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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,名师课件 经典收藏,课程名称 高等数学,*进入百度空间 下载全套课件*,1,复合函数的求导法则,全微分形式不变性,第四节 多元复合函数的 求导法则,第八章 多元函数微分法及其应用,高阶偏导数与高阶微分,小结 思考题 作业,2,一、,复合函数的求导,法则(链导法则),回忆:,对于一元函数,有,而对于二元函数,如何求,?,多元复合函数的求导法则,3,多元复合函数的求导法则,则复合函数,偏导数存在,且可用下列公式计算,具有连续偏导数,定理:,4,注意:,1. (*)式中两边z的含义不同,左边的z表示已经复合的函数,右边的z表示还没有复合的函数,2. (*)式两边都在点,取值.,多元复合函数的求导法则,5,项数,问:,每一项,中间变量,函数对,中间变量,的偏导数,该中间变量对其,指定自变量,的偏导数(或导数).,的个数.,函数对某自变量的偏导数之结构,多元复合函数的求导法则,分量原则,6,网络图,u,v,多元复合函数的求导法则,网络图原则,7,例1. 设,求,多元复合函数的求导法则,8,二. 介绍”网络图”,多元复合函数的求导法则,全导数,全导数,9,多元复合函数的求导法则,10,例2. 设,求,例3. 设,有连续偏导,求,多元复合函数的求导法则,11,多元复合函数的求导法则,正确的是( ).,例4,12,思考题解答,令,则,两边对,t,求导,得,多元复合函数的求导法则,13,三、全微分形式不变性,具有连续偏导数,则有,全微分,则有全微分,全微分形式不变性的实质,多元复合函数的求导法则,14,引入记号:,设,记,多元复合函数的求导法则,15,例6. 设,求,通过全微分求所有一阶偏导数,比链导法则求偏导数有时会显得灵活方便.,多元复合函数的求导法则,16,纯偏导,混合偏导,定义,四、高阶偏导数和高阶全微分,高阶偏导数.,二阶及二阶以上的偏导数统称为,多元复合函数的求导法则,17,引入记号:,设,记,多元复合函数的求导法则,18,例,的四个二阶偏导数.,解,多元复合函数的求导法则,19,例,解,有,多元复合函数的求导法则,20,按,定义,得,多元复合函数的求导法则,21,多元函数的高阶混合偏导数如果连,一般地,续就与,求导次序无关,.,如果函数,的两个二阶混合偏,在区域,D,内,定理,连续，,那么在,导数,该区域内,但就通常所遇到的函数,在前一题中两个混合二阶偏导数相等,此种情,后一题中两者不相等,这说明混合偏导数与求偏,导数的次序有关.,但在,况不会发生,这是因为有下述的定理:,如,后一题中,这只能说明,都不连续.,注,多元复合函数的求导法则,22,多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微,分方程.,偏微分方程是描述自然现象、反映自然,规律的一种重要手段.,例如方程,(,a,是常数)称为,波动方程,它可用来描述各类波的,运动.,又如方程,称为,拉普拉斯(laplace)方程,它在热传导、流体,运动等问题中有着重要的作用.,多元复合函数的求导法则,23,例. 设,求,多元复合函数的求导法则,24,答案: 0,解,练习,多元复合函数的求导法则,25,高阶全微分,设函数,在开区域D内每一点都有全微分，,则当 固定时，,的函数，,因此对 可求其关于自变量同一改变量的全微分，,即若,则函数,的二阶全微分记为,同样可定义,的n阶全微分,多元复合函数的求导法则,26,其中,例. 求,的二阶全微分.,多元复合函数的求导法则,27,多元复合函数求导法则 (链导法则),全微分形式不变性,(理解其实质),多元复合函数的求导法则,五、小结,求抽象复合函数的高阶偏导数时,要特别注意一阶偏导数仍是复合函数.,高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,(相等的条件),高阶微分,28,已知,f,(,t,),可微,证明 满足方程,提示,t, y,为中间变量,x,y,为自变量.,引入中间变量,练习,则,多元复合函数的求导法则,29,1. 设,其中,有连续的二阶偏导,求,2. 设,均可导,求,3. 若,其中,二次可微.,证明:,多元复合函数的求导法则,堂上练习,30,
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