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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第1章 投影基础,1.1 投 影 概 念,把空间形体表示在,平面上，是以投影法为基础的。投影法源出于日常生活中光的投射成影这个物理现象。例如，当电灯光照射室内的一张桌子时，必有影子落在地板上；如果把桌于搬到太阳光下，那么，必有影子落在地面上。,物体的影，为光线被物体遮挡在承影面上落下一个多边形暗区。光线角度和距离改变时，影子的位置和形状随之改变，影只反映物体的轮廓不表达物体的形状。,物体的各顶点和各条棱边都在平面上落下影，这些点和线的影就将组成能反映物体形状的图形，该图形叫做物体的,投影图。该平面叫投影面。,承影面,光线,光源,物体,投射中心,投影面,形体,投射线,投影图,影,一、,投影的形成,投影面,P,投影的形成,投射线,S,投射中心,A,空间点,B,空间点,a,b,投影,投影的概念,形体,空间物体,投射中心,S,光源,投射线,投下影子的光线,从投影中心发出的射线,投影面,获得投影的平面,投影图,通过投射线将物体投射到投影面所得到的图形,即产生的影子,投影三要素：,投射线,形体（空间几何元素或几何形体）,投影面（不通过投影中心）,二、,投影的分类,投影法,正投影法,斜投影法,中心投影法,平行投影法,1.中心投影法,当,投影中心,S,距投影面,P,为有限远,时，所有的投射线都从投影中心一点出发（如同电灯照射物体），这种投影方法称为,中心投影法,。,用中心投影法获得的投影通常能反应表达对象的三维空间形态，,立体感强，但度量性差,。这种图习惯上称之为,透视图,。,投影面,P,中心投影,中心投影法,S,投射中心,c,b,a,投射线,A,C,B,表达对象,分析上图，我们可以得到中心投影的两条基本特性：,1,）,直线的投影，在一般情况下仍为直线；,2,）,点在直线上，则该点的投影必位于该直线的投影上。,中心投影法,2.,平行投影法,当,投影中心,S,据投影面,P,为无穷远,时，所有的投射线变得互相平行（如同太阳光一样），这种投影法称为平行投影法。其中，,根据投射线与投影面的相对位置的不同,，又可分为,正投影法,和,斜投影法,两种。,投射线,垂直于,投影面产生的平行投影叫做,正投影,投射线,倾斜于,投影面产生的平行投影叫做,斜投影,P,正投影,c,b,a,1) 正投影法,A,C,B,90,投射线方向,正投影的形状大小与表达对象本身存在简单明确的几何关系，因此具有较好的度量性，但立体感差。,P,斜投影,c,b,a,2) 斜投影法,A,C,B,投射线方向,90,平行投影除了具有中心投影的两条基本特性外，还具有另外两条特性：,1,）,点分直线线段成某一比例，则该点的投影也分该线段的投影成相同的比例；,2,）,互相平行的直线，其投影仍旧互相平行。,平行投影法,1)透视投影图,三、工程中常用的投影方法和投影图,2)轴测投影图,Z,X,O,Y,S,3)正投影图,(,1,),单面,正投影图,（,2,）,二面,正投影图,W,Y,W,V,H,Y,H,（3）三,面正投影图,W,Z,Y,X,O,H,4）标高投影图,15,20,25,15,20,25,15,20,25,工程中常用的投影方法和投影图,1,）,透视投影图：,用,中心投影,法绘制，俗称效果图。,优点：立体感强，图形逼真。,缺点：度量性差，绘制复杂。作正投影图辅助图样。,2,）,轴测投影图：,单面,平行投影,。能同时反映空间形体的三维。,优点：立体感较强。一定条件下也能直接度量。,缺点：绘制复杂。表示物体形状不完全。作正投影图的辅助图样。,3,）,多面正投影图：,用,正投影,法绘制，称为多面正投影图。,优点：作图方便，便于度量，应用最广。