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25,第九章 拉普拉斯变换,9.3 Laplace,逆变换,9.3 Laplace,逆变换,一、反演积分公式,Laplace,逆变换公式,二、,求,Laplace,逆变换的方法,一、反演积分公式,Laplace,逆变换公式,1. 公式推导,函数 的,Laplace,变换,就是函数 的,Fourier,变换，,即,在 的连续点,t,处，有,(2) 根据 Fourier 逆变换，,(1) 由,Laplace,变换与,Fourier,变换的关系可知，,推导,一、反演积分公式,Laplace,逆变换公式,1. 公式推导,在 的连续点,t,处，有,(2) 根据 Fourier 逆变换，,推导,(3) 将上式两边同乘 并由 有,即得,称,(,B,),式为,反演积分公式,。,定义,该直线处于 的存在域中。,注,反演积分公式,中的积分路径是,s,平面上的一条直线,c,P227,(,9.16,),式,一、反演积分公式,Laplace,逆变换公式,2. 反演积分公式,根据上面的推导，得到如下的,Laplace,变换对,:,二、,求,Laplace,逆变换的方法,1. 留数法,利用留数计算反演积分。,则,设函数 除在半平面 内有有限个孤立奇点,定理,且当 时，,外是解析的，,证明,(略),P227,定理,9.2,(进入证明?),二、,求,Laplace,逆变换的方法,2. 查表法,此外，还可以利用卷积定理来求象原函数。,利用,Laplace,变换的性质，并根据一些已知函数的,Laplace,变换来求逆变换。,大多数情况下，象函数 常常为,(,真,),分式形式：,其中，,P,(,s,),和,Q,(,s,),是实系数多项式。,由于真分式总能进行部分分式分解，,因此，利用,查表法,很容易得到,象原函数。,常用,(,真分式的部分分式分解,),二、,求,Laplace,逆变换的方法,2. 查表法,几个常用的,Laplace,逆变换的性质,二、,求,Laplace,逆变换的方法,2. 查表法,几个常用函数的,Laplace,逆变换,(1),(单根),解,方法一,利用,查表法,求解,有,(2) 由,2,3,解,方法二,利用,留数法,求解,(1),为 的一阶极点，,(2),(重根),(1),解,方法一,利用,查表法,求解,1,-,1,-,1,有,(2) 由,P228 例9.17,解,方法二,利用,留数法,求解,(1) 分别为 的一阶与二阶极点，,(2),(1),解,方法一,利用,查表法,求解,(复根),令 得,令 得,2,解,(1),方法一,利用,查表法,求解,(重根),2,(2) 由,得,解,方法二,利用,留数法,求解,(略讲),(1) 为 的一阶极点，,(2),解,方法一,利用,查表法,求解,方法二,利用,留数法,求解,分别为 的一阶与二阶极点，,解,方法三,利用,卷积定理,求解,方法四,利用,积分性质,求解,轻松一下,利用留数计算反演积分的定理证明,附：,证明,如图，作闭曲线,大时，可使 的所有奇点包含,当,R,充分,在,C,围成的区域内。,R,L,C,R,解析,由留数定理有：,由若尔当引理(,5.3,), 当 时，,即得,(返回),将上式两边同乘以 得,1.,Q,(,s,) 含单重一阶因子的情况,若,Q,(,s,) 含单重一阶因子,即,则,将实系数真分式 化为部分分式,附：,令,即得,2.,Q,(,s,) 含多重一阶因子的情况,若,Q,(,s,) 含多重一阶因子,即,则,将上式两边同乘以 得,将实系数真分式 化为部分分式,附：,2.,Q,(,s,) 含多重一阶因子的情况,两边逐次求导，并令,即得,令,即得,将实系数真分式 化为部分分式,附：,将实系数真分式 化为部分分式,附：,上面讨论了 含单重和多重一阶因子的情况，如果是,在复数范围内进行分解，这两种情况已经够了。,但如果仅在实数范围内进行分解，这两种情况还不够。,即如果复数 为 的零点，那么它的共轭复数,也必为 的零点。,因此， 必含有,(实的),由于实系数多项式的复零点总是互为共轭地成对出现的，,下面需进一步讨论含实二阶因子的情况。,二阶因子,则,将上式两边同乘以,得,3.,Q,(,s,) 含单重二阶因子的情况,将实系数真分式 化为部分分式,附：,若,Q,(,s,) 含单重二阶因子,即,令,有,3.,Q,(,s,) 含单重二阶因子的情况,将实系数真分式 化为部分分式,附：,令,有,则,求出系数,C,和,D,后，,则,的逆变换不难得到：,4.,Q,(,s,),含多重二阶因子的情况,(略),(返回),
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