正交试验设计原理与实例教程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,正交试验设计,在试验研究中，对于单因素或两因素试验，因其因素少 ，试验的设计 、实施与分析都比较简单 。但在实际工作中 ，常常需要同时考察,3,个或,3,个以上的试验因素 ，若进行全面试验 ，则试验的规模将很大 ，往往因试验条件的限制而难于实施,。,正,交设计就是安排多因素试验 、寻求最优水平组合 的一种高效率试验设计方法。,1,正交试验设计的意义,正交试验属于试验设计方法的一种。简单地讲，试验设计是研究如何科学安排试验，以较少的人力物力消耗而取得较多较全面的信息。,试验安排得好，事半功倍；反之则事倍功半，甚至达不到预期目的。因此，如何进行试验设计是一个至关重要的问题,。,正交试验设计是试验优化的常用技术。,所谓试验优化，是指在最优化思想的指导下，进行最优设计的一种优化方法。,它从不同的优良性出发，合理设计试验方案，有效控制试验干扰，科学处理试验数据，全面进行优化分析，直接实现优化目标，已成为现代优化技术的一个重要方面。,正交设计的,基本特点,是：,用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。,.,试验为什么要设计,全面试验包含的水平组合数较多，工作量大 ，由于受试验场地、试验材料、经费等限制而难于实施 。例如，有,6,个因素： 每因素取,5,个水平，全面试验就需要,5,6,=15625,个组合。,若试验的主要目的是 寻 求 最 优水平组合 ，则 可利用正交 设,计来安排试验。,., 正交拉丁方,在试验安排中 ，每个因素在研究的范围内选几个水平，就好比在选优区内打上网格 ，如果网上的每个点都做试验，就是全面试验。,3,个因素的选优区可以用一个立方体表示,(,图,11-2),，,3,个因素各取,3,个水平，把立方体划分成,27,个格点，反映在 图,11,上就是立方体内的,27,个“,.”,。若,27,个网格点都试验，就是全面试验，其试验方案如表,11,所示。,3,因 素,3,水 平 的 全 面试验水平组合数为,3,3,=27,，,4,因素,3,水平的全面试验水平组合数为,3,4,=81,，,5,因素,3,水平的全面试验水平组合数为,3,5,=243,，这在试验中是不可能做到的。,正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。图,11-A,中标有试验号的九个“,()”,，就是利用正交表,L,9,(3,4,),从,27,个试验点中挑选出来的,9,个试验点。即：,关于正交的直观印象,数据点分布是均匀的,每一个面都有,3,个点,每一条线都有,1,个点,1.3,正交试验设计,正交试验设计也称正交设计,(orthogonal design),，是用来科学地设计多因素试验的一种方法。它利用一套规格化的正交表,(orthogonal table),安排试验，得到的试验结果再用数理统计方法进行处理，使之得出科学结论。,正交表是试验设计的基本工具，它是根据均衡分布的思想，运用组合数学理论构造的一种数学表格，均衡分布性是正交表的核心。,19,世纪,20,年代，英国统计学家,R. A. Fisher,首先后马铃薯肥料试验当中，运用排列均衡的拉丁方，解决了试验时的不均匀试验条件，获得成功，并创立了,“,试,验设计,”,这一新兴学科。,“,均衡分布,”,思想在,20,世纪,50,年代应用于工业领域，,60,年代应用于农业领域，使正交试验在科研生产实际中得到推广,。,2,、正交表,., 正交,表 正交拉丁方的自然推广,由于正交设计安排试验和分析试验结果都要 用 正交表，因此，我们先对正交表作一介绍。,安排的,4,因素,3,水平的试验，编上试验号，列成另外一种形式，见正交表,L,9,(,3,4,),（表,11-6,）,。,可以由此得到系列正交表,(orthogonal table),。,常用的正交表已由数学工作者制定出来，供进行正交设计时选用。,2,水平正交表除,L,8,(2,7),外，还有,L,4,(2,3,),、,L,16,(2,15,),等；,3,水平正交表有,L,9,(3,4,),、,L,27,(2,13,),等（详见附表,17,及有关参考书）。