,缺点：直观性差,，,缺乏投影知识的人不易看懂。,4,）,标高投影图：,用,正投影,绘制的水平投影图。常用来画地形图。,采用地面等高线的水平投影，以数字标出各处高度的图示法。,1.2 正投影特性,研究投影的基本性质，旨在,研究空间几何元素本身与其落在投影面上的投影之间的一一对应关系,。其中最主要的是要弄清楚哪些空间几何特征在投影图上保持不变；哪些空间几何特征发生了变化和如何变化。,由于正投影具有较好的度量性，因此工程制图的基础主要是正投影法，所以必须先掌握正投影的基本性质（以后除特别指明外，所有投影均指正投影）。,正投影的特性,1.,类似性,2.,全等性,3.,积聚性,4.,重合性,1.,正投影的基本特性,类似性,c,a,b,b,c,a,d,2.,正投影的基本特性,全等性,a,c,b,b,a,d,c,3,.,正投影的基本特性,积聚性,(a),a,(,c,)(,b,),d,(,a,),c,(,b,),(b),E,F,M,e,m,f,4,.,正投影的基本特性重合性,重合性：两个或两个以上的点、直线、平面具有相同的正投影图称为投影重合即重影。称重合性。,重合性：,a(b,c,d),D,C,A,B,A,B,C,D,a,(,c,),b,(,d,),两个或两个以上的点线面具有同一投影时，则称它们投影重合。,点、直线、平面的正投影除了具有上述特性外,，还,具有从属性,、定比,性,、平行,性等等,。,三面投影的必要性,1.3 三面正投影图,由于单面正投影具有不可逆性，为确切地、唯一地反映空间立体的位置和形状，须采用多面投影相互补充。,一般来说，空间立体有正面、侧面和顶面三个方面的形状；具有长度、宽度和高度三个方向的尺寸。物体的一个正投影，只反映了一个方面的形状和两个方向的尺寸。为了反映物体三个方面的形状，常采用三面投影图。,三面正投影图,三面投影图是采用,正投影法,将空间几何元素或几何形体分别投影到,相互垂直的三个投影面,上，并按一定的规律,将投影面展开成一个平面,，把获得的投影排列在一起，使多个投影互相补充，以便确切地、唯一地反映表达对象的空间位置或形状。这种图又称,正投影图,。,三面投影体系的建立,Y,V,W,H,Z,O,X,正立投影面（,V,面）,水平投影面（,H,面）,侧立投影面（,W,面）,投影轴,V,、,W,、,H,面两两垂直；,OX,、,OY,、,OZ,三轴形成一个空间三维坐标系。,一、,三面正投影图的形成,砖的三个不同方向的正投影,V,W,H,Z,O,X,Y,H,Y,W,三面投影图的形成,V,面不动；,W,面向右旋转,90,；,H,面向下旋转,90,V,W,H,Z,Y,O,X,OY,轴一分为二；属,H,面的称,Y,H,轴；属,W,面的称,Y,W,轴；,二、,三个投影面的展开,为了把空间三个投影面上所得到的投影画在一个平面上，需将三个相互垂直的投影面展开摊平为一个平面。令,V,面保持不动，,H,面绕,OX,轴向下翻转,90,，,W,面绕,OZ,轴向右翻转,90,，则它们就和,V,面在同一个平面上了。,三面正投影的放置和标注,展开后的三面正投影，,H,面投影在,V,面投影的正下方；,W,面投影在,V,面投影的正右方。按照这种位置画投影图时，在图纸上可以不标注投影面、投影轴和投影图的名称。,三面正投影中投影面边界的处理,T,形梁,由于投影面是我们设想的，并无固定的大小边界范围，而投影图与投影面的大小无关，所以作图时也可以不画出投影面的边界。,三、,三面正投影图的投影规律,形体的,V,面投影反映了形体的正面形状和形体的长度及高度，形体的,H,面投影反映了形体水平面的形状和形体 的长度及宽度，形体的,W,面投影反映了形体左侧面的形状和形体的高度及宽度。,高,高,宽,长,长,宽,长,高,宽,宽,1.三等关系,：,V,、,H,投影 长对正；,V,、,W,投影 高平齐；,H,、,W,投影 宽相等。