大和极小。,2,一维紧束缚近似下的,E,(k),v,(k), m*,随,k,值的变化如上图。图中只画出一个能带，且只是绘出第一布里渊区。从图中明显看出在带底和带顶处，电子速度为零。中间有极大和极小值，带底处：,m*0,，带顶处：,m*0,，,外力作用使电子加速，,v,增大，当到达 时，,m*,，,速度,v,到达极大，,k,超过该点后，,m* 0,，外力作,用使电子减速，直至 时，速度为零，这时电子处,于带顶，,m*0,，使反向速,度减小，直至,k = 0,处，,v = 0,。这就是在恒定外场作用下,速度的振荡。（见前面图）,6,二,.,在实空间中的运动图象,E,x,=0,E,x,受电场作用，能带倾斜,电子速度的振荡，意味着电子在实空间（坐标空间）的振荡，因为,E,(,k,),表示的是电子在周期场中的能量本征值，当有外电场时，会附加一个静电位能,使能带发生倾斜，如图所示。,7,A,B,C,电子速度的周期性振荡也就是电子在实空间中的振荡,。设,t = 0,时电子在较低的能带底,A,点，在电场力的作用下，电子从（能,带底）,A,B,C,（能带顶），对应于电子从,k,= 0,运动到,在,C,点电子遇到能隙，相当于存在一个势垒。在准经典运动,中，,电子被限制在同一能带中运动，因此电子遇到势垒后将全,部被反射回来，,电子从,C,B,A,，对应于,k,=,/,a,到,k,= 0,的运,动，完成一次振荡过程。,电场作用下，电子在实空间的运动示意图（黄昆书,p248),8,有两点必须指出：,上述的振荡现象实际上很难观察到。,由于电子在运动过程中不断受到声子、杂质和缺陷的散射，若相邻两次散射（碰撞）间的平均时间间隔为,，如果,很小，电子还来不及完成一次振荡过程就已被散射。而电子完成一次振荡所需的时间为：,为了观察到电子的振荡过程，要求, ,T,。在晶体中， ,10,14,s,，,a 3,10,10,m,，由此可估算出若要观察到振荡现象，需加的电场 ,2,10,5,V/cm,。对金属，无法实现高电场；对绝缘体，将被击穿。,注：一般情况,T, 10,-5,s,，,10,-14,s,，一个周期内碰撞,10,9,次！？,振荡现象完全被“冲掉”了,9,2.,在准经典运动中，当电子运动到能隙时，将全部被 反射回来。而根据量子力学，电子遇到势垒时，将,有一定几率穿透势垒,，而部分被反射回来。电子穿 透势垒的几率与势垒的高度（即能隙,E,g,）和势垒的 长度（由外场决定）有关。,对于绝缘体或导电很差的半导体，材料内部会建立很强的电场，导致电子的带间隧穿，称为电击穿，或者,齐纳击穿。,相应于电场产生电击穿，强磁场也会造成磁击穿。,10,在有静电场存在时，,Bloch,电子在真实空间做周期性振荡，完全与自由电子不同，这是晶体中电子动力学的一个惊人结论。,下面给出二维情况的简要描述：,开始电子处于任意点,P,，受电场作用，它在,k,空间做直线运动，遇到边界回到对称点，重新开始。,11,满带电子不导电,未满带电子导电,近满带和空穴导电,导体、绝缘体和半导体,见黄昆书,5.3,节,p250,虽然所有固体都含有大量电子，但却有导体和绝缘体之分，这一基本事实曾长期得不到严格解释，能带论首次从理论上做了严格说明，是能带论发展初期的重大成就，也由此开辟了金属电导、绝缘体和半导体的现代理论。,7.3,导体、绝缘体和半导体的能带论解释,12,能带中每个电子对电流密度的贡献,-ev(k),，因此带中所有电子的贡献为：,积分包括能带中所有被占据态。,有电场存在时，由于不同材料中电子在能带中的填充情况不同，对电场的响应也不同，导电能力也各不相同。我们分三种情况讨论：,满 带：,电子已填满了能带中所有的能态。,导 带：,一个能带中只有部分能态填有电子，而其余的能,态为没有电子填充的空态。,近满带：,一个能带的绝大部分能态已填有电子，只有少数,能态是空的。,13,在,k,空间中，对于同一能带有,容易证明，对于同一能带，处于,k,态和处于,k,态的电子具有大小相等方向相反的速度。,当没有外加电场时，在一定温度下，电子占据,k,态和,k,态的几率只与该状态的能量有关。所以，电子占据,k,态和,k,态的几率相同，这两态的电子对电流的贡献相互抵消。由于能带相对于,k,是对称的，所以，电流密度对整条能带积分后也没有宏观电流，即,I,0,。,一,.,满带电子不导电,14,当存在外加电场时，由于满带中所有能态均已被电子填满，外电场并不改变电子在满带中的对称分布，所以不产生宏观电流，,I,0,。,15,从速度公式 ，我们可以得到一个重要结果：,一个完全充满电子的能带不能形成电流,。根据公式可知：,（见右下图）,这可以从能量对称关系中给出。,能带中所有电子产生的总电流密度是：,由于上面的关系，求和为零。,所以满带不能形成电流。,简易说明：,16,二,.,未满带电子导电,导带：,下图所示部分填充的能带和满带不同，在外电场作用下，可以产生电流。,不存在电场时，由于电子在能带中的对称填充，非满带也不存在宏观电流。