1.1n阶行列式1.1.1二阶、三阶行列式n阶行列式的概念来源

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.1n阶行列式,1.1.1 二阶、三阶行列式,n阶行列式的概念来源于对线性方程组的研究：,设二元线性方程组,（1）,其中,现在讨论线性方程组（1）的求解公式，,对（1）作加减消元得:,高等代数与空间解析几何,第一章 n阶行列式,1,（2）,式（2）就是式（1）的解，但（2）不易记忆，因此有必要引进新的符号-“行列式”来表示（2）式。,定义: 设,是四个数，称代数和,为二阶行列式，记作,2,称为这个二阶行列式的元素， 的,两个下角标 分别表示所在的行和列的序号，,常称 是行列式的（ ）元素。,对线性方程组（1），记,3,(1)的解（2）可写成,例如，对线性方程组,由于,4,为了得出关于三元线性方程组,则方程组的解可以写成,的类似解法，我们引入三阶行列式。,5,定义: 称,为三阶行列式。,6,例如,7,为了研究n元线性方程组我们把二阶和三阶行列式,加以推广，引入n阶行列式。,1.1.2 全排列的逆序数、对换,为了给出n阶行列式的定义，首先介绍全排列,的“逆序数”与全排列的“对换”。,定义: 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个,元素的全排列，或n阶排列（简称排列）。n个不同,元素的排列共有 种,8,例如:自然数1，2，3的排列共有六种：,123，132，213，231，312，321,为了方便起见，今后把自然数 视为n个不同的元素的代表。用 表示这n个不同的元素中的一个 ，且 时 于是 便是 的一个排列。,对于排列 ， 称排在 前且比 大的数的个数 为 的逆序数，把这个排列中各数的逆序数之和称为这个排列的逆序数，,9,逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列；,自然排列:,记作：,的逆序数为,自然排列:,排列,的逆序数为,例1: 求排列的逆序数,10,定义 n,2,个元素排成n行n列，称,定义: 在一个排列中，将某两个数的位置对调（其他数不动）的变动叫做一个对换。,定理1.1 一个排列中的任意两个数对换后，排列,改变奇偶性。,定理1.2 在全部n 阶排列中，,奇偶排列各占,1.1.3 n阶行列式的定义,一半。,11,为n阶行列式，其中,是对所有n阶排列,取和。,此行列式可简记,或 。,记一阶行列式 ；,12,例1.5 三角形行列式（或对角形行列式）等于主对角线上n个元素的乘积。,例1.6 负三角形行列式,13,n阶行列式的等价定义：,14,1.2 n 阶行列式的性质,定义: 设,，称,为 D 的转置行列式。,性质1 行列式与转置行列式相等.,n 阶行列式的性质,15,性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则该,行列式为零.,性质3 把行列式的某一行（列）的所有元素同乘,以数c，等于用数c乘以这个行列式,推论1 如果行列式某一行（列）有公因子k时，,则该公因子k可以提到行列式的符号外面,16,性质4 如果行列式某行（列）的所有元素都是两数之和，则该行列式为两行列式之和，即,推论2 如果行列式有两行（列）成比例，,则该行列式为零。,17,性质5 把行列式的某一行（列）的各元素同乘以,数c加到另一行（列）的对应元素上去，,则行列式的值不变,18,下面讨论将n阶行列式转化为n-1阶行列式计算,的问题，即：,行列式展开定理。,定义1.6 在给定的n阶行列式 中，把元素,所在的i行和j列的元素划去,剩余元素构成的,n-1阶行列式称为元素 的余子式，记作 ;,而元素 的代数余子式记作 ，,定义,19,例如 在行列式,中,20,性质6 n阶行列式 等于它的任意一行（列）,的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即,推论 n阶行列式 ，则,21,利用Kronecker 符号函数,证明：由,及性质6将G按 j 行展开有,22,例1.7,23,