概率论Chapter6

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第六章 样本及抽样分布,中科大软件学院,9/14/2024,第,56,页,第六章,样本及抽样分布,6.1,随机样本,6.2,抽样分布,6.3,三大抽样分布,6.4,小结,例,6.0.1,某公司要采购一批产品，每件产品不 是合格品就是不合格品，但该批产品总有一 个不合格品率,p,。,由此，若从该批产品中随 机抽取一件，用,x,表示这一批产品的不合格 数，不难看出,x,服从一个,0-1,分布,b,(,1 ,p,),， 但分布中的参数,p,是不知道的。一些问题：,p,的大小如何；,p,大概落在什么范围内；,能否认为,p,满足设定要求,（如,p,0.05,）。,6.1,随机样本,6.1.1,总体,与个体,：,总体,：试验全部可能的观察值；,个体,：每一个可能观察值,；,容量,：总体中所包含的个体个数；,例,6.1.1,考察某厂的产品质量，以,0,记合格品，以,1,记,不合格品，则,总体,= ,该厂生产的全部合格品与不合格品,= ,由,0,或,1,组成的一堆数,若以,p,表示这堆数中,1,的比例（不合格品率），则该,总体可由一个,0-1,分布表示：,X,0,1,P,1,p p,比如：,两个生产同类产品的工厂的产品的总体 分布：,X,0,1,p,0.983,0.017,X,0,1,p,0.915,0.085,6.1.2,样本,样品、样本、样本量,:,样本具有,两,重性,一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽,取前无法预知它们的数值，因此，样本是随机,变量，用大写字母,X,1,X,2, ,X,n,表示；,另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的,观测值，因此，样本又是一组数值。此时用小,写字母,x,1,x,2, ,x,n,表示是恰当的。,简单起见，无论是样本还是其观测值，样本一般用,x,1,x,2,x,n,表示，应能从上下文中加以区别。,例,6.1.2,啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为,640,克。由于随机性，事实上不可能使得所有的啤酒,净含量均为,640,克。现从某厂生产的啤酒中随机,抽取,10,瓶测定其净含量，得到如下结果,：,641, 635, 640, 637, 642, 638, 645, 643, 639, 640,这是一个容量为,10,的样本的观测值，,对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量。,这样的样本称为,完全样本。,例,6.1.3,考察某厂生产的某种电子元件的,寿命，选了,100,只进行寿命试验，得到,如下数据：,表,6.1.1,100,只元件的寿命数据,表,6.1.1,中的样本观测值没有具体的数值，,只有一个范围，这样的样本称为,分组样本。,寿命范围,元件数,寿命范围,元件数,寿命范围,元件数,( 0 24 4 (192 216 6 (384 408 4,(24 48 8 (216 240 3 (408 432 4,(48 72 6 (240 264 3 (432 456 1,(72 96 5 (264 288 5 (456 480 2,(96 120 3 (288 312 5 (480 504 2,(120 144 4 (312 336 3 (504 528 3,(144 168 5 (336 360 5 (528 552 1,(168 192 4 (360 184 1 552 13,独立性,:,样本中每一样品的取值不影响其,它样品的取值,-,x,1,x,2, ,x,n,相互独立。,要使得推断可靠，使样本能很好地代表总体。通常有如下两个要求：,随机性,:,总体中每一个个体都有同等机会,被选入样本,-,x,i,与总体,X,有相同的分布。,样本的要求：简单随机样本,设总体,X,具有分布函数,F,(,x,),x,1,x,2, ,x,n,为,取自该总体的容量为,n,的样本，则样本,联合分布函数,为,用简单随机抽样方法得到的样本称为,简单随机样本，,也简称,样本。,于是，样本,x,1,x,2, ,x,n,可以看成是,独立同分布,(,iid,),的随机变量，,其共同分布即为,总体分布。,总体,分为,有限总体,与,无限总体,实际中总体中的个体数大多是有限的。当个体数充分大时，将有限总体看作无限总体是一种合理的抽象。,对无限总体，随机性与独立性容易实现，困难在于排除有意或无意的人为干扰。,对有限总体，只要总体所含个体数很大，特别是与样本量相比很大，则独立性也可基本得到满足。,例,6.1.4,设有一批产品共,N,个，需要进行抽样检,验以了解其不合格品率,p,。,现从中采取不放回,抽样抽出,2,个产品，这时，第二次抽到不合格,品的概率依赖于第一次抽到的是否是不合格,品，如果第一次抽到不合格品，则,而若第一次抽到的是合格品，则第二次抽到不合格品的概率为,P,(,x,2,= 1 |,x,1,= 1) = (,Np,1),/(,N,1),P,(,x,2,= 1 |,x,1,= 0) = (,Np,),(,N,1),显然，如此得到的样本不是简单随机样本。