,长,宽,高,三面正投影的三等关系,四坡屋面房屋的三面正投影,把三个投影图联系起来看，就可以得出这三个投影之间的相互关系，即,V,面投影和,H,面投影“长相等”、,V,面投影和,W,面投影“高相等”、,H,面投影和,W,面投影“宽相等”。为便于作图和记忆，概括为“长对正、高平齐、宽相等”。,2.方位关系：,V,投影反映左右和上下；,H,投影反映左右和前后；,W,投影反映前后和上下。,左,右,上,下,左,右,后,前,上,下,后,前,三面正投影的方位关系,V,面投影图反映形体的上、下和左、右的情况，不反映前、后情况；,H,面投影图反映形体的前、后和左、右的情况，不反映上、下情况；,W,面投影图反映形体的上、下和前、后情况，不反映左、右情况。,上,前,左,(b),右,左,左,右,前,前,上,下,下,上,后,后,后,前,左,右,(a),下,上,A.,立体的三面投影与立体的关系,水平投影反映了立体的顶面形状和长、宽两个方向的尺寸,正面投影反映了立体的正面形状和高、长两个方向的尺寸,侧面投影反映了立体的侧面形状和高、宽两个方向的尺寸,B.,立体三面投影的两面之间，存在如下关系：,正面投影和侧面投影具有相同的高度,水平投影和正面投影具有相同的长度,侧面投影和水平投影具有相同的宽度,三面投影图投影规律,三面投影图,V,W,H,Z,Y,X,注意投影方向：,正面投影,由前向后,投影；,侧面投影,由左向右,投影；,水平投影,由上向下,投影；,简单形体的表达,有些简单形体只需用两个甚至一个投影图就能表达清楚。如图中的圆管可用两个正投影表达；圆柱只需用一个正投影图标明直径符号和尺寸就能表达清楚。,3,.,三面正投影图画法,45,X,X,由立体的轴测图画三视图,长对正,高平齐,宽相等,方位对应,1.4 点的投影,一、,点的两面投影及投影规律,二、,点的三面投影及投影规律,三、,两点的相对位置,两投影面体系的建立,V,X,O,水平投影面,H,正面投影面,V,投 影 轴,OX,一、,点的两面投影及投影规律,两投影面体系中点的投影,点,A,的水平投影,a,点,A,的正面投影,a,a,A,Z,Y,X,a,点的两个投影能唯一确定该点的空间位置,两面投影图的画法,H,X,H,V,O,a,a,a,x,x,z,y,a,两面投影图的性质,1),aa,OX 2),a,a,x,=,A,a,aa,x,=,A,a,通常不画出投影面的边界,二、,点的三面投影及投影规律,水平投影面 -,H,H,V,-,OX,正面投影面 -,V,V,W,-,OZ,侧面,投影,面,-,W,H,W,-,OY,Z,Y,W,O,O,三投影面体系中点的投影,点,A,的,水平投影 ,a,点,A,的,正面投影 ,a,点,A,的侧面,投影 ,a,H,a,a,a,V,W,X,O,Z,Y,W,Y,H,a,a,a,A,1. a,a,z,=,aa,y,=,Aa,=,x,A,2. aa,x,=,a,a,z,=,Aa,=,y,A,3. a,a,x,=,a,a,y,=,Aa=z,A,点的直角坐标与三面投影的关系,V,X,Z,Y,W,O,a,y,a,x,a,z,x,y,z,a,a,a,A,a,a,X,轴，,a,a,Z,轴,2.,a,a,z,=,aa,y,=,X,A,a,a,x,=,a,a,y,=,Z,A,aa,x,=,a,a,z,=,Y,A,三投影面体系中点的投影规律,特殊点的投影,H,V,O,X,b,b,c,c,Cc,c,a,b,Bb,Aa,a,a,P,26,例,2-2,例题 已知点A在H面上，点B在W面上，点C在V面上，试求各点的投影。