二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【精品】

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,3.3,二元一次不等式,(,组,),与平面区域,及,简单的线性规划,第一讲 二元一次不等式表示平面区域,简单的线性规划,“简单的线性规划”是在学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是大纲对数学知识应用的重视,.,线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益,.,它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经常管理等许多方面的实际问题,.,简单的线性规划,中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法,数学建模法,.,通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。,一、引例：,某工厂生产甲、乙两种产品，生产,1t,甲两种产品需要,A,种原料,4t,、,B,种原料,12t,，产生的利润为,2,万元；生产乙种产品需要,A,种原料,1t,、,B,种原料,9t,，产生的利润为,1,万元。现有库存,A,种原料,10t,、,B,种原料,60t,，如何安排生产才能使利润最大？,A,种原料,B,种原料,利润,甲种产品,4,12,2,乙种产品,1,9,1,现有库存,10,60,在关数据列表如下：,设生产甲、乙两种产品的吨数分别为,x,、,y,利润,何时达到最大？,二元一次不等式表示的平面区域,O,x,y,在平面直角坐标系中，以二元一次方程,x+y-1=0,的解为坐标的点的集合,(x,，,y)|x+y-1=0,是经过点,(0,，,1),和,(1,，,0),的一条直线,l,，,那么以二元一次不等式,x+y-10,的解为坐标的点的集合,(x,，,y)|x+y-10,是,什么图形,?,1,1,x+y-1=0,探索结论,结论：二元一次不等式,ax+by+c,0,在平面直角坐标系中表示直线,ax+by+c,=0,某一侧所有点组成的平面区域。不等式,ax+by+c,0,x+y-10,x+y-10,表示这一直线,哪一侧的平面区域，特殊地，当,c0,时常把原点作为此特殊点,二元一次不等式表示平面区域,例,1,画出不等式,2x+y-60,x,y,o,-3,4,二元一次不等式表示平面区域,例,2,画出不等式组,表示的平面区域。,O,x,y,3,5,x-y+5=0,x+y,=0,x=3,二元一次不等式表示平面区域,练习,:,画出不等式组,表示的平面区域。,(1),例,3,：根据所给图形，把图中的平面区域用不等式表示出来：,(2),(3),二元一次不等式表示平面区域小结,由于对在直线,ax+by+c,=0,同,一侧所有点,(x,，,y),，把它的坐标,(x,，,y),代入,ax+by+c,，所得的实,数的符号都相同，故只需在这条,直线的某一侧取一特殊点,(x,0,，,y,0,),以,ax,0,+by,0,+c,的正负的情况便可,判断,ax+by+c,0,表示这一直线,哪一侧的平面区域，特殊地，当,c0,时常把原点作为此特殊点,2,、画图时应力求准确，否则将得不到正确结果。,1,、若不等式中不含,0,，则边界应画成虚线，否则应画成实线。,应该注意的几个问题：,二元一次不等式表示平面区域,作业：,P93,习题,3.3,1,简单的线性规划,第二讲 线性规划,可行域上的最优解,复习,判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法,O,x,y,1,1,x+y-1=0,x+y-10,x+y-10,表示这一直线,哪一侧的平面区域，特殊地，当,c0,时常把原点作为此特殊点,复习回顾,1.,在同一坐标系上作出下列直线,:,2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7,x,Y,o,2.,作出下列不等式组的所表示的平面区域,5,5,x=1,x-4y+3=0,3x+5y-25=0,1,A,B,C,C:,(1.00, 4.40),A:,(5.00, 2.00),B:,(1.00, 1.00),O,x,y,问题,1,：,x,有无最大（小）值？,问题,2,：,y,有无最大（小）值？,问题,3,：,2,x,+,y,有无最大（小）值？,二,.,提出问题,把上面两个问题综合起来,:,设,z=2x+y,求满足,时,z,的最大值和最小值,.,5,5,x=1,x-4y+3=0,3x+5y-25=0,1,A,B,C,C:,(1.00, 4.40),A:,(5.00, 2.00),B:,(1.00, 1.00),O,x,y,直线,L,越往右平移,t,随之增大,.,以经过点,A(5,2),的直线所对应的,t,值最大,;,经过点,B(1,1),的直线所对应的,t,值最小,.,线性规划,问题：,设,z,=2,x,+,y,，式中变量满足,下列条件：,求,z,的最大值与最小值。