,表,11-6,是一张正交表，记号为,L,9,(3,4,),，其中“,L”,代表正交表；,L,右下角的数字“,9”,表示有,9,行 ，用这张正交表安排试验包含,3,个处理,(,水平组合,),；括号内的底数“,3”,表示因素的水平数，括号内,3,的指数“,4”,表示有,4,列 ，也指安排的因素数，用这张正交表最多可以安排,4,个,3,水平因素。,2.2,正交表的表示符号,正交表记号所表示的含义归纳如下：,L,n (t,q,）,式中：,L,为正交表符号，是,Latin,的第一个字母；,n,为试验次数，即正交表行数；,t,为因素的水平数，即,1,列中出现不同数字的个数,;q,为最多能安排的因素数，即正交表的列数。,正交表表示方法,L,9,（,3,4,）,正交表列数,一列中出现的数字个数,正交表行数,正交表的代号,正交表中,1,列可以安排,1,个因素，,因此它可安排的因素数可以小于或等于,q,，但不能大于,q,。,括号内的,t,q,表示,q,个因素、每个因素,t,个水平全面试验的水平组合数（即处理数）,。因为安排因素个数不能大于,q,，所以,n /t,q,为最小部分实施。,显然,，,L,4,(2,3,),是最简单的正交表，有,4,列,3,行用它最多能安排,3,个,2,水平因素的试验。部分试验为,4,次，全面试验为,8,次，最小部分实施为,1/2,，即用它安排试验可比全面试验少做,1/2,。所以，当试验因素数,q,及每个因素的水平数,t,增加时,n /t,q,则下降，节省试验,次数的效果更明显。,一般非等水平正交表表示为,L,n,(t,1,q1,X t,2,q2,）（,q,1,不等于,q,2,）,L,n,(t,l,q1,X t,2,q2,X t,3,q3,）（,q,1,q,2,q,），它们各代表一个具体的数字表格。又称混合型正交表。,当用非等水平正交表示为,Ln (t,1,q1,X t,2,q2,),安排试验时。则因素数应不大于,q,1,+q,2,且,t,1,水平的因素数不大于,q,1,，,t,2,水平的因素数不大于,q,2,，,最小部分实施为,n/(t,1,q1,+t,2,q2,）。,2.3,常用正交表的分类及特点,1,、标准表（,相同水平正交表）,2,水平,:L,4,(2,3,）,L,8,(2,7,）,L,16,(2,15,），,3,水平,:L,9,(3,4,），,L,27,（,3,13,），,L,81,(3,40,），,4,水平：,L,16,(4,5,）,L,64,(4,21,）,L,256,(4,85,），,5,水平：,L,25,（,5,6,）,L,125,(5,31,）,L,625,(5,156,），,各列中出现的最大数字相同的正交表称为相同水平正交表。如,L,4,(2,3,),、,L,8,(2,7,),、,L,12,(2,11,),等各列中最大数字为,2,，称为两水平正交表；,L,9,(3,4,),、,L,27,(3,13,),等各列中最大数字为,3,，称为,3,水平正交表。,凡是标准表，水平数都相等。且水平数只能取素数或素数幂。因此有,7,水平，,9,水平的标准表，没有,6,水平，,8,水平的标准表。,2.3,常用正交表的分类及特点,2,、非标准表（,混合水平正交表）,各列中出现的最大数字不完全相同的正交表称为混合水平正交表。,如,L,8,(42,4,),表中有一列最大数字为,4,，有,4,列最大数字为,2,。也就是说该表可以安排一个,4,水平因素和,4,个,2,水平因素。,再如,L,16,(4,4,2,3,),，,L,16,(42,12,),等都混合水平正交表。,2.4,正交表的基本性质,任何一张正交表都有如下三个特性：,（）正交性,1,、,任一列中，不同数字出现的次数相等,例如,L,8,(2,7,),中不同数字只有,1,和,2,，它们各出现,4,次；,L,9,(3,4,),中不同数字有,1,、,2,和,3,，它们各出现,3,次,。,2,、,任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次数相等,例如,L,8,(2,7,),中,(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),各出现两次；,L,9,(3,4,),中,(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3),各出现,1,次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。