2-1冲量及动量定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,上页,下页,返回,退出,重写牛顿第二定律的微分形式,考虑一过程，时间从,t,1,-,t,2,，,两端积分,一、 动量定理,左侧积分表示力对时间的累积量，叫做,冲量,。,于是得到积分形式,2-1 动量定理 动量守恒定律,这就是,质点的,动量定理,：,物体在运动过程中所受到的合外力的,冲量,，等于该物体,动量的增量,。,动量定理的几点说明：,(1)冲量的方向：,冲量 的方向一般不是某一瞬时力,的方向，而是所有元冲量 的合矢量 的方向,。,(2)在直角坐标系中将,矢量方程,改为,标量方程,(3)动量定理在,打击,或,碰撞,问题中用来求,平均力,。,打击或碰撞，力 的方向保持不变，曲线与,t,轴所包围的面积就是,t,1,到,t,2,这段时间内力 的冲量的大小，根据改变动量的等效性，得到平均力。,将积分用平均力代替,动量定理写为,平均力写为,平均力大小：,(4)应用动量定理必须在同一惯性系中。,例,动量定理解释帆船“逆风行舟”,船,前进方向,风吹来,取一小块风,d,m,为研究对象,初,末,由牛顿第三定律,前进方向,风对帆的冲量大小,方向与 相反,F,横,F,阻,龙骨,例题1,质量,m,=3t的重锤，从高度,h,=1.5m处自由落到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间(1),t,=0.1s，,(2),t,=0.01s,。试求锤对工件的平均冲力。,解：,以重锤为研究对象，分析受力，作受力图,：,解法：,锤对工件的冲力变化范围很大，采用平均冲力计算。,取竖直向上为正，,在竖直方向利用动量定理。,初状态动量为,末状态动量为,0,得,到,解得,代入,m、h、,t,的值，求得,：,(1),(2),例题2-2,矿砂从传送带,A,落到另一传送带,B,，其速度,v,1,=4,m/s,，方向与竖直方向成30角，而传送带,B,与水平成15角，其速度,v,2,=2 m/s,如传送带的运送量恒定，设为,k,=20 kg/s,，求落到传送带,B,上的矿砂在落上时所受到的力,解:,设在某极短的时间,t,内落在传送带上矿砂的质量为,m,，即,m,=,k,t,，这些矿砂动量的增量为,于是,其量值可用矢量差方法求得参看图 (b),设这些矿砂在,t,时间内的平均作用力为F，根据动量定理,，,作用力,F,的方向与(,m,v,)的方向相同，图(b)中的,角可由下式求得：,补充例题,一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为,m,及的,m,物体,A,和,B,，,m,大于,m,。,B,静止在地面上，当,A,自由下落距离,h,后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度。,m,m,B,A,h,解：,以物体,A,和,B,为系统作为研究对象，采用隔离法分析受力，作出绳拉紧时的受力图：,A,B,绳子刚好拉紧前的瞬间，物体,A,的速度为：,取竖直向上为正方向,。,绳子拉紧后，经过短暂时间的作用，两物体速率相等，对两个物体分别应用动量定理，得到：,忽略绳重，考虑到绳不可伸长，有：,解得：,当物体,B,上升速度为零时，达到最大高度,1. 质心的概念和质心动量,定义,质心,C,的位矢为：,质心位置是,质点位置以,质量为,权重,的平均值。,为便于研究质点系总体运动，引入,质心,概念。,二、质点系的动量定理,r,c,C,m,i,z,r,i,y,x,0,由质心,C,的位矢：,质点系的动量可以看成一个“质点”的动量，,这个“质点”集中了质点系全部质量并以质心速,度运动。,r,c,C,m,i,z,r,i,y,x,0,2.,质点系的动量定理,P,表示质点系在时刻,t,的动量,一对内力,推广：由两质点系统推广到n个质点系统。,质点系动量定理:,作用于系统合外力冲量等于系统动量的增量。,(1) 只有外力可改变系统的总动量,(2) 内力可改变系统内单个质点的动量,说明：,注意,内力不改变质点系的动量,初始速度,推开后速度,且方向相反，也有,推开前后系统动量不变,如果系统所受的外力之和为零（即 ），则系统的总动量保持不变。这个结论叫做,动量守恒定律.,条件,定律,时,时,=常量,时,直角坐标系下的分量形式,三、,动量守恒定律,3.自然界中不受外力的物体是没有的，但如果系统的,内力外力,，可近似认为动量守恒。,2,.若合外力不为,0,，但在某个方向上合外力分量为,0,，这个方向上的动量守恒。,1.对于一个质点系，若合外力为,0,，系统的总动量保持不变，但系统内部的动量可以相互转移。,明确几点,碰撞、爆炸,4,.动量守恒意味着质心保持其匀速直线运动（或静止）的状态不变,。,例题,2-3,如图所示,设炮车以仰角,发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为,M,和,m,，,炮弹的出口速度为,v,，,求炮车的反冲速度,V,。,炮车与地面间的摩擦力不计。,解:,把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上的外力有重力 和地面支持力 ，而且 ，在发射过程中 并不成立（想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守恒。,v,m,M,经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度 ，按速度变换定理为,它的水平分量,为,于是，炮弹在水平方向的动量为,m,(,v,cos,-,V,),，,而炮车在水平方向的动量为-,MV,。根据动量守恒定理有,由此得炮车的反冲速度为,补充例题,质量为,m,1,和,m,2,的两个小孩，在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为,l,。,问他们将在何处相遇？,解:,把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受外力，此方向的动量守恒。,建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右为,x,轴为正方向。设开始时质量为,m,1,的小孩坐标为,x,10,质量为,m,2,的小孩坐标为,x,20,，,他们在任意时刻的速度分别,v,1,为,v,2,相应坐标为,x,1,和,x,2,由运动学公式得,C,m,2,m,1,x,10,x,20,x,O,在相遇时,，,x,1,=,x,2,=,x,c,，,于是有,即,因动量守恒，所以,m,1,v,1,+,m,2,v,2,=0,代入式上式得,令,x,1,=,x,c,得,上述结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定律求出,