第一节向量概念及线性运算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四单元 平面向量与复数,1,第一节 平面向量的概念及其线性运算,2,基础梳理,1.向量的有关概念及表示法,大小,方向,长度,模,记作,0,长度为 的向量,其方向是任意的,零向量,向量 模,既有 又有 的量;向量的大小叫做向量的 (或 ),向量,表示法,定义,名称,0,3,1,e,相同,相反,a,b,共线,相等,相同,a,=,b,(1),a,与,b,为相反的向量,则,(2),0,的相反向量为,0,长度 且方向 的向量,相反向量,长度 且方向 的向量,相等向量,向量又叫做共线向量,共线向量,a,与,b,共线可记为,0,与任一向量,方向 或 的非零向量,平行向量,常用 表示,长度等于 的向量,单位向量,表示法,定义,名称,相等,相反,a,=-,b,平行,4,2.向量的线性运算,三角形,平行四边形,b,+,a,a,+(,b,+,c,),三角形,|,a,|,相同,相反,0,(),a,(,a,)= ;,(+),a,=,(,a,+,b,)=,(1)|,a,|= .,(2)当0时,a,与,a,的方向 ;,当0时,a,与,a,的方向 ;,当=0时,a,= .,求实数与向量,a,的积的运算,数乘,法则,求,a,与,b,的相反向量-,b,的和的运算叫做,a,与,b,的差,减法,(1)交换律:,a,+,b,= .,(2)结合律:,(,a,+,b,)+,c,=,法则,法则,求两个向量和的运算,加法,运算律,法则(或几何意义),定义,向量运算,a,+,a,a,+,b,5,3. 共线向量定理,非零,存在,向量,a,与向量,b,共线的充要条件: 一个实数,使,b,=,a,基础达标,1. （教材改编题）化简 得( ),A. B. C. D.,0,2. 对于向量,a,b,且 =,a,+2,b, =-5,a,+6,b, =7,a,-2,b,则共线的三点是( ),A. A、B、C B. A、B、D C. A、C、D D. B、C、D,D,B,1.解: 原式,2.解析： =2,a,4b,2， ，,又,BD,与,AB,有公共点,B,，,A,、,B,、,D,三点共线,6,3. (2011福州模拟)如图,e,1,e,2,为互相垂直的单位向量，则向量,a,-,b,可表示为( ),A. 3,e,2,-,e,1,B. -2,e,1,-4,e,2,C.,e,1,-3,e,2,D.3,e,1,-,e,2,C,解析：如图所示，记向量,a,，,b,的终点分别为,A,，,B,，,则,a,b, ,e,1,3e,2,.,7,4. (2011南京模拟改编)设ABC的外心为O，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H. 若OA=,a,OB=,b,OC=,c,用,a,b,c,表示OH为 .,a,+,b,+,c,解析： =,a,b,， =,a,b,c.,8,经典例题,题型一 平面向量的有关概念,【例1】给出下列命题：,若|,a,|,b,|，则,a,=,b,；,若A，B，C，D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；,若,a,b,满足|,a,|,b,|且,a,与,b,同向,则,a,b,；,若,a,/,b,b,/,c,，则,a,/,c,.,其中正确命题的序号是 . （请把正确命题的序号都填上）,9,解：不正确. 两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；正确；AB=DC，|AB|=|DC|且ABDC，又 A，B，C，D是不共线的四点， 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则ABDC且|AB|=|DC|，,因此，AB=DC;向量不能比较大小,故不正确;,不正确,考虑b=0这种特殊情况.,综上所述，正确命题的序号是.,10,题型二 平面向量的线性运算,【例2】（2010全国改编）ABC中，点D在边AB上，且AD=2DB，若CB=,a,CA=,b,， 则CD=( ),A.,a,+,b,B.,a,+,b,C.,a,+,b,D.,a,+,b,解：如图，由题意得AD+2BD=0,又CD=CA+AD,CD=CB+BD,+2，得3CD=CA+2CB=,b,+2,a,CD=,a,+,b,.,11,题型三 向量的共线及应用,【例3】（2010苏州模拟改编）设,a,、,b,是不共线的两个非零向量.,(1)若OA2,a,b,，OB3,a,b,，OC,a,-3,b,，求证：A、B、C三点共线；,(2)是否存在实数k使8,a,k,b,与k,a,2,b,共线，若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由.,解：(1)证明：AB=(3,a,+,b,)-(2,a,-,b,)=,a,+2,b,而BC(a3,b,)(3,a,b,)2,a,4,b,2AB，,AB与BC共线. 又有公共点B，,A、B、C三点共线.,12,(2)假设存在实数k,使8,a,k,b,与k,a,2,b,共线，则存在实数，使得(8,a,k,b,)(k,a,2,b,),(8k),a,(k2),b,0，,a,与,b,不共线，,8k0,k2082,2,2，,k=4.经验证，k=4均适合.,13,变式3-1,（2010湖北）已知ABC和点M满足MA+MB+MC=,0,.若存在实数m使得AB+AC=mAM成立，则m=( ),A. 2 B. 3 C. 4 D. 5,解:由MA+MB+MC=,0,得MA+MB=-MC，设AB的中点为D,则MA+MB=2MD，从而-MC=2MD ，即CM=2MD，所以M点为ABC的重心. 设BC的中点为E，则AB+AC=2AE,所以AE=m2AM,由三角形重心的性质知:m=3.,14,解析：由|AB+AC|=|AB-AC|可得ABAC,即得ABC是以BC为斜边的直角三角形，则|AM|=12|BC|=124=2.,答案：C,链接高考,（2010四川）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外， BC,2,=16,|AB+AC|=|AB-AC|,则|AM|=( ),A. 8 B. 4 C. 2 D. 1,知识准备：1. 要掌握平面向量加、减法的几何意义;,2. 要知道直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质.,15,