,由正交表的正交性可以看出：,正交表各列的地位是平等的，表中各列之间可以互相置换，称为列间置换；,正交表各行之间也可相互置换，称行间置换；,正交表中同一列的水平数字也可以相互置换，称水平置换。,上述,3,种置换即正交表的,3,种初等置换。经过初等置换所能得到的一切正交表，称为原正交表的同构表或等价表，显然，实际应用时，可以根据不同需要进行变换。,(2),代表性。,代表性的含义之一，在于正交表的正交性中：,任一列的各水平都出现，使得部分试验中包含所有因素的所有水平。,任意,2,列间的所有组合全部出现，使任意两因素间都是全面试验。因此，在部分试验中，所有因素的所有水平信息及两两因素间的所有组合信息都无一遗漏。这样，虽然安排的是部分试验，却能够了解全面试验的情况，从这个意义上,讲可以代表全面试验。,因为正交性，使部分试验点必然均衡地分布后全面试验的试验点中。,所谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均匀的 。 由 图,11-2,可以看出，在立方体中 ，任一平面内都包含,3,个“,()”,， 任一直线上都包含,1,个“,()”,，因此 ，这些点代表性强 ，能够较好地反映全面试验的情况。,（,3,）综合可比性。,反映在正交性当中：,任一列各水平出现的次数都相等。,任,2,列间所有可能的组合出现的次数都相等。因此使任一因素各水平的,试验条件相同。这就保证了在每列因素各个水平的效果中，最大限度地排除其他因素的干扰，突出本列因素的作用，从而可以综合比较该因素不同水平对试验指标的影响。这种性质称为综合可比性或整齐可比性。,如在,A,、,B,、,C 3,个因素中，,A,因素的,3,个水平,A1,、,A2,、,A3,条件下各有,B,、,C,的,3,个不同水平，即：,在这,9,个水平组合中，,A,因素各水平下包括了,B,、,C,因素的,3,个水平，虽然搭配方式不同，但,B,、,C,皆处于同等地位，当比较,A,因素不同水平时，,B,因素不同水平的效应相互抵消，,C,因素不同水平的效应也相互抵消。所以,A,因素,3,个水平间具有可比性。同样，,B,、,C,因素,3,个水平间亦具有可比性。,根据以上两个特性，我们用正交表安排的试验，具有,均衡分散,和,整齐可比,的特点。,正交表的,3,个基本性质中，正交性即均衡性是核心，是基础，代表性和综合可比性是正交性的必然结果，从而使正交表得以具体应用。,正交表集其,3,个性质于一体，成为正交试验设计的有效工具，用它来安排试验，也必然具有,“,均衡分散，整齐可比,”,的特性，代表性强，效率也高。因而，实际应用越来越广。,交互作用的处理。在试验设计中，交互作一律当做因素看待，这是处理交互作用的一条总原则。,3,正交试验设计的基本步骤,正交试验设计（简称正交设计）的基本程序是设计试验方案和处理试验结果两大部分。主要步骤可归纳如下：,第一步，明确试验目的，确定考核指标。,第二步，挑因素，选水平。,第三步，选择合适的正交表。,第四步，进行表头设计。,第五步，确定试验方案。,第六步，试验结果分析。,3.1,明确试验目的，确定考核指标,试验目的，就是通过正交试验要想解决什么问题。,考核指标，就是用来衡量或考核试验效果的质量指标。试验指标一经确定，就应当把衡量和评定指标的原则、标准，测定试验指标的方法及所用的仪器等确定下来。这本身就是一项细致而复杂的研究工作,。,3.2,挑因素，选水平,影响指标者称为因素。因素在试验中变化的各种状态，称为水平。因素的变化引起指标的变化，正交试验法适用于试验中能人为加以控制和调节的因素,可控因素。选好的因素、水平通常可列成因素水平表。,3.3,选择合适的正交表,总原则：能容纳所有考察因素，又使试验号最小。,一般有这样几条规则：,(1),先看水平数。根据水平数选用相应的水平的正交表。,(2),其次看试验要求。如只考察主效应，则可选择较小的表，只要所有因素均能顺序上列即可。如果还需考察交互效应，那么就要选用较大的表，而且各因素的排列不能任意上列，要按照各种能考察交互作用的表头设计来安排因素。,3.3,选择合适的正交表,(3),再看允许做试验的正交表的次数和有无重点因素要考察。如果只允许做,9,次试验，而考察因素只有,3-4,个，则用,3,水平的,L,9,(3,4,）表来安排试验。若有重点因素要详细考察则可选用水平数不等的正交表如,L,8,(4X2,4,）等，将重点因素多取几个水平加以详细考察。,要求精度高，可选较大的,n,值的,L,表。