张量网络态重整化

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Renormalization of Tensor Network States,张量网络态重整化,陈勇,3.,15 . 2016,目录,1,对于量子多体强关联系统的介绍,2,对于此类系统研究方法的发展,3,介绍张量网络态重整化研究多体系统,4,此方法与其他方法的对比（优点）,对于量子多体强关联系统的介绍,对于这样一个量子多体系统，每一个格点上都有一个量子态,这些量子态相邻之间或次近邻间有相互作用,如何用波函数来完整描述整个系统的状态，以及格点之间的关联作用？,Entanglement Entopy between A and B,L: number of bonds on the interface between A and B, : minimal number of basis states needed for describing the wavefunction,对于量子多体强关联系统的介绍,对于量子多体强关联系统的介绍,对于弱关联多体系统的研究方法（,Strong coupling approach,）,截断多体系统基空间,（,truncated many body basis space,）,量子蒙特卡洛方法,Quantum Monte Carlo,重正化方法,Numerical Renormalizatio,对于弱关联多体系统的研究方法,（,Weak coupling approach,）,用单粒子近似方法,(single particle approximation),哈里克,-,福特近似,Hartree-Fock Theory,密度泛函理论,Density Functional Theory,蒙特卡洛方法简单介绍（,ISing,Modle,）,二维,ISing Modle,第,假设,i个节点是一个小磁针，每个小磁针有上下两种状态，我们用 来表示这个状态，并且,表示磁针朝上或者朝下。网格上相邻的两个小磁针可以发生相互作用,总能量为：,蒙特卡洛方法简单介绍（,ISing,Modle,）,二维,ISing Modle,下面我们来讨论Ising模型的计算机模拟。有趣的是，先让每个小磁针的状态发生随机变化，再根据能量来依概率接受这种状态变化,，,系统下一时刻的状态并不是直接取为该状态组合，而是以概率发生：,概率为,u,概率为,1-u,蒙特卡洛方法简单介绍（,ISing,Modle,）,二维,ISing Modle,按照上述算法，系统可以最终达到如下的概率分布状态：,这个分布就是波尔兹曼分布,蒙特卡洛方法简单介绍（,ISing,Modle,）,模拟结果,：,T,小于,Tc,T,约等于,Tc,（临界状态）,T,大于,Tc,二维模型的重整化简单介绍,什么是制约,Ising,模型最核心的因素呢？根据统计力学，我们知道，这个核心因素就是 配分函数：,通过,Z(H,T),，我们可以求出一切,Ising,模型的热力学量。,平均磁场强度,磁导率,比热,二维模型的重整化简单介绍,重正化包含两大步骤：,（,1,）,对系统进行粗粒化，从两个不同的尺度上描述,Ising,模型,（,2,）,写出两个不同尺度下的配分函数，让它们的形式彼此相同,。（卡丹诺夫（,Kadanoff,）变换）,图,(a),到图,(b),中的灰色方格的小磁针忽略掉，只保留白色格子的小磁针。,图,(b),到图,(b),旋转,45,度并将尺度缩小 倍就可以得到跟原模型一致的,Ising,模型。,二维模型的重整化简单介绍,图（,c,）新标度的配分函数,记,图（,a,）的配分函数,让这个新的配分函数保持与原来的配分函数一致,（,1,）,（,2,）,（,3,）,然后求出,进而得到重整化方程,二维模型的重整化简单介绍,求解这个方程的迭代不动点，我们得到了一个非,o,解：,这是一个非平凡的不动点。因此，我们通过,得到了二维,Ising,模型的临界温度。,Classical Lattice Statistical Model =Tensor Network Model,即用张量网络态来代替表示经典系统格点间的相互作用,张量网络态重整化,张量网络态重整化,第一步：粗粒化（把相邻的两个张量变成一个）,其中,张量网络态重整化,第二步：通过高阶奇异值分解确定变换酉矩阵,是核心张量，满足：,正交性,有序性,张量网络态重整化,第三步：对张量进行重整化（,renormalize the tensor,）,按照核心张量的规范对,M,的维数进行截断,张量网络态重整化,第四步：粗粒化加截断循环过程完成以后得到：,然后根据配分函数求出系统的各种热力学性质,张量网络态重整化,以,XY Model,为例,哈密顿量：,配分函数为：,定义每个格点张量,配分函数改写为：,张量网络态重整化,重复上面讨论的四个步骤，得到,XY,模型的最终配分函数，然后求出系统的热力学性质，如图：,计算结果与,MC,结果比较，看出,HOTRG,方法是比较准确的,对张量网络态重整化方法的改进（,HOSRG,）,但是,HOTRG,并不是最准确的，改进后的,HOSRG,方法更加提高了结果的准确度。,原理：,HOSRG,方法将系统与环境的相互作用考虑在内，所以是更准确的，依据的最大化熵的方法。,对,HOSRG,方法的介绍,HOSRG,主要分为两个迭代过程,1,：,向前迭代过程（,Forward iterations,）,: :,用,HOTRG,去确定,U (n),和,T (n),2,：,反向迭代过程,(Backward iterations) :,计算环境张量,E,计算环境的示意图,对,HOSRG,方法的介绍,HOSRG,步骤,第一步：,先用,HOTRG,方法将系统缩小到一个可操作的大小， ，,N=,第二步,：根据上面的公式求出环境块，刚开始的环境块 是个单位张量,第三步,：构造一个密度矩阵来重新定义 ，再用 对 进行修正，并且不断迭代，直到所有的系统和环境块都收敛。,对密度矩阵对角化,对,HOSRG,方法的介绍,HOSRG,的准确度,从,TRG,到,HOTRG,是数学方法的差别，但是,SRG,和,HOSRG,从物理上修正了误差，可以看出考虑了环境的影响后，结果是更加准确的,HOSRG,方法应用到三维,ISing,模型,先进行,HOTRG,迭代,定义所有的环境块,定义耦合密度矩阵,HOSRG,方法应用到三维,ISing,模型,这些是,HOTRG,的结果，用改进后的,HOSRG,将更加精确,HOSRG,方法应用到三维,ISing,模型,三维,ISing,模型用,HOTRG,方法与其他方法结果准确度比较,