但是，当,N,很大时，我们可以看到上述两种情形的概率都近似等于,p,。,所以当,N,很大，而,n,不大（一个经验法则是,n,N, 0.1,）,时可以把该样本近似地看成简单随机样本。,思考：,若总体的密度函数为,f,(,x,),，,则其样本的（联,合）密度函数是什么？,6.2.1,经验分布函数,6.2,抽样分布,设,x,1,x,2, ,x,n,是取自总体分布函数为,F,(,x,),的样本，若将样本观测值由小到大进行排列,为,x,(1),x,(2), ,x,(,n,),，,则称,x,(1),x,(2), ,x,(,n,),为,有序样本，,用有序样本定义如下函数,则,F,n,(,x,),是一非减右连续函数，且满足,F,n,(,) = 0,和,F,n,(,) = 1,由此可见，,F,n,(,x,),是一个分布函数，,并称,F,n,(,x,),为,经验分布函数。,例,6.2.1,某食品厂生产听装饮料，现从生产线上,随机抽取,5,听饮料，称得其净重（单位：克）,351 347 355 344 351,x,(1),= 344,x,(2),= 347,x,(3),= 351,x,(4),= 354,x,(5),= 355,这是一个容量为,5,的样本，经排序可得有序样本：,其经验分布函数为,由,伯努里大数定律：,只要,n,相当大，,F,n,(,x,),依概率收敛于,F,(,x,),。,0,，,x, 344,0.2,，,344,x, 347,F,n,(,x,) = 0.4,，,347,x, 351,0.8,，,344,x,2,(,n,)=,的,2,(,n,),是自由度为,n,的卡方分布的上,分位数,.,分位数,2,(,n,),可以从附表,中查到。,该密度函数的图像是一支取非负值的偏态分布,6.3.2,F,分布,定义,6.3.2,设,X,1,2,(,m,),X,2,2,(,n,),X,1,与,X,2,独立， 则称,F,=(,X,1,/,m,)/(,X,2,/,n,),的分布是自由度为,m,与,n,的,F,分布,，,记为,F,F,(,m, n,),，,其中,m,称为分子自由度,，,n,称为分母自由度。,当随机变量,F,F,(,m,n,),时，对给定,(0,1),，称满足,P,(,F,F,(,m,n,),) =,的,F,(,m,n,),是自由度为,m,与,n,的,F,分布的上,分位数。,由,F,分布的构造知,F,(,n,m,) = 1/,F,1,(,m,n,),。,该密度函数的图象也是一支取非负值的偏态分布,6.3.3,t,分布,定义,6.3.3,设随机变量,X,1,与,X,2,独立，,且,X,1,N,(0,1),X,2,2,(,n,),则称,t,=,X,1,/,X,2,/,n,的分布为自由度为,n,的,t,分布，记为,t,t,(,n,),。,t,分布的密度函数的图象是一个关于纵轴对称的分布，与标准正态分布的密度函数形状类似,，,只是峰比标准正态分布低一些尾部的概率比标准正态分布的大一些。,n,1,时,t,分布的数学期望存在且为,0,；,n,2,时,，,t,分布的方差存在，且为,n,/(,n,2),；,当自由度较大,(,如,n,30,),时，,t,分布可以用,正态分布,N,(0,1),近似。,自由度为,1,的,t,分布就是,标准柯西分布,，,它的均值不存在；,当随机变量,t,t,(,n,),时，称满足,P,(,t,t,(,n,),) =,的,t,(,n,),是自由度为,n,的,t,分布的上,分位数,.,分位数,t,(,n,),可以从附表,3,中查到。,譬如,n,=10,=0.05,，,那么从附表,3,上查得,t,1,0.05,(10) =,t,0.95,(10)=1.812 .,由于,t,分布的,密度函数关于,0,对称,故其分位数间有如下关系,t,(,n,)=,t,1,(,n,),6.3.4,一些重要结论,定理,6.3.1,设,x,1,x,2,x,n,是来自,N,(,2,),的,样本，其样本均值和样本方差分别为,和,x,=,x,i,/,n,s,2,= ,(,x,i,x,),2,/(,n,1),(3) (,n,1),s,2,/,2,2,(,n,1,),。,则有,(1),x,与,s,2,相互独立；,(2),x,N,(,2,/,n,),；,推论,6.3.1,设,x,1,x,2,x,m,是,来自,N,(,1,1,2,),的,样本，,y,1,y,2,y,n,是来自,N,(,2,2,2,),的样本，,且此两样本相互独立，则有,特别，若,1,2,=,2,2,，则,F,=,s,x,2,/,s,y,2,F,(,m,1,n,1),推论,6.3.2,设,x,1,x,2,x,m,是,来自,N,(,2,),的,样本，则有,推论,6.3.3,在推论,6.3.1,的记号下，设,1,2,=,2,2,=,2,，,并记,则,6.4,小结,基本概念：,总体、简单随机样本、统计量、三大抽样分布及密度函数与上分位点、正态总体的样本均值与样本方差的分布及重要性质；,样本均值、样本方差的性质：,数学期望公式；,方差计算公式；,1, 4, 7,作 业,