,切不可遗漏重要因素，所以可倾向于多考察些因素。,可以先用水平数少的正交表作试验，找出重要因素后，对少数重要因素再作有交互作用的细致考察,。,3.4,进行表头设计,所谓表头设计，就是将试验因素安排到所选正交表的各列中去的过程。,(1),只考察主效应，不考察交互效应，,正交表中每一列的位置是一样的，可以任意变换,。因此，不考察交互效应的表头设计非常简单，将所有因素任意上列即可。,(2),考察交互作用的表头设计，各因素及各交互作用不能任意安排，必须严格按交互作用列表进行配列。这是有交互作用正交设计的重要特点，也是试验方案设计的关键一步。,3.4,进行表头设计,避免混杂，是表头设计的一个重要原则，也是表头设计选优的一个重要条件。所谓混杂，是指在正交表的同一列中，安排了,2,个或,2,个以上的因素或交互作用。这样，就无法确定同一列中的这些不同因素或交互作用对试验指标的作用效果。为避免混杂，使表头设计合理、更优，那些主要因素，重点考察的因素，涉及交互作用较多的因素，就应该优先安排；而另一些次要因素，涉及交互作用较少的因素和不涉及交互作用的因素，可放在后面安排。表,11-10,是,L,8,(4X2,4,),的,表头设计。,3.5,排出试验方案,【,例,1】,鸭肉保鲜天然复合剂的筛选。虽然有机酸和盐处理对鸭肉保鲜有明显效果，但是大部分有机酸和盐属于合成的化学药剂，在卫生安全上得不到保证，并且不符合消费者纯天然，无污染的要求，试验以茶多酚作为天然复合保鲜剂的主要成分，分别添加不同的增效剂、被膜剂和不同的浸泡时间，进行了,4,因素和,4,水平的正交试验，试安排一个正交试验方案。,正交设计,一般有以下几个步骤：,（,1,）明确目的，确定指标,：本例是一个食品加工工艺的研究试验，目的是通过试验，寻求一个最佳的鸭肉天然复合保鲜剂,。,（,2,）挑因素、选水平,影响试验结果的因素很多，我们不可能把所有影响因素通过一次试验都予以研究，只能根据以往的经验，挑选和确定若干对试验指标影响最大、有较大经济意义而又了解不够清楚的因素来研究。同时还应,根据实际经验和专业知识，定出各因素适宜的水平，列出因素水平表,。,【,例,1】,的因素水平表如表,11-11,所示，选定了,4,个因素，每个因素,4,个水平的正交试验。,(3),选用合适的正交表,确定了因素及其水平后，根据因素、水平及需要考察的交互作用的多少来选择合适的正交表。选用正交表的原则是：既要能安排下试验的全部因素，又要使部分水平组合数（处理数）尽可能地少。一般情况下，试验因素的水平数应恰好等于正交表记号中括号内的底数；因素的个数（包括交互作用）应不大于正交表记号中括号内的指数；各因素及交互作用的自由度之和要小于所选正交表的总自由度，以便估计试验误差。若各因素及交互作用的自由度之和等于所选正交表总自由度，则可采用有重复正交试验来估计试验误差。本例选,L,16,（,4,5,）最合适，有,1,空列，可以作为试验误差以衡量试验的可靠性。,(4),表头设计,所谓表头设计，就是把挑选出的因素和要考察的交互作用分别排入正交表的表头适当的列上。,在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各列上；若考察交互作用，就应按该正交表的交互作用列表安排 各 因 素与交互作用。,此例不考察交互作用，可将,(A),、,(B),和,(C),依次安排在,L,16,(4,5,),的第,1,、,2,、,3,列上，第,4,列 为空列，见表,11-12,。,(5),排出试验方案,把正交表中安排各因素的每个列,(,不包含欲考察的交互作用列,),中的每个数字依次换成该因素的实际水平，就得到一个正交试验方案。表,11-12,就是,例,11-2,的正交试验方案。,从而得出试验的,16,个处理，即：,123 3,，,241 2,，,343 4,，,421 1,，,131 4,，,213 1,，,311 3,，,433 2,，,114 2,，,232 3,，,334 1,，,412 4,，,142 1,，,224 4,，,322 2,，,444 3,。,【,例,2,】,要生产某种食品添加剂，根据试验发现影响添加剂收率的因素有,4,个，每个因素设置,2,种水平（表,11-13,）。,本例有,4,个因素，如果安排后,L,8,(2,7,）表中，从表,11-8 L,8,(2,7,),表头设计可以查出,4,个因素应安排在,1,2,4,7,列为好，这样考察,4,个因素各自的效应都不会与交互作用混杂。