空间两直线的位置关系

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.1.2,空间中直线与直线之间的位置关系,教学,目的,1.会判断两条直线的位置关系，学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.,2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行.,3掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面；,4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角,复习引入：,1、同一平面内,不重合,两条直线有几种位置关系？,2、在同一平面内，同平行于一条直线的两条直线有什么位置关系？,(,1,),、相交：有且仅有一个公共点。,(,2,),、平行：在同一平面内没有公共点。,互相平行,提出问题：空间中的两条直线呢？,1.空间中两条直线的位置关系,观察：,观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线,想一想:它们相交吗?平行吗?共面吗?,观察上方体的棱所在,直线,回答类似的问题,.,思考：,我们把具有上述特征的两条直线取个怎样的名字才好呢？,异面直线,的定义,:,我们把,不同在任何一个平面内,的,两条直线叫做异面直线（skew,lines）。,想一想:怎样通过图形来表示异面直线?,为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，,通常用一个或两个平面衬托。,如下图:,想一想,做一做：,1.,已知M、N分别是长方体的棱C,1,D,1,与CC,1,上的点，那么MN与AB所在的直线,是异面直线,吗,？,2.,下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？,想一想,做一做：,H,G,F,E,D,C,B,A,三对,AB与CD,AB与GH,EF与GH,3.,空间两条直线的位置关系有且只有三种,平,行,相,交,异面,位置关,系,公共点个,数,是否共,面,没有,只有一个,没有,共面,不共面,共面,空间中两条直线的位置关系,2.空间两平行直线,提出问题：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？,平行吗,?,中,观察,：,如图,2.1.2-5,长方体,与,那么,DD,AA,BB AA,公理4：,平行于同一条直线的两条直线互相平行。,公理4实质上是说,平行具有传递性,，在平面、空间这个性质都适用。,公理4作用：,判断空间两条直线平行的依据。,ab,cb,ac,符号表示：,设空间中的三条直线分别为a, b, c,若,想一想,:,空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直,是否也有类似的规律?,例题示范,例,1,： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。,求证：四边形EFGH是平行四边形。,分析：,欲证EFGH是一个平行四边形,只,需,证,EHFG且EHFG,E，F，G，H分别是各边中点,连结BD,只,需,证,：,EH BD且EH BD,FG BD且FG BD,A,B,D,E,F,G,H,C,例题示范,例,1,： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。,求证：四边形EFGH是平行四边形。,A,B,D,E,F,G,H,C, EH是ABD的中位线,EH BD且EH = BD,同理，FG BD且FG = BD,EH FG且EH =FG,EFGH是一个平行四边形,证明：,连结BD,变式一：,在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形,EFGH,是什么图形?,E,H,F,G,A,B,C,D,分析：,在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。,菱形,变式二：,空间四面体A-BCD中,E,H,分别是,AB,AD,的中点,F,G,分别是,CB,CD,上的点,且 ，,求证:四边形,ABCD,为梯形.,A,B,C,D,E,H,F,G,分析：需要证明四边形ABCD有,一组对边平行，但不相等。,3.等角定理,提出问题:,在平面上,我们容易证明,“,如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补,”,。在空间中,结论是否仍然成立呢?,观察思考：如图,ADC与ADC、ADC与ABC的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？,3.等角定理,定理：,空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。,3.等角定理,定理：,空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。,定理的推论,:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.,4.异面直线所成的角,如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）。,为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经过点O作直线aa，a,和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角。,想一想:a与b,所成角的大小与点O的位置有关吗?,4.异面直线所成的角,如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作ab。,5.异面直线的判定定理,异面直线定理：,连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线,与,是异面直线,例题示范,例2、如图，已知正方体ABCDABCD,中。,（1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？,（2）直线BA,和CC,的夹角是多少？,（3）哪些棱所在的直线与直线AA,垂直？,解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线,成异面直线的有直线,，,例题示范,例2、如图，已知正方体ABCDABCD,中。,（1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？,（2）直线BA,和CC,的夹角是多少？,（3）哪些棱所在的直线与直线AA,垂直？,解：（,2,）由,可知，,等于异面直线,与,的夹角,所以异面直线,与 的夹角为,45,0,。