排列组合的解题常用策略

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,解,排列组合,的问题一般的思考过程如下：,元素放进位置,(1),弄清楚要做什么事,.,(2),怎么做才能完要做的事,.(,熟悉两个计数原理,),即采取,分步,还是,分类,，或,分步分类,同时进行。,(3),确定,每一类,或,每一步,是,有序（排列）,还是,无序（组合）,问题。,元素,总数多少，取多少个,元素,。,(4),掌握一些常用的解题策略。,常用的解题策略,（,1,）特殊元素，特殊位置优先处理策略,（,2,）相邻元素，捆绑策略,（,3,）不相邻元素，插空策略,（,4,）定序问题，倍缩策略，空位策略，插入策略,（,5,）允许重复的排列问题，以元素为对象，求幂策略,（,6,）排列组合混合问题，先选后排策略,（,7,）元素相同，隔板策略,（,8,）多类元素，分类，分步策略,（,9,）平均分组，除法策略,（,11,）正难则反，总体淘汰策略,（,10,）树形图策略,（,1,）特殊元素，特殊位置优先处理策略,例,1,：由,0,1,2,3,4,5,可以组成多少个没有重复数字,五位奇数,.,解,:,由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置,.,第一步：排末位，共有,1,，,3,5,三个选一个,第二步：排首位，共有,除了,0,和末位选择的一个数字外，剩余,4,个数字,第三步：排其它位置共有,其余的四个数字没限制，全排列,由分步计数原理得,策略说明：,位置分析法,和,元素分析法,是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,1,）若以,元素分析,为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素,.,2,）若以,位置分析,为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。,3,）若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件,4,）在同一题里，是选择,元素分析，,还是,位置分析，,可以根据题目中的,特殊元素,，,特殊位置,个数较少的来选择。,练习题,:7,种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？,元素分析,位置分析,（,2,）相邻元素，捆绑策略,例,2,：,7,人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种,不同的排法,.,解：可先将,甲乙两元素捆绑成整体并看成一个,复合元素,，,同时,丙丁也看成一个,复合元素,，,再与其它元素进行排列,，,同时,对相邻元素内部进行自排,。由分步计数原理可得共有,种不同的排法。,策略说明,要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题,.,即将需要相邻的元素,合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要,注意,合并元素,内部也必须排列,.,练习题,:,某人射击,8,枪，命中,4,枪，,4,枪命中恰好有,3,枪连在一起的,情形的不同种数为,20,（先思考，再看解析）,解：四抢命中，即有四枪不命中。可以把不命中的四枪排开，则有,5,个空隙，,3,枪连在一起，看成一个元素，与另外一枪（看成另一元素），安排放进,5,个空隙中。,本题，既有,捆绑,，也有,插空。,（,3,）不相邻元素，插空策略,例,3,：一个晚会的节目有,4,个舞蹈,2,个相声,3,个独唱,舞蹈节目不能,连续出场,则节目的出场顺序有多少种？,第一步排,2,个相声和,3,个独唱共有,（第一步跟顺序有关，排列问题）,由分步计数原理,节目的不同顺序共有,解,:,分两步进行,第二步将,4,舞蹈插入第一步排好的,6,个元素中间包含首尾两个空位共,有,（第二步依旧与顺序有关，排列问题）,策略说明,元素不相邻问题,可,先,把没有位置要求的元素进行排队，,再,把不相邻元素插入中间和两端。,练习题,1,：,某班新年联欢会原定的,5,个节目已排成节目单，开演前,又增加了两个新节目,.,如果将这两个新节目插入原节目单中，,且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）,练习题,2,：,马路上有编号为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,的九只路灯,现要,关掉其中的,3,盏,但不能关掉相邻的,2,盏或,3,盏,也不能关掉两端的,2,盏,求满足条件的关灯方法有多少种？,解：,把此问题当作在,6,盏亮灯的,5,个空隙中插入,3,个不亮的灯有,（,4,）定序问题，倍缩策略，空位策略，插入策略,例,4,：,7,人排队,其中甲乙丙,3,人顺序一定共有多少不同的排法。,解,:(,倍缩法,),对于某几个元素顺序一定的排列问题,可,先,把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后,用总排列数除以,这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：,(,空位法,),设想有,7,把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有,种方法，其余的三个位置甲乙丙共有,1,种坐法，则共有,种方法。,（插入法,),先排甲乙丙三个人,7,个位置选择,3,（无序组合问题）有 ，,因为定序，共有,1,种排法,再把其余,4,四人依次插入共有,练习题,:,10,人身高各不相等,排成前后排，每排,5,人,要求从左至右,身高逐渐增加，共有多少排法？