因式分解定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、因式分解定理,二、重因式,5.3,因式分解定理,三、多项式函数与余数定理,因式分解与多项式系数所在数域有关,如：,（在有理数域上）,问题的引入,（在实数域上）,（在复数域上）,一、因式分解定理,设 ，且 ，若,不能表示成数域,P,上两个次数比 低的多项式的,定义,5.6,乘积，则称 为数域,P,上的,不可约多项式,.,注,一个多项式是否不可约依赖于系数域,.,一次多项式总是不可约多项式,.,1,、不可约多项式,多项式 不可约,.,的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍,.,或,引理,多项式 不可约，对有,证,：设 则,或,即 或,不可约,.,，若,则 或,证,：若 结论成立,.,若 不整除 ，则,定理,5.7,设,不可约，,则必有某个使得,推广：,设,若 ，则 可,唯一地分解成数域,P,上的一些不可约多项式的乘积,.,所谓唯一性是说，若有两个分解式,定理,5.8,则 ，且适当排列因式的次序后，有,其中 是一些非零常数,2,、因式分解及唯一性定理,总可表成,对,其中为 的首项系数， 为互不相同的，,首项系数为,1,的不可约多项式，,的,标准分解式,.,称之为,标准因式分解式：,注：,若已知两个多项式 的标准分解式,则可直接写出,就是那些同时在 的标准,分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带,方幂指数等于它在中所带的方幂指数,中较小的一个,例,若的标准分解式分别为,则有,虽然因式分解定理在理论有其基本重要性，,但并未给出一个具体的分解多项式的方法,实际上，对于一般的情形，普通可行的分解多,项,式,的方法是不存在的而且在有理数域上，多,项式的可约性的判定都是非常复杂的,二、重因式,设,为数域,P,的不可约多项式，,则称 为 的,重因式,，其中,k,是非负整数,.,若,1,则称 为 的,重因式,.,（若,=0,， 不是 的因式,),若,，,但,定义,5.7,若 ,1,则称 为 的,单因式,.,1,、定义,若,的标准分解式为：,则,为,的,重因式,.,时，,为单因式,;,时,为重因式,.,2,、重因式的判别和求法,方法一：,方法二：,（,定理,5.9,）,若不可约多项式 是 的 重因式,则它是 的微商 的 重因式,.,为,的,重因式，但未必是,的 重因式,.,注：,定理,5.9,的逆命题不成立,，,即,例举例说明下面命题是不对的,解：令 则,但,是 的,2,重根，,不是 的根，从而不是 的,3,重根,推论,1,若不可约多项式,是,的,重因式,则,是,的因式,，,但不是,的因式,.,推论,2,不可约多项式,是,的重因式,是,与,的公因式,.,推论,3,注,:,不可约多项式,为,的,重因式,为,的,重因式,.,与,有完全相同的不可约因式，,且 的因式皆为单因式,.,，,若,其中,为不可约多项式，,则,为,的,重因式,.,推论,4,推论,5,多项式 没有重因式,根据推论,3,、,4,可用辗转相除法,，,求出,注：,来判别,是否有重因式若有重因式,，,还可由,的结果写出来,.,例,5.6,判别多项式 有无重因式,.,若有求出重因式，及其重数,.,三、多项式函数与余数定理,1.,多项式函数,将的表示式里的用代替，得到,P,中的数,称为当时 的,值,，记作,这样，对,P,中的每一个数，由多项式 确定,P,中唯一的一个数 与之对应，于是称 为,P,上,的一个,多项式函数,设,数,若多项式函数,在 处的值为,0,，即,则称 为,的一个,根,或,零点,2.,多项式函数的根,(,或零点,),易知，若,则，,（余数定理）,：若用一次多项式 去除多项式,则所得余式是一个常数，该常数等于函数,值,二、多项式函数的有关性质,1.,余数定理（,定理,5.10,）,是 的根,推论,:,例,1,求 在 处的函数值,.,法一：,把 代入 求,用 去除 所得余数就是,法二：,答案：,若 是 的 重因式， 则称 为,的,重根,.,当 时，称 为 的单根,当 时，称 为 的重根,2.,多项式函数的,k,重根,定义,注：,是 的重根 是 的重因式,有重根 必有重因式,反之不然，即,有重因式未必 有重根,例如，,为 的重因式，但在,R,上 没有根,3.,根的个数定理,(,定理,5.11,),任一 中的 次多项式 在 中的根,不可能多于 个，重根按重数计算,4.,定理,5.12,且,若有 使,则,证：令 则有,由,Th5.11,，若 的话，则,矛盾,所以，,即 有,个根，,即,定理,5.12,解：,例,2,求,t,值，使,有重根,法一：辗转相除法,若,即,则,此时，有重根，,为 的三重根,若,即,则,此时，有重根，,为 的二重根,法二：利用重根的定义和性质,例,3,若 求,解：,从而，,1,为 的根,于是有，,1,为,的重根，,