111三垂线定理教学目标1使学生理解并掌握三垂线定

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,111 三垂线定理,教学目标,1使学生理解并掌握三垂线定理及其三垂线定理的逆定理；,2通过对三垂线定理的探求过程，进一步渗透立体几何证明中的转化思想具体体现在线线与线面垂直的辩证关系上；,3能初步掌握三垂线定理与三垂线定理逆定理的应用注意培养学生对变异形式下三垂线定理的应用能力进一步提高学生的空间想象能力,1,教学重点和难点,1三垂线定理的引入与证明，在教学过程中发展学生的探索能力；,2变异位置下三垂线定理的应用,教学设计过程,师：请同学回忆空间中的两条直线具有什么样的位置关系？,（思维从问题开始，点明这节课是研究空间两直线位置关系的继续）,生：相交、平行或异面,师：对我们可把上述三种情况表述为,2,其中空间两条直线平行，这种特殊位置关系我们已经研究过了两条直线相交与异面的另一特殊位置关系空间两直线互相垂直，值得作深入的研究而相交两直线的垂直问题，我们已经在平面几何中作过系统的研究，现在我们重点研究异面直线互相垂直的情况,（进一步点明研究空间直线和直线的垂直问题）,我们的问题是：如何判定两条异面直线的垂直位置关系呢？,生：根据两条异面直线互相垂直的定义来判定即如果两条异面直线所成的角为90，则称这两条异面直线互相垂直,师：回答得很好实际上是根据两条异面直线所成的角为直角来判定的这是由两条异面直线垂直的定义来判定，即定义法但这样归结为定义判定往往在操作上不是很简便，在今后的证明中运用也不太方便，能不能换一个角度考虑呢？有没有判定两条异面直线垂直的比较简便的方法呢？,（进一步调动学生思维，抛开定义去探求新的判定方法）,生：可利用直线和平面垂直的性质定理来判定即如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和这个平面内的任何一条直线垂直，而平面内存在无数多条直线与该垂线异面，这样就可以判定了,师：很好！同学们已经掌握了证明线线垂直的基本思维方法要证线线垂直，只需证线面垂直,3,（为三垂线定理的证明埋下伏笔！）,如图1，若l，a ，则la,但这里l，情况太特殊了，如果l与a斜交呢？即l为平面的斜线，能不能判定平面内的直线a与直线l垂直呢？,画出图2，a ，lO，（l,）这时你又如何判定a与l是否垂直呢？,（提出问题，请学生思考）,师：进一步启发（分析图2）根据线面垂直的定义，我们知道,如果直线,a,能垂直于过直线,l,的一个平面，那么,a,l,于是，新问题是：如何找出这样一个平面过l且与a垂直的平面呢？我们知道，满足条件的这样一个平面必须有两条相交直线（l当然不在其内）都与直线a垂直，能不能先解决一部分，即先作出一条与l相交的直线又与a垂直呢？,4,（启而不发，由学生思考）,生：过l上一点P（异于点O），作PA于A，则由线面垂直的性质有aPA,师：很好！在图3中，作出PA于A（此时不连结AO），并板书,由PAPOP，确定平面PAO，要使al，只需a平面PAO故只要有平面PAO内的另一条直线与a垂直就行了！而平面PAO内的哪一条线用起来最方便呢？,5,6,生：一条直线如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直,师：对吗？请同学看是否正确？,生：不对，首先应刻画“在平面内”的一条直线,师：对！这非常重要（板书三垂线定理）试分析定理中的关键词语，并用符号语言表述,如图4，PA于A，POO，AO是PO在平面上的射影a ，若aAO，则aPO,请写出条件和结论（板书）,已知：PA于A，POO，（这里已隐含AO为斜线PO在平面上的射影）a ，aAO,求证：aPO,（请学生完成证明过程事实上通过前面的探求过程等于已把这条定理证明了只要请学生到黑板板演，并订正即可）,7,两位同学总结了这三个垂直，哪个垂直是关键呢？显然平面的垂线PA是关键！我们如何记忆这条定理呢？,生甲：平面内一直线只要与射影垂直，则与斜线垂直,生乙：我记忆为先有平面内垂直，再转化到空间的垂直关系,师：很好！两位同学的记忆方法各有千秋，可按自己的习惯给予记忆实际上两位同学的本质是一样的，还应强调PA于A的前提条件和a 内的关键词语,要深刻理解该定理的证明思路，证明中主要体现了什么数学思想？,生：转化的思想，即要证线线垂直，只要转化为证线面垂直，就可以了,师：请同学探求一下平面内的直线a就这一条吗？,生：不止一条，因为在平面内，只要与a平行的直线，就一定和射影垂直，则它必定和斜线垂直，这样的直线是一组平行直线,8,师：演示一组抽拉投影片如图5，只需将动片（含直线a的抽拉片）左、右抽动，即可显示这一组平行直线当且仅当a通过O点时a与PO是共面垂直，而其余的都是异面垂直关系,（图中框片1为固定不动，片2可以抽拉，a画在2上，左、右抽拉可显示a的运动过程为一组平行直线）,师：你能构造三垂线定理的逆命题吗？判断它是真命题吗？并证明,（前面在三垂线定理的探求过程中，已把它的大前提、小前提及结论分析清楚，故在这里学生可比较顺利地构造出它的逆命题）,生：只要把三垂线定理中的小前提aAO，与结论中的aPO互换一下就可以了,9,（师把板书中的条件aAO与结论aOP互换）,是真命题吗？,生：是！与三垂线定理的证明思路一样,10,例1,如图6，PA垂直于以AB为直径的圆O平面，C为圆O上任一点（异于A，B）试判断图中共有几个直角三角形，并说明理由,（这是立体几何中一个重要图形既有线面垂直问题，又有线线垂直，既有三垂线定理的应用，又有平面几何知识的运用）,生甲：两个分别是RtPAC，RtPAB,生乙：三个还应有RtPCB,师：谁是直角？理由是什么,11,生乙：PCB，由三垂线定理可证,师：你能叙述一下吗？根据三垂线定理的操作程序叙述清楚,生乙：因为PAO平面，PCO面C，因为ACB90，即BCAC，所以BCPC,师：生乙证明中，什么地方还应再强调一下,生丙：BC 平面O,师：除这三个直角三角形外，还有吗？,生：还应有一个RtABC，因为直径上的圆周角为直角,师：好！这样才全面认识了这个空间图形事实上图形P-ABC是一个三棱锥原来三棱锥的四个面可以都是直角三角形，请同学思考：你能再构造一个三棱锥，使它的四个面全是直角三角形吗？（课下继续思考）,师：通过例1，作出判断的关键是什么？,生：平面的垂线PA是关键，有它就能保证前三个Rt,12,课堂教学小结,这节课我们通过对“平面内是否存在与平面的斜线垂直的直线”问题的探讨具体方法是把问题转化为“平面内的直线与平面的斜线在平面上唯一的直线射影”的位置关系的研究，而得出三垂线定理这充分体现了研究立体几何的基本思想方法降维转化的思想方法，将空间问题转化为平面问题来解决,对三垂线定理本质的理解有如下四点：,（1）从证明思路看,aAO,a平面AOP,aPO,（2）三垂线定理及其逆定理是空间两条直线垂直的判定定理对证明线线垂直问题有着广泛的应用,13,