另外根据专业知识可知，,D,因素与,A,，,B,，,C3,因素之间没有或者少有交互作用。故将,D,因素安排后第七列，则,3,，,5,，,6,列就仅为,AXB,，,AXC,和,BXC,单独的交互作用。,本例有,4,个因素，如果安排后,L,8,(2,7,）表中，从表,11-8 L,8,(2,7,),表头设计可以查出,4,个因素应安排在,1,2,4,7,列为好，这样考察,4,个因素各自的效应都不会与交互作用混杂。另外根据专业知识可知，,D,因素与,A,，,B,，,C3,因素之间没有或者少有交互作用。故将,D,因素安排后第七列，则,3,，,5,，,6,列就仅为,AXB,，,AXC,和,BXC,单独的交互作用。,4,正交试验的结果分析,4.1,直观分析法（极差分析法）,凡采用正交表设计的试验，都可用正交表分析试验的结果，正交试验的结果,分析，有直观分析和方差分析,2,种方法，现分别予以介绍。,4.1.1,不考虑交互作用的分析法,现对,【,例,1,】,进行分析，该试验的结果见表,11-14,。,分析方法：首先从,16,个处理中直观地找出最优处理组合为,9,号处理，即,A,1,B,1,C,4,D,2,，指标为,38.79,；其次为,13,号处理,A,1,B,4,C,2,D,1,，指标为,38.02,，但是究竟哪一个是最好的指标呢？现后通过直观分析进行验证：,4,、正交试验结果的结果分析,若各号试验处理都只有一个观测值，则称之为单独观测值正交试验；若各号试验处理都有两个或两个以上观测值，则称之为有重复观测值正交试验。,下面分别介绍单独观测值和有重复观测正交试验结果的方差分析。,4.1.2,考察交互作用的试验结果分析,考察交互作用的试验结果的分析方法与前面并无本质不同，只是：应把每个互作当成一个因素看待进行分析；应根据互作的效应，选择出最优试验组,合。见表,11-15,。,4.2.1,无重复试验的方差分析,这种分析方法要求用正交表设计试验时，必须留有不排入因素或互作的空例，以作为误差的估计值。,【,例,3】,某食品厂或产口香糖，检验口香糖的质量好坏需要分析：拉伸率（越大越好）；变形（越小越好）；耐弯曲次数（越多越好）这,3,种指标，要求对,3,种指标都取得较好水平，现要进行口香糖配方的试验分析，因素水平表见表,11-17,，结果分析见表,11-18,。,资料整理：本试验,3,个指标同等重要，我们只以拉伸率,1,项为例作方差分析，其余,2,项及综合考察留给大家作练习之用。,表,11-18,中一共有,A,，,B,，,C,，,D4,项因素，每一因素为,4,水平，每一水平的重复次数为,4,次，总次数为,16,次,(n),。,自由度与平方和分解：,该次试验的,16,个观测值总变异由,A,因素、,B,因素、,C,因素、,D,因素及误差变异五部分组成，因而进行方差分析时平方和与自由度的划分式为：,SS,T,= SS,A,+SS,B,+SS,C,+,SS,D,+SS,e,df,T,= df,A,+ df,B,+ df,C,+ df,D,+ df,e,表,11-18,中，,K,i,为各因素同一水平试验指标（拉伸率,%,）之和。,如,A,因素第,1,水平,K,1,=,y,1,+y,2,+y,3,+y,4,=545+490+515+505=2055,A,因素第,2,水平,K,2,=,y,5,+y,6,+,y,7,+y,8,=492+485+499+480=1956,，,A,因素第,3,水平,K,3,=,y,9,+y,10,+y,11,+y,12,=566+539+511+515=2131,，,A,因素第,4,水平,K,4,=,y,13,+y,14,+y,15,+y,16,=535+488+495+475=1993,B,因素第,1,水平,K,1,=,y,1,+y,5,+y,9,+y,13,=545+492+566+535=2138,，,B,因素第,3,水平,K,3,=,y,3,+y,7,+y,11,+y,15,=515+499+511+495=2020,同理可求得,C,因素和,D,因素各水平试验指标之和。,为各因素同一水平试验指标的平均数。,如,A,因素第,1,水平,=2055/4=513.75,，,A,因素第,2,水平,=1956/4=489.0,，,A,因素第,3,水平,=2131/4=532.75,，,A,因素第,4,水平,=1993/4=489.25,，,同理可求得,B,、,C,因素各水平试验指标的平均数。