抽象代数群的定义

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第 3 讲,群的定义及例子,9/13/2024,1,群的定义,设非空集S上有一个运算, ,1、如果运算满足结合律，则称(S,)是,半群,。,2、如果半群S中有一个元素,e,满足,a,S有,e,a,=,a,e,=,a,，,则称(S,e,) 是,幺半群,，,称,e,为,单位元,或,幺元,。,3、如果幺半群S满足,a,S有S使得,a,=,a,=,e,则称,a,是,可逆元,，并称是,a,的一个,逆元,。,注,：通常用 1 表示单位元。,9/13/2024,2,群定义,命题,若,a,是可逆元，则,a,的逆元是唯一的，记为,a,证明：,若,a,有两个逆元,和,，即有,ab,=,ba,=1,ac,=,ca,=1,b,=1,b,=,cab,=,c,1=,c,.,5、,如果幺半群S的每个元素都有逆元，则称是一个,群 (group),。,运算满足交换律的群称为,交换群.,9/13/2024,3,群定义,6,、对群G中的元,a,和正整数,n,a,n,表示,n,个,a,相乘;,a,-,n,=(,a,-,1,),n,a,0,= 1,7、,验证：,a,mn,=(,a,m,),n,;,a,m+n,=,a,m,a,n,.,9/13/2024,4,几个问题:,(1)、,为什么要求群的运算满足结合律?,(2)、,为什么要有单位元？,(3)、,逆元的存在性有何运算意义?,9/13/2024,5,群的例子,再明确一下群的概念,定义,设是一个非空集合，如果上定义了一个运算满足,（）,结合律,a,b,cA,有 (,a,b)c,=,a,(bc),；,（,）,有单位元,e,：,a,A,有,ea=ae,=,a,；,（,）,有逆元,a,G,，有,b,使得,ab=ba=e,(其中,b,称为,a,的,逆元,，记为,a,),。,则称是一个群,注意,：记住验证运算的封闭性！,9/13/2024,6,1.群的概念和例子,例,实集,、,有理数集、整数集关于数的加法都是,交换群,（满足交换律的群）；,关于数的乘法怎么样？,规定：,只有交换群的运算符才能用加号“+”表示。,当交换群G的运算符才能用加号“+”表示时，则称G为,加群,。,例正实集,、,正有理数集,关于数的乘法都是交换群；,正整数集,关于数的乘法怎么样？,9/13/2024,7,例,即方程,x,n,= 1的全部根之集，,不难验证:,1.群的概念和例子,设,是,n,次单位根集,n,关于数的乘法是一个群叫做,n,次单位根群。,9/13/2024,8,1.群的概念和例子,证明：,例,域上的全体,n,阶可逆方阵GL,n,(F)关于矩阵的乘,法构成一个群，称为上的,n,阶,一般线性群,即,GLn(F)，有ABGLn(F),封闭性,可逆矩阵的乘积还是可逆矩阵，,结合律:,矩阵的乘法满足结合律；,单位元:,单位矩阵就是单位元；,逆 元:,GLn(F)，可逆，A的逆矩阵就是,的逆元,9/13/2024,9,1.群的概念和例子,例,域上的行列式为1的全体,n,阶方阵之集SL,n,(F)关于矩阵的乘法构成一个群，称为上的,n,阶,特殊线性群,例6,实数域R上的全体,n,阶正交矩阵之集O,n,(R)关于矩阵的乘法构成一个群，称为,n,阶,正交群,9/13/2024,10,例7,向量空间V,上的全体可逆线性变换GL(V)关于变换的合成运算构成一个群,例8,n,维欧氏,空间V,上的,全体正交变换之集O,n,(V)关于,变换的合成运算,构成一个群,例9,平面上绕一定点按同一方向旋转 2,k, /,n,的变换记为,k,，则,1,2,n,关于变换的合成运算构成一个群。,9/13/2024,11,作业：P,17,: 1, 5, 6, 9,9/13/2024,12,