,目标函数,（线性目标函数）,线性约,束条件,任何一个满足不等式组的（,x,y,）,可行解,可行域,所有的,最优解,线性规划问题,线性规划,线性规划：,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题,可行解 ：,满足线性约束条件的解,(x,，,y),叫可行解；,可行域 ：,由所有可行解组成的集合叫做可行域；,最优解 ：,使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。,可行域,2x+y=3,2x+y=12,(1,1),(5,2),线性规划,练习,1:,解下列线性规划问题：,求,z=2x+y,的最大值和最小值，使式中,x,、,y,满足下,列条件：,解线性规划问题的一般步骤：,第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；,第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；,第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。,探索结论,2x+y=0,2x+y=-3,2x+y=3,答案,：,当,x=-1,y=-1,时，,z=2x+y,有最小值,3.,当,x=2,y=-1,时，,z=2x+y,有最大值,3.,线性规划,例,2,解下列线性规划问题：,求,z=300x+900y,的最大值和最小值，使式中,x,、,y,满足下列条件：,探索结论,x+3y=0,300x+900y=0,300x+900y=112500,答案,：,当,x=0,y=0,时，,z=300x+900y,有最小值,0.,当,x=0,y=125,时，,z=300x+900y,有最大值,112500.,练习,2,、已知,求,z=3x+5y,的最大值和最小值。,5,5,1,O,x,y,1,-1,5x+3y=15,X-5y=3,y=x+1,A(-2,-1),B(3/2,5/2),解线性规划问题的步骤：,（,2,）,移,：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；,（,3,）,求,：通过解方程组求出最优解；,（,4,）,答,：作出答案。,（,1,）,画,：画出线性约束条件所表示的可行域；,小 结,几个结论：,1,、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。,2,、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义,在,y,轴上的截距或其相反数。,练习,3,解下列线性规划问题：求,z=2x+y,的最大值，使式中,x,、,y,满足下列条件：,探索结论,答案,:,当,x=1,，,y=0,时，,z=2x+y,有最大值,2,。,线性规划,作业,线性规划,作业,练习,4,解下列线性规划问题：求,z=3x+y,的最大值，使式中,x,、,y,满足下列条件：,探索结论,3x+y=0,3x+y=29,答案,：,当,x=9,y=2,时，,z=3x+y,有最大值,29.,简单的线性规划,第三讲 线性规划的实际应用,解线性规划问题的步骤：,（,2,）,移,：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；,（,3,）,求,：通过解方程组求出最优解；,（,4,）,答,：作出答案。,（,1,）,画,：画出线性约束条件所表示的可行域；,一,.,复习回顾,使,z=2x+y,取得,最大值,的可行解,，,且最大值为,；,复习,1.,已知二元一次不等式组,x-y0,x+y-10,y-1,（,1,）画出不等式组所表示的平面区域；,满足,的,解,(x,y),都叫做可行解；,z=2x+y,叫做,；,（,2,）设,z=2x+y,，,则式中变量,x,y,满足的二元一次不等式组叫做,x,y,的,；,y=-1,x-y=0,x+y=1,2x+y=0,返回,(-1,-1),(2,-1),3,x,y,0,使,z=2x+y,取得,最小值,的可行解,，,且最小值为,；,这两个,可行解,都叫做问题的,。,练习,变式,z=-3x+2y,线性规划的实际应用,例,1,某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱,1,吨需耗一级子棉,2,吨、二级子棉,1,吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉,1,吨、二级子棉,2,吨，每,1,吨甲种棉纱的利润是,600,元，每,1,吨乙种棉纱的利润是,900,元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过,300,吨、二级子棉不超过,250,吨,.,甲、乙两种棉纱应各生产多少,(,精确到吨,),，能使利润,总额最大,?,纺纱厂的效益问题,线性规划的实际应用,解线性规划应用问题的一般步骤：,1,、理清题意，列出表格；,2,、设好变元，列出线性约束条件（不 等式组）与目标函数；,3,、准确作图；,4,、根据题设精度计算。