,(3),直线,与直线 都垂直,.,【,例,3,】,空间四边形,ABCD,中，,AB,CD,且,AB,与,CD,所成的角为,30,，,E,、,F,分别是,BC,、,AD,的中点，求,EF,与,AB,所成角的大小,思路分析：,要求,EF,与,AB,所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到,E,、,F,为中点，故可过,E,或,F,作,AB,的平行线取,AC,的中点，平移,AB,、,CD,，使已知角和所求的角在一个三角形中求解,解：,取,AC,的中点,G,，连接,EG,、,FG,，,则,EG,AB,，,GF,CD,，,且由,AB,CD,知,EG,FG,，,GEF,(,或它的补角,),为,EF,与,AB,所成的角，,EGF,(,或它的补角,),为,AB,与,CD,所成的角,AB,与,CD,所成的角为,30,，,EGF,30,或,150.,由,EG,FG,知,EFG,为等腰三角形，当,EGF,30,时，,GEF,75,；,当,EGF,150,时，,GEF,15.,故,EF,与,AB,所成的角为,15,或,75.,(1),求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交平移直线的方法有：,直接平移，,中位线平移，,补形平移,(2),求异面直线所成角的步骤：,作：通过作平行线，得到相交直线；,证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；,求：通过解三角形，求出该角,.,求异面直线的方法,答案：,C,【,例,4,】,长方形,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,8,，,BC,6,，在线段,BD,，,A,1,C,1,上各有一点,P,，,Q,，在,PQ,上有一点,M,，且,PM,MQ,，则,M,点的轨迹图形的面积为,_,创新题型,答案：,24,变式迁移,4,在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,，,F,分别为棱,AA,1,，,CC,1,的中点，则在空间中与三条直线,A,1,D,1,，,EF,，,CD,都相交的直线,(,),A,不存在,B,有且只有两条,C,有且只有三条,D,有无数条,解析：,本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生的空间想象能力在,EF,上任意取一点,M,，直线,A,1,D,1,与,M,确定一个平面，这个平面与,CD,有且仅有,1,个交点,N,，当,M,取不同的位置就确定不同的平面，从而与,CD,有不同的交点,N,，而直线,MN,与这,3,条异面直线都有交点的如下图：,答案：,D,1,刻画平面性质的三个公理是研究空间图形进行逻辑推理的基础，三个公理是立体几何作图的依据，通过作图,(,特别是截面图,),的训练，可加深对公理的掌握与理解其中确定平面的公理,2,是将立体几何问题转化为平面几何问题的依据,规律总结,2,注意文字语言、数学图形语言和符号语言的相互转化与应用，能够从集合的角度阐述点、线、面之间的联系，证明共点、共线或共面问题常用归一法，如多线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证其余直线都经过这点,3,异面直线是立体几何的重点和难点之一，对其定义要理解准确，有关异面直线的论证，经常要用反证法；异面直线所成的角，常通过平移，使两异面直线移到同一个平面的位置上来求,4,平面几何中有些概念和性质，推广到空间不一定正确如：,“,过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直,”“,同垂直于一条直线的两条直线平行,”,等在空间就不正确而有些命题推广到空间还是正确的，如平行线的传递性及关于两角相等的定理等所以将空间图形问题类比平面图形问题是本章复习的重要方法，如,(1),公理,4,是平面内平行传递性的推广；,(2),等角定理是由平面图形推广到空间图形；,(3),从直线与直线、直线与平面的位置关系，类比联想平面与平面的位置关系；,(4),两个平面互相垂直与两条直线互相垂直概念的类比,练一练,巩固新知：,P48页练习1,2题。,例3:如图，,是平面,外的一点,分别是,的重心，,求证：,。,证明：连结,分别交,于,连结,G,H,分别是,ABC,ACD,的重心,M,N,分别是,BC,CD,的中点,MN/BD,又,GH/MN,由公理,4,知,GH/BD.,练习反馈：,1.,判断,:,（1）平行于同一直线的两条直线平行,.,（,）,（2）垂直于同一直线的两条直线平行,.,（,）,（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.（,）,（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.（,）,（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（,）,（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.,（）,练习反馈：,2选择题,（1）“,a,，,b,是异面直线”是指,a,b,=,且,a,不平行于,b,；,a,平面,a,，,b,平面,b,且,a,b,=,a,平面,a,，,b,平面,a,不存在平面,a,，能使,a,a,且,b,a,成立,上述结论中，正确的是（）,（,A,）,（,B,）,（,C,）,（,D,）,（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（）,（,A,）2对,（,B,）3对（,C,）6对（,D,）12对,C,C,（3）两条直线,a,b,分别和异面直线,c,d,都相交，则直线,a,，,b,的位置关系是（,）,（,A,）一定是异面直线（,B,）一定是相交直线,（,C,）可能是平行直线,（,D,）可能是异面直线，也可能是相交直线,（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是(,),（,A,）平行（,B,）相交,（,C,）异面（,D,）相交或异面,3两条直线互相垂直，它们一定相交吗？,答：不一定，还可能异面,D,D,4.垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系？,答：三种：相交，平行，异面,5画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线,6选择题,（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（,）,（,A,）异面（,B,）平行,（,C,）相交（,D,）以上都有可能,（2）异面直线,a,b,满足,a,a,b,b,a,b,=,l,则,l,与,a,b,的位置关系一定是（,）,(,A,),l,至多与,a,，,b,中的一条相交,;,(,B,)l,至少与,a,，,b,中的一条相交,;,(,C),l,与,a,b,都相交,;,(,D)l,至少与,a,，,b,中的一条,平行,.,D,B,（3）两异面直线所成的角的范围是（,）,（,A,）（0,90）,（,B,）0,90),（,C,）（0,90（,D,）0,90,7判断下列命题的真假，真的打“”，假的打“”,（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行（）,（2）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变（）,（3）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形（,）,C,再见,