数值计算方法(第1章)

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数值计算方法,主讲 刘晓利,lxl,Office: 345,第,1,章 绪论,随着科学技术的飞速发展，科学计算愈来愈显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如：气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。因此，作为科学计算的数学工具数值计算方法已成为各高等院校数学、物理和计算机应用专业等理工科本科生,工科硕士研究生的学位必修课。,数值分析或数值计算方法主要是研究如何,运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和方法,.,对那些在经典数学中,用解析方法在理论上已作出解的存在,但要求出他的解析解又十分困难,甚至是不可能的这类数学问题,数值解法就显得不可缺少,同时有十分有效,.,计算机解决科学计算问题时经历的几个过程,实际问题,数学模型,数值计算方法,程序设计,上机运行求出解,实际问题,数学模型：由实际问题应用科学知识和数学理论建立数学模型的过程，是应用数学的任务。,数值计算方法,程序设计,计算结果：根据数学模型提出求解的数值计算方法，直到编出程序上机算出解，是计算数学的任务。,数值计算方法重点研究：求解的数值方法及与此有关的理论,包括：方法的收敛性，稳定性，误差分析，计算时间的最小（也就是计算费用）,占用内存空间少,.,有的方法在理论上虽不够严格，但通过实际计算，对比分析等手段，被证明是行之有效的方法，也可以采用。因此，数值分析既有,纯数学高度抽象性与严密科学性,的特点，又有,应用的广泛性与实验的高度技术性,特点，是一门与使用计算机密切结合的实用性很强的数学课程。,1.1,数学问题的数值解法例示,例,1.1.1,试求函数方程,x=cosx,在区间 内的一个根。,解,1.1,数学问题的数值解法例示,现取,h=0.05,其结果见下表,:,x,n,y,n,y,x,n,y,n,y,0,1.00000,1.00000,1.2,1.84931,1.84931,0.2,1.18322,1.18322,1.4,1.94396,1.94396,0.4,1.34164,1.34164,1.6,2.04939,2.04939,0.6,1.48324,1.48324,1.8,2.14476,2.14476,0.8,1.61245,1.61245,2.0,2.23607,2.23607,1.0,1.73205,1.73205,1.2,误差概念和有效数,在任何科学计算中其解的精确性总是相对的,而误差则是绝对的,.,我们从下面这个例子就可以了解误差产生的原因,.,例,1.2.1,试求摆长为,L,的单摆运动周期,.,误差的分类,模型误差,从实际问题建立的数学模型往往都忽略了许多次要的因素,因此产生的误差称为模型误差,.,观测误差,一般数学问题包含若干参数,他们是通过观测得到的,受观测方式、仪器精度以及外部观测条件等多种因素，不可能获得精确值，由此而来产生的误差称为观测误差。,截断误差,在求解过程中，往往以近似替代，化繁为简，这样产生的误差称为截断误差。,舍入误差,在计算机上运算时受机器字长的限制，一般必须进行舍入，此时产生的误差称为舍入误差。,误差和有效数字,误差估计,由于准确值在一般情况下是未知的，因此绝对误差和相对误差常常是无法计算的，但有可能给出估计。误差界就是用于误差估计的。,误差估计,有效数字,在工程上，误差的概念就转化为有效数字。,m,f,a,1,a,2,a,n,绝对误差，相对误差，有效数是度量近似数精度的常用三种。实际计算时最终结果均以有效数给出。同时也就隐含了绝对误差和相对误差界。,函数值的误差估计,引入微分符号,例题,多元函数误差估计,例题,1.3,算法的优化,算法优劣的标准,从截断误差观点看,算法必须是截断误差小,收敛敛速要快。即运算量小,机器用时少,.,从舍入误差观点看,舍入误差在计算过程中要能控制,即算法的数值要稳定,.,从实现算法的观点看,算法的逻辑结构不宜太复杂，便于程序编制和上机实现,.,设计算法时应遵循的原则,数值要具有稳定性,即能控制误差的传播,.,避免大数吃小数,即两数相加时,防止较小的数加不到较大的数上,.,避免两相近的数相减,以免有效数字的大量丢失,.,避免分母很小,(,或乘法因子很大,),以免产生溢出,.,例题,算法二表明,仅用不多的五次函数值的计算,已获得,的具有五位有效数字的近似值。,n,I,n,n,I,n,0,0.18232155,9,0.017056624,1,0.088392216,10,0.014716876,2,0.058039818,11,0.017324710,3,0.043138742,12,-0.003290219,4,0.034306287,13,-0.093374172,5,0.028468560,14,-0.395442290,6,0.024323864,15,2.043878100,7,0.021237820,16,-10.15689000,8,0.018810897,17,50.84327600,显然算法不稳定，理论上成立的算法，在计算机上计算时，由于初值的误差在计算过程中的传播，而导致结果的失真，这是我们数值计算方法所要研究的。,