,线性规划的实际应用,产品,资源,甲种棉纱（吨）,x,乙种棉纱（吨）,y,资源限额（吨）,一级子棉（吨）,2,1,300,二级子棉（吨）,1,2,250,利润（元）,600,900,例,1,某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱,1,吨需耗一级子棉,2,吨、二级子棉,1,吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉,1,吨、二级子棉,2,吨，每,1,吨甲种棉纱的利润是,600,元，每,1,吨乙种棉纱的利润是,900,元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过,300,吨、二级子棉不超过,250,吨,.,甲、乙两种棉纱应各生产多少,(,精确到吨,),，能使利润总额最大,?,纺纱厂的效益问题,线性规划的实际应用,解：设生产甲、乙两种棉纱分别为,x,吨、,y,吨，利润总额为,z,元，则,Z=600x+900y,作出,可行域,，可知直线,Z=600x+900y,通过点,M,时利润最大。,解方程组,得点,M,的坐标,x=350/3117,y=200/367,答：应生产甲、乙两种棉纱分别为,117,吨、,67,吨，能使利润总额达到最大。,线性规划的实际应用,例,2,已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为,200,万吨和,300,万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地,.,东车站每年最多能运,280,万吨煤，西车站每年最多能运,360,万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为,1,元,/,吨和,1.5,元,/,吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为,0.8,元,/,吨和,1.6,元,/,吨,.,煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少,?,煤矿调运方案问题,线性规划的实际应用,煤矿,车站,甲煤矿,（元,/,吨）,乙煤矿,（元,/,吨）,运量,（万吨）,东车站,1,0.8,280,西车站,1.5,1.6,360,产量（万吨）,200,300,例,2,已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为,200,万吨和,300,万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地,.,东车站每年最多能运,280,万吨煤，西车站每年最多能运,360,万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为,1,元,/,吨和,1.5,元,/,吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为,0.8,元,/,吨和,1.6,元,/,吨,.,煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少,?,煤矿调运方案问题,线性规划的实际应用,解：设甲煤矿运往东车站,x,万吨，乙煤矿运往东车站,y,万吨，则约束条件为：,目标函数为,:,z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(300-y),=780-0.5x-0.8y (,万元,),煤矿调运方案问题,答案：当,x=0,y=280,时，即,甲煤矿运往东车站,0,吨，西车站,200,吨；乙煤矿运往东车站,280,吨，西车站,20,吨,.,总运费最少,556,万元。,线性规划的应用,已知：,-1a+b1,，,1a-2b3,，求,a+3b,的取值范围。,解法,1,：由待定系数法,:,设,a+3b=m(a+b)+n(a-2 b),=(m+n)a+(m-2n)b,m+n,=1,，,m-2n=3,m=5/3,，,n=-2/3, a+3b=5/3(a+b)-2/3(a-2 b),-1a+b1,，,1a-2 b3,-11/3a+3 b1,解法,2,：,-1a+b1,，,1a-2 b3,-22a+2 b2,，,-32 b-a-1,-1/3a5/3,-4/3b0,-13/3a+3 b5/3,想一想,线性规划的应用,已知：,-1a+b1,，,1a-2b3,，求,a+3b,的取值范围。,想一想,解法,3,约束条件为：,目标函数为：,z=a+3b,由图形知：,-11/3z1,即,-11/3a+3 b1,线性规划的实际应用小结,解线性规划应用问题的一般步骤：,1,、理清题意，列出表格；,2,、设好变元，列出线性约束条件（不 等式组）与目标函数；,3,、准确作图；,4,、根据题设精度计算。,线性规划的应用,作业：,P91,练习,2,P93,习题,3.3 A,组,4,B,组,3,