,c,c,c,b,b,b,c,c,a,a,O,b,b,a,a,a,Aa,Bb,Cc,三、,两点的相对位置,A,H,V,O,X,Y,Z,a,a,a,x,a,a,y,a,z,W,x,z,y,(1),点的坐标,A,点的,x,坐标,aa,y,=,aa,z,A,点的,y,坐标,aa,x,=,aa,z,A,点的,z,坐标,aa,y,=,aa,y,1. a,a,z,=,aa,y,=,Aa,=,x,A,2. aa,x,=,a,a,z,=,Aa,=,y,A,3. a,a,x,=,a,a,y,=,Aa= z,A,1,.,点的坐标,y,z,y,x,x,z,2,.,两点的相对位置,两点中,x,值大,的点, 在左,两点中,y,值大,的点, 在前,两点中,z,值大,的点, 在上,a,a,a,b,b,b,B,A,3,.,重影点及投影可见性,c,d,(c,),d,C,D,a(b),a,b,A,B,例题1 已知点,A,的正面与侧面投影，求点,A,的水平投影。,a,例题2 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之 右8毫米，求点A的投影,。,a,a,a,9,8,5,例题3 已知A点的坐标为x=20mm，y=10mm，z=15mm，即A(20、10、15)，求作A点的三面投影图。,a,x,a,yH,a,yw,15,10,20,a,a,a,18,例题4 已知点A的三面投影，试确定点A的空间位置。,x=12,z=20,y=18,12,A(12,18,20),20,1.5,直线的投影,V,H,X,O,B,A,a,b,a,b,由于直线的投影一般情况下仍为直线，且两点决定一直线，故要获得直线的投影，只需作出已知直线上的两个点的投影，再将它们相连即可。,直线对一个投影面的投影特性,B,A,a,b,直线垂直于投影面,投影重合为一点,积 聚 性,直线平行于投影面,投影反映线段实长,ab,=AB,直线倾斜于投影面,投影比空间线段短,投影不反映线段实长,ab,=AB*cos,A,B,a,b,A,B,a,(,b,),M,(,m,),直线的分类,直,线,一般位置直线,特殊位置直线,投影面垂直线,投影面平行线,一、,各种位置直线的投影,1.,一般位置直线,2.,投影面的平行线,3.,投影面的垂直线,1. 一般位置直线,一般位置直线的投影特性,物体上一般直线的投影分析,b,b,a,b,a,a,(1) 一般位置直线的投影特性,A,B,O,(,2,) 物体上一般直线的投影分析,2. 投影面的垂直线,投影面垂直线的投影特性,物体上垂直线的投影分析,（1）投影面垂直线的投影特性,B,A,A,B,B,A,a,b,b,(,a,),a,b,(,a,),b,a,b,a,b,a,b,b,a,a,(,b,),a,b,a,b,a,(,b,),b,a,b,a,(,a,),b,b,(,a,),a,b,b,a,（2）物体上垂直线的投影分析,3. 投影面的平行线,投影面平行线的投影特性,物体上平行线的投影分析,(1) 投影面平行线的投影特性,B,A,a,b,a,b,a,b,A,B,b,O,a,b,a,a,b,a,b,a,b,b,a,B,A,a,b,a,b,a,b,b,O,a,b,a,a,b,O,a,b,a,b,b,a,(2) 物体上平行线的投影分析,二、,直线上的点,点与直线的相对位置，可分为,点在直线上,和,点不在直线上,两种。,当点在直线上时，由正投影的从属性和定比性可知：,1,）点在直线上，则该点的投影必落在该直线的同面投影上，且符合点的投影规律；,2,）点分线段成某一比例，则该点的各个投影也分该线段的同面投影成同一比例。,属于直线的点的投影,e,e,e,e,E,b,b,a,a,A,N,M,B,V,H,O,X,根据从属性判断点与直线的相对位置,m,m,n,n,O,X,b,a,b,a,n,m,m,n,注意：对于侧平线还需考察侧面投影。,根据定比性求特殊点,例：已知侧平线,AB,的两面投影及从属于,AB,的一点,K,的水平投影,k,，试在两面投影体系中求出点,K,的正面投影,k,。,X,O,a,b,k,a,b,k,bk,ka,例题1 已知线段,AB,的投影图，试将,AB,分成21两段，求分点,C,的投影,c,、,c,。