,1,、,计算各项平方和与自由度,矫正数,C = T,2,/n,= 8135,2,/15 = 4136139.063,总平方和,SS,T,=,y,2,-C,=545,2,+490,2,+475,2,-,4136139.063,=10167.9375,A,因素平方和,SS,A,=,/a-C,=(2055,2,+1956,2,+2131,2,+1993,2,)/4 ,4136139.063,=4403.6875,B,因素平方和,SS,B,= ,/b-C,=(2138,2,+2002,2,+2020,2,+1975,2,)/4,-4136139.063,=3897.1875,C,因素平方和,SS,C,=,T,2,C,/c-C,=(2016,2,+1992,2,+2021,2 +,2078,2,)/4,4136139.063,=,1062.1875,D,因素平方和,SS,D,=,T,2,D,/d-C,=(2047,2,+2016,2,+2021,2 +,2051,2,)/4,4136139.063,=,237.6875,误差平方和,SS,e,=,SS,T,-SS,A,-SS,B,-SS,C,-SS,D,=10167.9375-4403.6875-3879.1875,1062.1875-237.6875,=585.1875,总自由度,df,T,=,n-1,=16-1=15,A,因素自由度,df,A,=,k,a,-1,=4-1=3,B,因素自由度,df,B,=,k,b,-1,=4-1=3,C,因素自由度,df,C,=,k,c,-1,=4-1=3,D,因素自由度,df,d,=,k,d,-1,=4-1=3,误差自由度,df,e,=,df,T,-df,A,-df,B,-df,C,-df,d,= 15-3-3-3 -3= 3,2,、,列出方差分析表，进行,F,检验,F,检验结果表明，四个因素对拉伸率的影响都不显著。究其原因可能是本例试验误差大且误差自由度小,(,仅为,3),，使检验的灵敏度低，从而掩盖了考察因素的显著性。由于各因素对增重影响都不显著，不必再进行各因素水平间的多重比较。此时，可直观地从表,11-18,中选择平均数大的水平,A,3,、,B,1,、,C,3,、,D,4,组合成最优水平组合,A,3,B,1,C,3,D,4,。,上述无重复正交试验结果的方差分析，其误差是由“空列”来估计的。然而“空列”并不空，实际上是被未考察的交互作用所占据。这种误差既包含试验误差，也包含交互作用，称为,模型误差,。若交互作用不存在，用模型误差估计试验误差是可行的；若因素间存在交互作用，则模型误差会夸大试验误差，有可能掩盖考察因素的显著性。这时，试验误差应通过重复试验值来估计。所以，进行正交试验最好能有二次以上的重复。正交试验的重复，可采用完全随机或随机单位组设计。,多重比较。从本试验的方差分析，相对来说,A,因素和,B,因素为重要因素，,C,因素和,D,因素为次要因素。对,A,，,B,两因素进行多重比较表,11-20,至表,11-22,，,用,LSR,法。,当,df,e,=3,时,，,多重比较的结果以,A,3,和,B,1,为最好，另外,A,3,和,B,1,也可考虑，作为分析其他指标后综合平衡选择之用。从拉伸率这一指标来讲，最优组合为：,A,：胶基添加量,21,；,B,：葡萄糖浆添加,量,17,；,C,，,D,因素不论。,4.2.2,有重复观测值正交试验结果的,方差,有重复试验的方差分析与无重复试验的方差分析，除误差平方和、自由度的计算有所不同外，其余各项计算基本相同。,【,例,4,】,有一水稻,3,因素试验，,A,因素为品种,(4,水平）；,B,因素为栽插密度,(2,水平,);C,因素为施肥量,(2,水平,),；选用,L,8,(4 X2,4,),，其表头设计和产量结果（小,区面积,30 m,2,）,。见表,11-23,。 用,n,表示试验,(,处理,),号数，,r,表示试验处理的重复数。,a,、,b,、,c,、,k,a,、,k,b,、,k,c,的意义同上。,对于有重复、且重复采用随机单位组设计的正交试验，总变异可以划分为处理间、单位组间和误差变异三部分，而处理间变异可进一步划分为,A,因素、,B,因素、,C,因素与模型误差变异四部分。