格林公式

Click to edit Master title style,第三节,格林,(,Green,),公式,二、平面曲线积分与路径无关的条件,一、格林公式,三、平面曲线积分基本定理,第十章,一、,格林公式,回顾：,在一元积分学中，,F,(,x,),在区间,a,b,上的定积分可以用它的,表明,:,原函数,F,(,x,),在区间,a,b,端点,（即线段的,边界,点）,处的值来表示,.,牛顿,-,莱布尼茨公式,上述结论是否能推广到二重积分？,？,？,D,L,问题：,1.,问题的提出,设,D,为平面区域,则称,D,为平面,单连通区域；,平面单连通区域就是没有“洞”的区域,如果,D,内任一闭曲线所围成的部分都属于,D,2.,区域连通性分类,否则,平面复连通区域就是有“洞”的区域,如果,D,内存在闭曲线,l,，,它所围成的部分不完全属于,D,则称,D,为,复连通区域,.,边界曲线,L,的正向：,当观察者沿,L,的这个方向行走时,D,内在他,近处,的部分总在他的左边,.,单连通区域,的,边界曲线,L,的正向,:,逆时针方向,.,3.,边界曲线,L,的正向,设,复连通区域,D,的边界曲线为,= L + l,1,+,l,2,+ +,l,n,(,如图,),的正向：,外,边界,L,为,逆,时针方向；,内,边界,为,顺,时针方向,.,复合闭路,光滑闭曲线围成,函数,定理,10.3,（,Green,公式）,设平面区域,D,是由分段,格林公式,将平面区域分为三种类型，证明分,三步：,4.,格林公式,有连续一阶偏导数,则,在,D,上具,1,若,D,既是,X,-,型区域,又是,Y-,型区域,.,则,证,=,=,(1)+(2),得,:,由于,D,既是,Y,-,型区域,又是,X-,型区域,但非类型,1,(,如图,),D,可通过添加辅助线将其分,割为有限个类型,1,的区域,.,A,C,B,2,若,D,为单连通区域,D,A,C,B,L,1,L,3,L,2,D,A,C,B,L,1,L,3,L,2,作辅助线,AB,CE,则,由,2,知,D,C,E,A,B,D,1,D,2,其中,D,1,D,2,均为单连通区域,.,3,若积分域,D,为复连通区域,(,如图,),D,C,E,A,B,D,1,D,2,F,m,G,n,+,1,格林公式的实质,沟通了沿闭曲线的曲线积分与二重积分之间的联系,.,2,格林公式的条件：,L,封闭，取,正,向,;,P,，,Q,在,L,所围区域,D,上有一阶连续偏导数,.,(,负,),D,D,注,3,对,复连通区域,D,应用,格林公式,，,且边界的方向对,D,来说都是正向,.,4,利用曲线积分求面积的一种新方法,.,推论,正向闭曲线,L,所围区域,D,的面积,证,由格林公式,格林公式,例,1,L,为任意一条分段光滑的闭曲线，证明：,将,曲线积分转化为二重积分,证,例,2,L,解,x,y,O,注,？,x,y,O,L,例,3,计算,其中,L,为一无重,点且不过原点的分段光滑正向闭曲线,.,解,记,L,所围成的闭区域为,D,由格林公式知,L,l,x,y,O,L,l,x,y,O,D,1,(,注意格林公式的条件,),L,l,x,y,O,D,1,例,4,解,L,y,x,O,力所作的功,.,L,y,x,O,L,y,x,O,小结：,利用格林公式计算第二类曲线积分时，,要,注意定理使用的两个前提条件,.,1.,当,L,是闭曲线时,+,“,+,”,：,L,取正向； “,”,：,L,取负向,.,(2),若,P,Q,在,L,所围区域,D,上有,奇点，,则“,挖洞,”,.,可,添加辅助线：,L,1,L,2, ,L,n,，,使,添加辅助线,的,原则：,2.,当,L,不封闭时,L+L,1,+,L,2,+, +,L,n,封闭，且构成所围区域的正向或负向边界,.,(1),P,Q,在,L+L,1,+,L,2,+, +,L,n,所围区域,D,上有一阶,连续的偏导