,c,c,例题,2,已知点,C,在线段,AB,上，求点,C,的正面投影。,解法,1,c,ca,bc,例题2（解法2） 已知点C在线段AB上，求点C 的侧面投影。,c,c,a,b,b,a,a,c,b,例题3 作正平线,CD, 与直线,AB,相交于点,D,。,d,d,ad,db,三、,一般位置直线的实长和倾角,直角三角形法的作图要领: 用直线段在某一投影面上的投影长度作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，,斜边与投影长度所成夹,角即为直线段与该投影面的,倾,角。,直角三角形法的四个要素: 直角三角形的四个要素即实长、投影长,度,、坐标差及倾角。已知四个要素中的任意两个，便可确定另外两个。,1,.,求直线的实长及对水平投影面的倾角,角,2,.,求直线的实长及对正面投影面的,倾,角,角,3,.,求直线的实长及对侧面投影面的,倾,角,角,|,z,A,-z,B,|,AB,1,.,求直线的实长及对水平投影面的,倾,角,角,|,z,A,-z,B,|,AB,ab,|,z,A,-z,B,|,AB,|,z,A,-z,B,|,ab,O,2,.,求直线的实长及对正面投影面的,倾,角,角,a,b,AB,AB,a,b,|,y,A,-,y,B,|,AB,|,y,A,-y,B,|,O,|,y,A,-y,B,|,|,y,A,-y,B,|,3,.,求直线的实长及对侧面投影面的,倾,角,角,|xA-xB|,|xA-xB|,四、,两直线的相对位置,空间两直线的相对位置,两直线平行,两直线相交,两直线交错,1.,两平行直线,1),平行直线的投影,2),例题,1),平行二直线的投影,2),两直线平行的判断,(1),若两直线的,三组,同面投影都平行,则两直线平行.,(2),若两直线为,一般线,只要,两组,同面投影互相平行,即可判定两直线平行.,(3),若两直线是同一投影面的,平行线,，同时，两直线在,该投影面,上的投影仍为平行关系，则两直线在空间是平行关系。,例题4 给出平面四边形,ABCD,的两条边,AB,、,CD,的,H,投影，试完成,ABCD,的投影。,d,d,2.,两直线相交,1),相交直线的投影,2),例题,1,),相交直线的投影,2,),两直线相交的判断,（1）两直线的,各同面投影,都相交，且,符合点的投影规律,，则两直线相交；,（2）对,一般线,而言，只要有,两组,同面投影相交，且交点,符合点的投影规律,，则两直线相交；,（3）两直线中有某一投影面的,平行线,时，必须验证该投影面上的投影是否满足相交条件，或在二面投影中，用,定比性,作图判断交点是否符合,点的投影规律,来判定两直线是否相交。,例题8 给出平面四边形,ABCD,的,V,投影及其两条边的,H,投影，试完成四边形的,H,投影。,b,c,c,d,a,b,a,k,k,d,3.,两交叉直线,1),交叉直线的投影,2),交叉二直线重影点投影的可见性判断,3),例题,1,),交叉二直线的投影,凡不满足平行和相交条件的直线为交叉二直线。同面投影可能有平行的，但不会全都平行；同面投影可能有相交的，但交点不会符合点的投影规律。,2,),交叉二直线重影点投影的可见性判断,判断两重影点其积聚性投影的可见性时，需要看两重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,G,g,(,j,),J,e,(,f,),F,E,g,(,j,),j,g,e,(,f,),f,e,例题10 判断三棱锥可见性,1,(,2,),1,2,3,(,4,),3,4,例题11（解法1） 判断两直线的相对位置,d,a,c,b,O,Y,W,Y,H,z,例题11（解法2） 判断两直线的相对位置,1,1,d,c,1,1,五、,一边平行与投影面的直角的投影,（,a,）,立体图,(b),二直相交线垂直,(c),二直相交线垂直,(d),二直相交线垂直,定理一若两直线在,空间为垂直关系,，其中,有一条直线平行于投影面,时，则两直线在该,投影,面上的投影仍反映直角。