此时，平方和与自由度划分式为：,SS,T,=SS,t,+SS,r,+SS,e2,df,T,= df,t,+ df,r,+ df,e2,而,SS,t,=SS,A,+SS,B,+SS,C,+SS,e1,df,t,= df,A,+ df,B,+ df,C,+ df,e1,于是,SS,T,=SS,A,+SS,B,+SS,C,+SS,r,+SS,e1,+SS,e2,df,T,= df,A,+ df,B,+ df,C,+ df,r,+ df,e1,+ df,e2,式中：,SS,r,为单位组间平方和；,SS,e1,为模型误差平方和；,SS,e2,为试验误差平方和；,SS,t,为处理间平方和；,df,r,、,df,e1,、,df,e2,、,df,t,为相应自由度。,注意，对于重复采用完全随机设计的正交试验，在平方和与自由度划分式中无,SS,r,、,df,r,项。,1,、计算各项平方和与自由度,矫正数,C =T,2,/ r n,= 496,2,/38,=10250.67,总平方和,SS,T,=,x,2,-C,=17,2,+16,2,+26,2,- 10250.67,=451.33,单位组间平方和,SS,r,=,T,2,r,/n-C,=(169,2,+165,2,+162,2,)/8 - 10250.67,=,3.08,处理间平方和,SS,t,=,T,2,t,/ r - C,= (52,2,+59,2,+82,2,)/3 -,10250.67,= 406.67,A,因素平方和,SS,A,=,T,2,A,/ ar - C,= (111,2,+138,2,+93,2,+154,2,)/23 -,10250.67,= 371.0,B,因素平方和,SS,B,=,T,2,B,/ br - C,=(245,2,+251,2,)/43 -,10250.67,=,1.50,C,因素平方和,SS,C,= ,T,2,C,/ cr - C,= (234,2,+262,2,)/43 -,10250.67,= 32.66,模型误差平方和,SS,e1,=,SS,t,SS,A,SS,B,- SS,C,=406.67-371.00-0,32.67,=,3.00,试验误差平方和,SS,e2,=,SS,T,SS,r,- SS,t,=451.33-3.08,405.16,=41.58,总自由度,df,T,=rn-1,=38-1=23,单位组自由度,df,r,=r-1,=3-1=2,处理自由度,df,t,=n-1,=8-1=7,A,因素自由度,df,A,=k,a,-1,=4-1=3,B,因素自由度,df,B,=k,b,-1,=2-1=1,C,因素自由度,df,C,=k,c,-1,=2-1=1,模型误差自由度,df,e1,= df,t,-df,A,-df,B,-df,C,= 7-3-1-1= 2,试验误差自由度,df,e2,=df,T,-df,t,-,df,r,=23-7-2 = 14,2,、,列出方差分析表，进行,F,检验,首先检验,MS,e1,与,MS,e2,差异的显著性，若经,F,检验不显著，则可将其平方和与自由度分别合并，计算出合并的误差均方，进行,F,检验与多重比较，以提高分析的精度；若,F,检验显著，说明存在交互作用，二者不能合并，此时只能以,MS,e2,进行,F,检验与多重比较。本例,MS,e1,/,MS,e2,1,，,MS,e1,与,MS,e2,差异不显著，故将误差平方和与自由度分别合并计算出合并的误差均方,MSe,，即,MSe,= (,SS,e1,+,SS,e2,),/(,df,e1,+,df,e2,),= (3.00+41.58)/(2+14),= 2.78625,并用合并的误差均方,MSe,进行,F,检验与多重比较。,F,检验结果表明，,A,、,C,因素对水稻产量有显著影响，,B,因素作用不显著。,4,、,A,因素各水平平均数的多重比较,表,11-25,A,因素各水平平均数多重比较表,(,SSR,法,),单位：,%,在实际研究中，有时试验因素之间存在交互作用。对于既考察因素主效应又考察因素间交互作用的正交设计，除表头设计和结果分析与前面介绍略有不同外，其它基本相同。,【,例,5】,某一种抗菌素的发酵培养基由,A,、,B,、,C,3,种成分组成，各有两个水平，除考察,A,、,B,、,C,三个因素的主效因外，还考察,A,与,B,、,B,与,C,的交互作用。试安排一个正交试验方案并进行结果分析。,(,一,),选用正交表，作表头设计,由于本试验有,3,个两水平的因素和两个交互作用需要考察，各项自由度之和为：,3(2-1)+2(2-1)(2-1)=5,，因此可选用,L,8,(2,7,),来安排试验方案。