定积分课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,定积分的概念,两个实例,定积分的定义,定积分的存在定理,定积分的几何意义,定积分的性质,a,b,x,y,o,实例,1,（求曲边梯形的面积）,一、两个实例,a,b,x,y,o,a,b,x,y,o,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,解决步骤,:,1),分割,:,在区间,a,b,中任意插入,n ,1,个分点,用直线,将曲边梯形分成,n,个小曲边梯形,;,2),近似,:,在第,i,个窄曲边梯形上任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,矩形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,3),求和,:,4),取极限,:,令,则曲边梯形面积,1,化整为零,2,以直代曲,(,以常代变,),3,积零为整,y,x,o,y,=,f,(,x,),a,b,.,.,分法越细，越接近精确值,曲边梯形的面积,f,(,i,),.,4,取极限,y,x,o,y,=,f,(,x,),令分法无限变细,.,a,b,.,.,.,分法越细，越接近精确值,1,化整为零,2,以直代曲,(,以常代变,),3,积零为整,f,(,i,),曲边梯形的面积,4,取极限,y,x,o,y,=,f,(,x,),令分法无限变细,.,.,.,.,分法越细，越接近精确值,1,化整为零,2,以直代曲,(,以常代变,),3,积零为整,f,(,i,),A,=,.,A,.,a,b,曲边梯形的面积,实例,2,（求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。,t,O,T,1,T,2,=,t,0,t,1,t,n,1,t,n,=,t,i,t,i,1,第,i,段路程值,第,i,段某时刻的速度,曲边梯形的面积,（,1,）分割（,2,）近似,（,3,）,求和（,4,）取极限,变速直线运动的路程,四个步骤为：,(,i,1, 2,n,),作和,max,D,x,1,D,x,2,D,x,n,;,在小区间,x,i,1,x,i,上任取一点,i,记,D,x,i,=,x,i,-,x,i,1,(,i,1,n,),个分点,:,a,x,0,x,1,x,2,x,n,1,x,n,b,;,设函数,f,(,x,),在区间,a,b,上有界,.,极限存在,且极限值与区间,a,b,的分法和,i,的取法无关,则称此极限为函数,f,(,x,),在区间,a,b,上的定积分,记为,即,二、定积分的定义,在区间,a,b,内插入,n-1,如果当,0,时,上述和式的,此时称,f,(,x,),在,a,b,上,可积,.,被积函数,被积表达式,积分变量,积分下限,积分上限,积分和,读作,“,从,a,到,b,函数,f(x,),的定积分,”,曲边梯形面积,A,：,变速运动的路程,S,：,记为,记为,关于定积分的说明：,求导有如下的式子：,（）定积分只与被积函数、积分上、下限有关，而与积,记号无关，即,（）定积分表示一个数，而不定积分是一个函数族，,它们分别对,分变量的,例,1,计算,(1),分割,等分,(2),近似,取,矩形面积,(3),求和,(4),取极限,定理,1,定理,2,三、定积分的存在定理,四、定积分的几何意义,几何意义：,a,b,定积分几何意义的应用,1,4,2,8,1,7,3,0,x,y,-3,3,定积分几何意义的应用,例,2,用定积分表示下列图中阴影部分的面积,例,3,用定积分表示由,1,o,解：,平面图形如右图所示,所围平面图形的面积。,例,4,用定积分表示由 所围 平面图形的面积。,1,o,解：,平面图形如右图所示,A,2,A,1,由图可知,因为,所以,若 是奇函数，则,若 是偶函数，则,a,-a,对称区间上的定积分,-a,a,对定积分的,补充规定,:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,五、定积分的性质,证,性质,1,证,性质,2,补充,：不论 的相对位置如何,上式总成立,.,例,若,（,定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质,3,证,性质,4,性质,5,性质,5,的推论：,证,（,1,）,证,性质,5,的推论：,（,2,）,例,5,比较下列各对积分值的大小：,(1),(1),因为在,(2),和,(2),和,解,上,由推论知,证,（,此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质,6,演示,性质,7,（定积分中值定理）,积分中值公式,几何解释,