,定理二 两直线在同一投影面上的,投影是垂直关系,，且,有一条直线平行于该投影面,，则,空间,两直线的夹角必是直角。,直角的投影,确定,A,点到正平线,CD,的距离。,b,X,O,c,d,a,a,d,c,b,m,m,所求距离,例题,例题,12,求一点到水平线的距离,例题,13,过一点作两线段的公垂线,例题,14,作三角形,ABC,，,ABC,为直角，使,BC,在,MN,上，且,BC,AB=2,3,例题12 求一点,A,到水平线,BC,的距离,d,d,2,y,y,AD,例题13 过点E 作线段AB、CD 的公垂线EF。,f,f,b,例题14 作三角形ABC，,ABC为直角，使BC在MN上，且BC,AB =2,3。,b,c,AB,a,b,|,y,A,-y,B,|,b,c,=BC,c,1.6,平面的投影,一、,平面的表示法,二、,平面的投影,三、,各种位置平面的投影特性,四、,例题,一、,平面的表示法,1.,用几何元素表示平面,用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图形。,2.,平面的迹线表示法,平面的迹线为平面与投影面的交线。交线分别为,P,H,、,P,V,、,P,W,。特殊位置平面可以用在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。,1.,用几何元素表示平面,b,a,a,c,b,c,b,a,a,c,b,c,a,a,b,c,b,c,a,b,c,a,b,c,d,d,2.,平面的迹线表示法,P,P,V,P,H,P,V,P,H,Q,V,Q,H,Q,H,Q,V,Q,d,(,a,),c,(,b,),二、,各种位置平面的投影,(a),(b),(c),b,a,d,c,E,F,M,e,m,f,b,c,a,d,各种位置平面的投影,1.一般位置平面的投影,2.投影面垂直面的投影,3.,投影面平行面的投影,1. 一般位置平面的投影特性,(1),一般位置平面的投影特性,(2),形,体上平面的投影分析,(1) 一般位置平面的投影特性,a,b,c,c,a,b,b,a,A,B,C,(2),形,体上平面的投影分析,为侧垂面,为一般位置平面,为一般位置平面,为水平面,a,c,s,a,c,s,s,(,c,),a,2. 投影面平行面的投影特性,(1),投影面平行面的投影特性,(2),物体上垂直面的投影分析,(1) 投影面平行面的投影特性,(2) 物体上平行面的投影分析,投影面平行面的投影特性：,在平面所平行的投影面上，其投影反映实形；其余两个投影积聚成直线且分别平行于相应的投影轴。,3. 投影面垂直面的投影特性,(1),投影面垂直面的投影特性,(2),物体上垂直面的投影分析,Y,H,Y,W,Y,H,Y,W,H,(1) 投影面垂直面的投影特性,(2) 物体上垂直面的投影分析,投影面垂直面的投影特性：,在平面所垂直的投影面上，其投影积聚成一倾斜直线；其余两个投影均为缩小的类似形。,三、,平面上的点和直线,1,平面上的点,点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。,在,平面上取点,时，应先在平面内,取一条直线作为辅助线,，然后在辅助线上定点。这样才能保证所取点在平面上。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。,2,平面上的直线,直线在平面上的几何条件是：通过平面上的两点；通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。