排列组合中的分组分配问题30059

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,排列组合中的分组分配问题,ab,cd,ac,bd,ad,bc,cd,bd,bc,ad,ac,ab,情景引入,六本,不同,的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？,(1),每组两本（均分三堆）,(2),一组一本，一组二本，一组三本,(3),一组四本，另外两组各一本,(,),平均分给甲乙丙三人,1,把,abcd,分成平均两组,ab,cd,ac,bd,ad,bc,有,_,多少种分法？,C,4,2,C,2,2,A,2,2,3,cd,bd,bc,ad,ac,ab,这两个在分组时只能算一个,记住,：,平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以,A,m,m,，其,中,m,表示组数,。,难点分解,基本的分组问题,例,1,六本,不同,的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？,(1),每组两本（均分三堆）,(2),一组一本，一组二本，一组三本,(3),一组四本，另外两组各一本,(,),平均分给甲乙丙三人,分析：,(1),分组与顺序无关，是组合问题。分组数是,C,6,2,4,2,C,2,2,=90(,种,),这,90,种分组实际上重复了,6,次。,考察以下两种分法：,(1,，,2)(3,，,4)(5,，,6),与,(3,，,4)(1,，,2)(5,，,6),，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数,A,3,3,，所以分法是 ,=15(,种,),。,(2),先分组，方法是,C61,52C33=60,，那么还要不要除以？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有,60(,种,),分法。,(3),分组方法是,=30(,种,),其中有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。所以实际分法是,=15(,种,),。,例,2,六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？,(1),甲两本、乙两本、丙两本,.,(2),甲一本、乙两本、丙三本,.,(3),甲四本、乙一本、丙一本,.,定向分配问题,基本的分配的问题,分析,：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出：,（）,=90(,种,),（）,=60(,种,),（）,=30(,种,),。,例,3,六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配法？,(1),每人两本,(2),一人一本、一人两本、一人三本,(3),一人四本、一人一本、一人一本,不定向分配问题,基本的分配的问题,(,结论）解不定向分配题的一般原则：先分组后排列,。,例,4,六本,不同,的书，分给甲、乙、丙三人，每人,至少,一本，有多少种分法？,分析：,六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法,(1),每组两本,(2),分别为一本、二本、三本,(3),两组各一本，另一组四本。所以根据加法原理，分组法是,90(,种,),。再考虑排列。所以一共有,540,种不同的分法。,一：,均分无分配对象,的问题,例,1,：,12,本不同的书（,1,）按,444,平均分成三堆有多少种不同的分法？（,2,）按,2226,分成四堆有多少种不同的分法？,C,10,2,C,8,2,A,3,3,C,12,2,C,6,6,(2),C,8,4,C,4,4,A,3,3,C,12,4,12!,4!8!,8!,4!4!,1,3!,(1),5775,基础探究,C,6,2,C,4,2,A,3,3,C,12,6,C,2,2,或,二：,均分有分配对象,的问题,例,2,：,6,本不同的书按,222,平均分给甲、乙、丙三个人，有多少种不同的分法？,方法：,先分再排法,。分成的组数看成元素的个数,（,1,）均分的三组看成是三个元素在三个位置上作排列,(1),C,4,2,C,2,2,A,3,3,C,6,2,A,3,3,C,4,2,C,2,2,C,6,2,三：,部分均分有分配对象,的问题,例,3 12,支笔按,3,：,3,：,2,：,2,：,2,分给,A,、,B,、,C,、,D,、,E,五个人有多少种不同的分法？,方法：先分再排法,。