,（,5,）允许重复的排列问题，以元素为对象，求幂策略,例,5,：把,6,名实习生分配到,7,个车间实习,共有多少种不同的分法,解,:,完成此事共分六步,:,把第一名实习生分配到车间有,7,种分法,.,把第二名实习生分配到车间也有,7,种分,法,依此类推,由分步计数原理共有,策略说明,允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，,一般地,n,不同的元素没有限制地安排在,m,个位置上的排列数为,练习题：,某,8,层大楼一楼电梯上来,8,名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法,2.,某班新年联欢会原定的,5,个节目已排成节目单，开演前又增加了,两个新节目,.,如果将这两个节目插入原节目单中，,那么不同插法的种数为,42,（,6,）排列组合混合问题，先选后排策略,例,6,：有,5,个不同的小球,装入,4,个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法,.,解,:,第一步,从,5,个球中选出,2,个组成,一个,复合元素,共有,第二步,把,4,个元素,(,包含一个复合元素,),装入,4,个不同的盒内有,根据,分步计数原理,装球的方法共有,策略说明,解决排列组合混合问题,先选后排,是最基本的指导思想,.,此法与相邻元素捆绑策略相似吗,?,练习题,1,：,一个班有,6,名战士,其中正副班长各,1,人现从中选,4,人完成,四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有,1,人参加,则不同的选法有,种,练习题,2,：,有,6,名男医生，,4,名女医生，从中选出,3,名男医生，,2,名女医生到,5,个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区,A,，则共有多少种不同的分派方法？,（,7,）,元素相同,，隔板策略,例,7,：,有,10,个远动员名额，分给,7,个班，每班至少一个，有多少种分配方案？,解：,因为,10,个名额没有差别,，把它们排成一排。相邻名额之间,形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把,名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对,应一种分法共有,策略说明：,元素相同,时，才使用,隔板法,（与,插入法,区分）,将,n,个相同的元素分成,m,份（,n,，,m,为正整数）,每份至少一个元素,可以用,m,-1,块隔板，插入,n,个元素排成一排的,n,-1,个空隙中，所有分法数为,练习,1,：,有,10,个相同的小球，装入,4,个盒内，每个盒子至少有一个球，共有多少种不同的装法？,练习,2,：,（,1,）,10,个优秀指标分配给,6,个班级，每个班级至少一个，共有多少种不同的分配方法？,（,2,）,10,个优秀指标分配到,1,、,2,、,3,三个班，若名额数,不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？,分析,：,（,1,）这是,同种元素,的,“,不平均分组,”,问题,.,本小题可构造数学模型 ，用,5,个隔板插入,10,个指标中的,9,个空隙，既有 种方法。按照第一个隔板前的指标数,为,1,班的指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数,为,2,班的指标，以此类推，因此共有 种分法,.,练习,2,：,注：第一小题也可以先给每个班一个指标，然后，将剩余的,4,个指标按分给一个班、两个班、三个班、四个班进行分类，共有 种分法,.,分析,：,（,2,）,先拿,3,个指标分给二班,1,个，三班,2,个，,然后，问题转化为,7,个优秀指标分给三个班，,每班至少一个,.,由（,1,）可知共有 种分法,练习,2,：,（,8,）多类元素，分类，分步策略,例,8,：,在一次演唱会上共,10,名演员,其中,8,人能能唱歌,5,人会跳舞,现要演出一个,2,人唱歌,2,人伴舞的节目,有多少选派方法。,第一类：只会唱的,5,人中没有人选上唱歌人员共有,第二类：只会唱的,5,人中只有,1,人选上唱歌人员,第三类：只会唱的,5,人中只有,2,人选上唱歌人员有,由分类计数原理共有,解：,10,演员中有,5,人只会唱歌，,2,人只会跳舞,3,人为全能演员。,以,选上唱歌人员,为,标准,进行研究,*以,3,个全能演员是否选上唱歌人员为标准,*以,3,个全能演员是否选上跳舞人员为标准,*以只会跳舞的,2,人是否选上跳舞人员为标准,本题还有如下分类标准,：,例,9,.,在产品检验中，常从产品中抽出一部分进行检查,.,现有,100,件产品，其中,3,件次品，,97,件正品,.,要抽出,5,件,进行检查，根据下列各种要求，各有多少种不同的抽法？,(1),无任何限制条件；,(2),全是正品；,(3),只有,2,件正品；,(4),至少有,1,件次品；,(5),至多有,2,件次品；,(6),次品最多,.,100,个元素选,5,个,元素构成,正品（,97,）,次品（,3,）,第一类,5,0,第二类,4,1,第三类,3,2,第四类,2,3,或,解答：,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,5,）,（,6,）,策略说明,解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。,从,4,名男生和,3,名女生中选出,4,人参加某个座谈会，,若这,4,人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有,34,练习题：,（,9,）平均分组，除法策略,例,10,. 