,在平面上取直线，应先在平面上取点，并保证直线通过平面上两个点，或通过平面的一个点且与另一条平面上的直线平行,。,取属于平面的点,取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线,E,D,d,d,e,e,取属于平面的直线,取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。,E,D,F,d,d,e,e,f,f,例题1, 已知,ABC,给定一平面，试判断点,D,是否属于该平面。,d,d,e,e,例题2, 已知点,D,在,ABC,上，试求点,D,的水平投影 。,d,d,例题3, 已知点,E,在,ABC,上，试求点,E,的正面投影 。,e,e,3.,平面,上,的投影面平行线,属于平面的水平线和正平线,例题,4,例题,5,P,1),平面上的水平线和正平线,P,V,P,H,例题4, 已知,ABC,给定一平面，试过点,C,作属于该平面的正平线，过点,A,作属于该平面 的水平线,。,m,n,n,m,例题5, 已知点,E,在,ABC,平面上，且点,E,距离,H,面15，距离,V,面10，试求点,E,的投影,。,m,n,m,n,r,s,r,s,10,15,e,e,2),平面的最大斜度线,(,1,),平面上的投影面最大斜度线,平面上对某个投影面倾角最大的直线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。,(,2,)平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面的平行线相互垂直。,(,3,) 平面上的投影面最大斜度线有三组，即分别对正面投影面、水平投影面及侧面投影面三组最大斜度线。,平面上对水平投影面的最大斜度线,平面上对正面投影面的最大斜度线,平面上对侧面投影面的最大斜度线,P,C,D,a,E,1,S,A,E,平面上对水平投影面的最大斜度线,EF,AB,平行于,H,，,EF,垂直于,AB,P,E,F,B,A,平面上对正面投影面的最大斜度线 CD,AB,平行于,V,，,CD,垂直于,AB,P,C,D,B,A,平面上对侧面投影面的最大斜度线 MN,AB,平行于,W,，,MN,垂直于,AB,P,B,A,M,N,例题6, 求作,ABC,平面上对水平面的最大斜度线,BE,。,b,d,d,e,e,例题7, 求,ABC,平面与水平投影面的,倾,角,。,be,BE,例题8 已知直线EF为某平面对H面的最大斜度线，试作出该平面。,a,a,给题,本章结束,返回目录,点、直线、平面投影小结,b,例1,作三角形,ABC,，,ABC,为直角，使,BC,在,MN,上，且,BC,AB,=2,3。,b,c,SC,AB,a,b,|,y,A,-y,B,|,b,c,=BC,c,a,a,例,2 已知AB垂直于BC，BC30mm，点C属于V面，求bc、bc。,c,a,a,c,X,b,b,R30,c,c,13页,a,b,b,a,c,e,d,e,c,d,1,2,1,2,例3,已知五边形,ABCDE,的,V,面投影及一边,AB,的,H,面投影，并,AC,为正平线，试完成其,H,投影。,例4,已知等边三角形ABC一边BC属于EF，完成此三角形的V、H投影。,SC,AD,30,a,b,b,c,c,e,f,f,e,d,d,30,X,a,b,b,a,c,d,c,d,1,2,3,2,1,3,a,b,例5,求平面对投影面的倾角,(,1,) 求对H面的,倾角,a,(,2,),求对V面的倾角,b,例6,求作一水平线与三直线AB、CD、EF均相交。,a,b,a,b,d,e,(,f,),c,c,d,f,e,(,g),k,k,l,l,g,12页,X,
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