数；,其中,D,是以,O,(0,0),A,(1,1),B,(0,1),为顶点的三角形闭域,.,分析,例,5,计算,将,二重积分转化为曲线积分,利用格林公式，,解,利用格林公式,有,令,解,例,6,求椭圆,证,(,方法,1,),例,7,由,格林公式，得,Q,P,关于,x,y,有轮换对称性，即关于,y,=,x,对称,(,方法,2),x,o,y,D,定理,10.4,设,G,是单连通域,则以下,四个命题,等价,:,二、平面曲线积分与路径无关的条件,证,(1)(2),为,G,内闭曲线,.,曲线积分在,G,内与路径无关,当积分与路径无关时,曲线积分可记为,为,G,内给定的点，,为,G,内任意的点，,因,曲线积分与路径无关,故,G,x,y,O,A,(,x,0,y,0,),B,(,x,y,),C,(,x+,x,y,),(2)(3),G,x,y,O,A,(,x,0,y,0,),B,(,x,y,),C,(,x+,x,y,),即,积分中值定理,同理可证,因为,P, Q,在,G,内具有连续的偏导数,因此在,G,内每一点都有,(3)(4),设,L,为,G,中任一分段光滑闭曲线,.,故,L,所围区域,故由,格林公式,得,由此可知定理中四个条件的等价性,.,因为,G,为单连通域，,(4)(1),注,1,定理中关于区域的,单连通性,和函数,P,、,Q,的,一阶偏导数的连续性,两个,条件,缺一不可,.,缺少一个，定理结论,不一定,成立,.,反例,1,反例,2,L,D,y,x,O,2,当,时，,计算曲线积分时,可选择方便的积分路径,(,但要完全位于,G,内,),通常选择平行于坐标轴的折线为积分路径,.,由定理知,:,解,例,8,计算,其中,L,原积分与路径无关,x,y,O,B,(1,1),1,为由点,故,x,y,O,B,(1,1),1,解,例,9,设曲线积分,与,路径无关，,计算,积分与路径无关,o,x,y,1,1,(,方法,1),o,x,y,1,1,(,方法,2),例,10,解,P,Q,1,L,1,选折线路径,ACB,.,L,(,方法,1),(,方法,2),选路径,AmB,:,xy,=,k,1,L,m,例,11,解,(,方法,1),(,方法,2),与,路径无关,三、平面曲线积分基本定理,一阶连续的偏导数,则,称,u,(,x,y,),是,P,(,x,y,)d,x,+,Q,(,x,y,)d,y,在,G,内的一个,原函数,.,如：,定理,10.5 (,平面曲线积分基本定理,),则,第二类曲线积分,曲线积分的,牛顿,-,莱布尼茨,公式,证,因为曲线积分在,G,内与路径无关,C,为某一常数,.,注,1,曲线积分的牛顿,-,莱布尼茨公式,的另一种形式,保守场,2,如,:,对于,例,8,，,计算,其中,L,为由点,解法,2,分项组合法,(,方法,1),注,(,方法,2),折线法,o,x,y,x,y,(,方法,3),偏积分法,待定,在右半平面,(,x ,0 ),内存在,原函数,并求出一个这样的函数,.,证,令,则,在右半,平面上取点,(1,0),例,12,验证,u,(,x,y,),唯一吗,?,内容小结,(1),边界曲线,L,的正向,.,(2),格林公式,(3),平面曲线积分与路径无关的条件,(4),平面曲线积分基本定理,与路径无关的四个等价命题,条件,等,价,命,题,第二类曲线积分计算题步骤,适合直接计算吗,?,直接计算,使用格,林公式,补线变封闭,用格林公式,是,是,是,是,否,否,否,改变路径,直接计算,备用题,例,2-1,解,例,2-2,解,y,x,O,a,-a,格林公式,y,x,O,a,-a,其中,L,从,O,(0, 0)到,A,(4, 0).,解,添加辅助线段,它与,L,所围区域为,D ,则,原式,为上半圆周,例,4-1,计算,解,例,6-1,计算抛物线,与,x,轴围,成的面积,.,O,例,7-1,证,例,10-1,解,1,例,12-1,解,