6,本不同的书平均分成,3,堆,每堆,2,本共有多少分法？,解,:,分三步取书得,种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记,6,本书为,ABCDEF,，若第一步取,AB,第二步取,CD,第三步取,EF,该分法记为,(AB,CD,EF),则,中还有,(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有,故共有,种分法。,种取法,而这些分法仅是,(AB,CD,EF),一种分法,平均分组，除法策略,平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以,(,为均分的组数,),避免重复计数。,3.10,名学生分成,3,组,其中一组,4,人,另两组,3,人但正副班长不能分,在同一组,有多少种不同的分组方法 （,1540,）,练习题：,1,、将,13,个球队分成,3,组,一组,5,个队,其它两组,4,个队,有多少分法？,2.,某校高二年级共有六个班级，现从外地转入,4,名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排,2,名，则不同的安排方案种数为,_,（,11,）正难则反，总体淘汰策略,有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以,先,求出它的反面,再从整体中淘汰,.,具体做法：一）把题目中的限制条件去掉，求出整体；二）把限制条件改为反面，求出反面；三）整体减去反面。,正难则反，总体淘汰策略 在思想上，与补集，命题的否定，反证法的假设，对立事件是一致的。,例,11,.,从,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,这十个数字中取出三个数，使其和为,不小于,10,的偶数,不同的取法有多少种？,解：这问题中如果直接求不小于,10,的偶数很困难,可用总体淘汰法。,所取的三个数含有,3,个偶数的取法有,这十个数字中有,5,个偶数,5,个奇数,只含有,1,个偶数的取法有,和为偶数的取法共有,再淘汰和小于,10,的偶数共,9,种，,则,练习题：,我们班里有,43,位同学,从中任抽,5,人,正、副班长、,团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种,?,（,12,）树形图策略,3,人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过,5,次,传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有,_,对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果,1.,同一寝室,4,人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人,的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？,(9),号人不坐,（,2.,分别编有,1,，,2,，,3,，,4,，,5,号码的人与椅，其中,）的不同坐法有多少种？,号椅,全错位排列,概率问题,古典概形,几何概形,基本事件：,和事件（并事件）：,积事件（交事件）：,互斥事件：,对立事件：,（,1,）求概率就是求两个排列组合数之比。,（,2,）概率问题同样适用“分类加，分步乘”的运算法则。,计数原理的应用,-,概率问题,单独概率,=,某条件成立的概率,=1,-,该条件不成立的概率,（对立事件）,总体概率,=,满足条件的各类情况概率之,和,（和事件）,总体概率,=,满足条件的各步情况概率之,积,（积事件）,例,13:,学校要从,30,名候选人中选,10,名组成学生会，其中,求该班恰有,2,名同学被选到的概率。,求该班至少有,2,名同学被选到的概率。,某个班有,4,名候选人，每名候选人有相同的机会被选到。,（单独概率：,；,）,例,13:,学校要从,30,名候选人中选,10,名组成学生会，其中,求该班至少有,2,名同学被选到的概率。,某个班有,4,名候选人，每名候选人有相同的机会被选到。,法一：,理解如下：,总体概率,=,满足条件的各类情况概率之和：,单独概率,=,例,13:,学校要从,30,名候选人中选,10,名组成学生会，其中,求该班至少有,2,名同学被选到的概率。,某个班有,4,名候选人，每名候选人有相同的机会被选到。,法二：,某条件成立的概率,=1,-,该条件不成立的概率,练习,4,：,由,0,，,1,，,2,，,3,，,4,，,5,六个数字可以组成没有重复六位数，则比,324105,大的概率是多少？,从,4,名男生和,3,名女生中选出,4,人参加某个座谈会，,若这,4,人中必须既有男生又有女生的概率是,（ ）,练习,2,：,练习,1,在产品检验中，常从产品中抽出一部分进行检查,.,现有,100,件产品，其中,3,件次品，,97,件正品,.,要抽出,5,件,进行检查，根据下列各种要求，概率各是多少？,(1),无任何限制条件；,(2),全是正品；,(3),只有,2,件正品；,(4),至少有,1,件次品；,(5),至多有,2,件次品；,(6),次品最多,.,练习,3,：,我们班里有,43,位同学,从中任抽,5,人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的概率是（ ）,练习,5,：,某班新年联欢会原定的,5,个节目已排成节目单，开演前,又增加了两个新节目,.,如果将这两个新节目插入原节目单中，,且两个新节目不相邻，那么新节,A,在第一位的概率为（ ）,