第一节中值定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 中值定理与导数的应用,3.1,微分中值定理,3.2,洛必达法则,3.3,泰勒公式,3.4,函数的单调性与曲线的凹凸性,3.5,函数的极限与最大值最小值,3.6,函数图形的描绘,1,3.1,微分中值定理,一 罗尔(Rolle)定理,费马引理,2,罗尔,(Rolle),定理,设函数,(,x,),满足下列条件:,(1),在闭区间,a,b,上连续,；,(2),在开区间,(,a, b,),内可导；,(3),(,a,),= ,(,b,),；,3,几何解释:,4,因,f,(,x,),在闭区间,a,b,上连续，由最大值与最小值定理知，,f,(,x,),在,a,b,上必有最大值,M,和最小值,m,.,下面分两种情形讨论:,(1),若,M,=,m, 则,(,x,),在,a , b,上恒为常数. 从而,故在,(,a , b,),内的每一点都可取作,. 定理显然成立.,0,y,x,y,=,M,a,b,证明：,5,6,注.,罗尔定理研究的是导函数方程 的根的存在性问题. 罗尔定理是定性的结果, 它只肯定了至少存在一个, 而不能确定,的个数, 也没有指出实际计算,的值的方法. 但对某些简单情形, 可从方程中解出,.,7,例1,证：,8,9,10,二 拉格朗日(Lagrange)中值定理,11,几何解释:,分析:,弦,AB,方程为,12,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:,拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,证,13,拉格朗日中值定理又称,有限增量定理,.,微分中值定理,拉格朗日中值公式的,有限增量公式,形式：,14,推论,证明：设,x,1,x,2,是(,a,b,),内任意两点，由拉格朗日中值定理,(,在,x,1,x,2,之间),由,x,1,x,2,的任意性知:,f,(,x,)=常数,x,(,a,b,),.,(设区间,I,为: (,a,b,),几何意义：斜率处处为,0,的曲线, 一定是平行于,x,轴的直线.,15,例3,证,16,例4,证,由上式得,17,18,三 柯西(Cauchy)中值定理,19,几何解释:,证,作辅助函数,20,特别,21,例5,证,结论可变形为,22,小结:,拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广; 柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推广. 柯西中值定理的特殊情形为拉格朗日中值定理, 拉格朗日中值定理的特殊情形为罗尔定理.,Rolle定理,Lagrange,中值定理,Cauchy,中值定理,23,