,17,当存在电场时，由于导带中还有部分没有电子填充的空态，,因而导带中的电子在外场的作用下会产生能级跃迁，,从而使导带中的对称分布被破坏，产生宏观电流，,I,0,。,18,三,.,近满带和空穴导电,在有外场时，由于近满带中仍有少量没有电子占据的空态，所以在外场的作用下，电子也会发生能级跃迁，导致电子的不对称分布，所以，,I, 0,。,假设近满带中有一个,k,态中没有电子，设,I,(,k,),为这种情况下整个近满带的总电流。设想在空的,k,态中填入一个电子，这个电子对电流的贡献为,e,v,(,k,),。但由于填入这个电子后，能带变为满带，因此总电流为,0,。,这表明，,近满带的总电流就如同一个带正电荷,e,，其速度,为空状态,k,的电子速度一样。,19,在有电磁场存在时，设想在,k,态中仍填入一个电子形成满带。而满带电流始终为,0,，对任意,t,时刻都成立。,作用在,k,态中电子上的外力为,电子的准经典运动：,20,而在能带顶附近，电子的有效质量为负值，,m,*,几个,eV,。 如,Al,2,O,3,：,E,g,8,eV,；,NaCl,：,E,g,6,eV,。,25,半金属：,介于金属与半导体之间的中间状态。电子密度：,As,：,2.1,10,20,cm,-3,; Sb,：,5.7 10,19,cm,-3,; Bi,：,2.7 10,17,cm,-3,;,Cu,：,8.45 10,22,cm,-3,电阻率：,Bi,：,c 127 10,-6,(cm),；,c 100 10,-6,(cm) Sb,：,c 29.310,-6,(cm),；,c 38.4 10,-6,(cm),Cu,：,1.55 10,-6,(cm),；,Al,：,2.5 10,-6,(cm),由于半导体材料的能隙较窄，因而在一定温度下，有少量电子从价带顶跃迁到导带底，从而在价带中产生少量空穴，而在导带底出现少量电子。因此，在一定温度下，半导体具有一定的导电性，称为,本征导电性,。电子的跃迁几率,exp(-E,g,/k,B,T),，在一般情况下，由于,E,g,k,B,T,，所以，电子的跃迁几率很小，半导体的本征导电率较低。,T,升高，电子跃迁几率指数上升，半导体的本征电导率也随之迅速增大。,26,在金属中，其导带部分填充，导带中有足够多的载流子（电子或空穴），温度升高，载流子的数目基本上不增加。但温度升高，原子的热振动加剧，电子受声子散射的几率增大，电子的平均自由程减小。因此，金属的电导率随温度的升高而下降。,T,半导体,金属,如果半导体中存在一定的杂质，其能带的填充情况将有所改变，可使导带中出现少量电子或价带中出现少量空穴，从而使半导体有一定的导电性，称为,非本征导电性,。,绝缘体的带隙宽，在一般情况下，绝缘体没有可观察到的导电性。,27,几个实例：,碱金属,晶体结构：体心立方（,bcc,）结构，每个原胞中 有一个原子。碱金属原子基态：内壳层饱和，最外层的,ns,态有一个价电子。,Li,：,1s,2,2s,1,；,Na,：,1s,2,2s,2,2p,6,3s,1,等。 由,N,个碱金属原子结合成晶体时，,原子的内层电子刚好 填满相应的能带，而与外层,ns,态相应的能带却只填充了 一半。因此，碱金属是典型的金属导体。,贵金属,（,Cu,、,Ag,和,Au,）的情况（,fcc,结构）与碱金属相 似，也是典型的金属导体。,28,第三族元素也有类似的情况，只不过这时形成导带的是,np,电子，而不是,ns,电子。所以，第三族元素的晶体绝大多数为金属。,对于二价的碱土金属元素，与碱金属元素相似，其最外层有两个,ns,电子，如,Be,：,1s,2,2s,2,；,Mg,：,1s,2,2s,2,2p,6,3s,2,等。若按对碱金属的讨论，,N,个碱土金属原子中有,2N,个,ns,电子，应刚好填满其相应的,ns,能带而形成非导体。但实际上它们是金属导体，而不是非导体。这是由于在这些晶体中，与,ns,态相应的能带与上面的,能带发生重叠,，因此，,2N,个,ns,电子尚未填满相应的能带就已开始填入更高的能带，结果使得这两个能带都是部分填充的。,29,周期表中第四族及其以上的元素，由于其电子态和结合形式比较复杂，所以必须经过具体计算之后，才能判断是金属还是非金属。,对绝缘体，如：,NaCl,晶体。,Na,原子基态：,1s,2,2s,2,2p,6,3s,1,；,Cl,原子基态：,1s,2,2s,2,2p,6,3s,2,3p,5,。当,Na,原子与,Cl,原子结合成,NaCl,晶体时，,Na,的,3s,带比,Cl,的,3p,带高约,6 eV,，在,Cl,的,3p,带中可以填充,6N,个电子，但,N,个,Cl,原子中只有,5N,个,3p,电子，于是，在能量较高的,Na,的,3s,带中的,N,个电子就转移到能量较低的,Cl,的,3p,带中，刚好填满,Cl,的,3p,带，而,Na,的,3s,带成为空带，其能隙,E,g,6 eV,，所以，,NaCl,晶体为绝缘体。,30,