分成的组数看成元素的个数,（,2,）均分的五组看成是五个元素在五个位置上作排列,C,9,3,C,6,2,A,3,3,C,12,3,C,4,2,(2),A,2,2,C,2,2,A,5,5,三：,部分均分无分配对象,的问题,例,4,六本不同的书分成,3,组一组,4,本其余各,1,本有多少种分法,C,6,4,C,2,1,C,1,1,A,2,2,四,.,非均分组无分配对象,问题,例,5 6,本不同的书按,123,分成三堆有多少种,不同的分法？,注意：非均分问题无分配对象只要按比例分完再用,乘法原理作积,C,6,1,C,5,2,C,3,3,例,6,六本不同的书按,123,分给甲、乙、丙三个人,有多少种不同的分法？,五,.,非均分组分配对象确定问题,C,6,1,C,5,2,C,3,3,五非均分组分配对象不固定问题,例,7,六本不同的书分给,甲、乙、丙,3,人，,1,人,1,本，,1,人,2,本,1,人,3,本有多少种分法,?,C,6,1,C,5,2,C,3,3,A,3,3,练习,1,12,本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？,练习,2,2,：,10,本不同的书,（,1,）按,2224,分成四堆有多少种不同的分法？,（,2,）按,2224,分给甲、乙、丙、丁四个人有多少种不同的分法？,3,有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条件，各有多少种不同的分法？,（,1,）每人各得两本；,（,2,）甲得一本，乙得两本，丙得三本；,（,3,）一人一本，一人两本，一人三本；,（,4,）甲得四本，乙得一本，丙得一本；,（,5,）一人四本，另两人各一本,(3),(4),(5),C,5,2,C,3,3,C,6,1,A,3,3,C,5,2,C,3,3,C,6,1,C,2,1,C,1,1,C,6,4,A,3,1,C,2,1,C,1,1,C,6,4,(2),C,4,2,C,2,2,C,6,2,(1),二,.,元素相同,问题隔板策略,例,3.,有,10,个运动员名额，再分给,7,个班，每,班至少一个,有多少种分配方案？,解：因为,10,个名额没有差别，把它们排成,一排。相邻名额之间形成个空隙。,在个空档中选个位置插个隔板，,可把名额分成份，对应地分给个,班级，每一种插板方法对应一种分法,共有,_,种分法。,一班,二班,三班,四班,五班,六班,七班,将,n,个相同的元素分成,m,份（,n,，,m,为正整数）,每份至少一个元素,可以用,m-1,块隔板，插入,n,个元素排成一排的,n-1,个空隙中，所有分法数为,例,4 :,有,12,名划船运动员，其中,3,人只会划左舷，,4,人只会划右舷，其余,5,人既会划左舷也会划右舷。现在要从这,12,名运动员中选出,6,人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？,分析：,设集合,A=,只会划左舷的,3,个人,，,B=,只会划右舷的,4,个人,，,C=,既会划左舷又会划右舷的,5,个人,先分类，,以集合,A,为基准,，划左舷的,3,个人中，有以下几类情况：,A,中有,3,人；,A,中有,2,人；,C,中有,1,人；,A,中有,1,人，,C,中有,2,人；,C,中有,3,人。,第类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在,B,C,中选,3,人， 有 种,以下类同,三,.,多面手问题,【,综合演练,】,1,对某种产品的,6,只不同正品和,4,只不同次品一一测试，若所有次品恰好在第六次测试时被全部发现，这样的测试方法有多少种？,2,把,10,名同学平均分成两个小组，每组,5,人，每组里选出正、副组长各一人，再分配到两个不同的地方去做社会调查，一共有多少种不同的方法？,3,车队有车,7,辆，现要调出,4,辆车按顺序去执行任务，要求,A,、,B,两车必须出车参加，并且,A,车要在,B,车之前出发，那么不同的调度方法有多少种？,4:,从,7,名男生,5,名女生中，选出,5,人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？,（,1,）,A,、,B,必须当选；,（,2,）,A,、,B,都不当选；,（,3,）,A,、,B,不全当选；,（,4,）至少有,2,名女生当选；,（,5,）选出,5,名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等,5,种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任,或,?,变式,练习,按下列条件，从,12,人中选出,5,人，有多少种不同选法？,（,1,）甲、乙、丙三人必须当选；,（,2,）甲、乙、丙三人不能当选；,（,3,）甲必须当选，乙、丙不能当选；,（,4,）甲、乙、丙三人只有一人当选；,（,5,）甲、乙、丙三人至多,2,人当选；,（,6,）甲、乙、丙三人至少,1,人当选；,