,正交表,L,8,(2,7,),中有基本列和交互列之分，基本列就是各因素所占的列，交互列则为两因素交互作用所占的列。可利用,L,8,(2,7,),二列间交互作用列表,(,见表,12-30),来安排各因素和交互作用。,如果将,A,因素放在第,1,列 ，,B,因素 放在第,2,列，查表可知，第,1,列与第,2,列的交互作用列是第,3,列 ，于是将,A,与,B,的交互作用,AB,放在第,3,列。这样第,3,列不能再安排其它因素 ，以免出现“混杂”。然后将,C,放在第,4,列， 查表 可知，,BC,应放在第,6,列，余下列为空列 ，如此可得表头设计，见表,12-31,。,(,二,),列出试验方案,根据表头设计，将,A,、,B,、,C,各列对应的数字“,1”,、“,2”,换成各因素的具体水平，得出试验方案列于表,12-32,。,(,三,),结果分析,按表,12-33,所列的试验方案进行试验，其结果见表,12-34,。,表中,T,i,、 计算方法同前。此例为单独观测值正交试验，总变异划分为,A,因素、,B,因素、,C,因素、,AB,、,BC,、与误差变异,5,部分，平方和与自由度划分式为：,SS,T,=SS,A,+SS,B,+SS,C,+SS,AB,+SS,BC,+SS,e,df,T,= df,A,+ df,B,+ df,C,+df,AB,+ df,BC,+ df,e,1,、,计算各项平方和与自由度,矫正数,C=T,2,/n,=665,2,/8=55278.1250,总平方和,SS,T,=,x,2,-C,=55,2,+38,2,+61,2,-55278.1250,=6742.8750,A,因素平方和,SS,A,=,T,2,A,/a-C,=(279,2,+386,2,)/4,-55278.1250=1431.1250,B,因素平方和,SS,B,=,T,2,B,/b-C,=(339,2,+326,2,)/4-55278.1250,=21.1250,C,因素平方和,SS,C,=,T,2,C,/c-C,=(353,2,+312,2,)/4-55278.1250,=210.1250,AB,平方和,SS,AB,=,T,2,AB,/4-C,=(233,2,+432,2,)/4 -55278.1250,=4950.1250,BC,平方和,SS,BC,=,T,2,BC,/4 - C,= (327,2,+338,2,)/4 - 55278.1250,= 15.1250,误差平方和,SS,e,=,SS,T,-SS,A,-SS,B,-SS,AB,-SS,BC,= 6742.8750-1431.1250-21.1250,-210.1250-4950.1250-15.1250,=115.2500,总自由度,df,T,=n-,1=8-1=7,各因素自由度,df,A,=df,B,=df,C,=2-1=1,交互作用自由度,df,AB,=df,BC,=(2-1) (2-1)=1,误差自由度,df,e,=df,T,-df,A,-df,C,-df,AB,-df,BC,=7-1-1-1-1-1,=2,*,试验结果以对照为,100,计。,2,、,列出方差分析表，进行,F,检验,F,检验结果表明：,A,因素和交互作用,AB,显著，,B,、,C,因素及,BC,交互作用不显著。因交互作用,AB,显著，应对,A,与,B,的水平组合进行多重比较，以选出,A,与,B,的最优水平组合。,3,、,A,与,B,各水平组合的多重比较,先计算出,A,与,B,各水平组合的平均数：,A,1,B,1,水平组合的平均数,=(55+38)/2=46.50,A,1,B,2,水平组合的平均数,=(97+89)/2=93.00,A,2,B,1,水平组合的平均数,=(122+124)/2=123.00,A,2,B,2,水平组合的平均数,=(79+61)/2=70.00,列出,A,、,B,因素各水平组合平均数多重比较表，见表,12-35,。,因为,由,df,e,=2,与,k,=2, 3, 4,查临界,q,值，并计算,出,LSR,值，见表,12-36,。,多重比较结果表明，,A,2,B,1,显著优于,A,2,B,2,，,A,1,B,1,；,A,1,B,2,显著优于,A,1,B,1,，其余差异不显著。最优水平组合为,A,2,B,1,。,从以上分析可知，,A,因素取,A,2,，,B,因素取,B,1,，若,C,因素取,C,1,，则本次试验结果的最优水平组合为,A,2,B,1,C,1,。,