第4.1节 随机变量的数学期望

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,故有,推广,Z,的分布函数为,例,所以,Z,的分布函数为,Z,的分布函数为,例,所以,Z,的分布函数为,第四章 随机变量的数字特征,前面讨论了随机变量的概率分布,它完整地描述了随机变量的概率性质,而,数字特征,则是由概率分布所决定的,常数,它刻划了随机变量的某一方面的性质,.,在许多实际问题中,分布往往不易求得或不需求得,而只需了解某些数字特征,而数字特征往往容易通过,数理统计,的方法得到,.,这一节先介绍随机变量的数学期望,.,在这些数字特征中,最常用的是,期望和方差,第,4.1,节 随机变量的数学期望,随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一,.,它的定义来自习惯上的平均值概念,.,一、离散型随机变量的数学期望,例,1,甲班有,30,名学生,他们的数学考试成绩,(,按五级记分,),如右表所示,则该班的平均成绩,成绩,1 2 3 4 5,人数,频率,2 5 10 8 5,2/,30 5/,30,10/,30 8/,30 5/,30,定义,设离散型随机变量,X,的概率分布为,若级数,绝对收敛,则称之为,X,的,数学期望,(,或,期望,均值,),记为,E,(,X,),即,例,2,甲、乙两个人进行射击,所得的分数分别为,它们的分布律分别为,试评定他们成绩的好坏,.,解,甲乙两个人得分的数学期望分别为,由于,故甲的成绩强于乙的成绩,.,例,3,工厂生产的某种设备的寿命,X,(,以年计,),服从指数分布,其密度函数是,解,设,Y,表示厂方出售一台设备所获得的利润,其分布律为,工厂规定,出售的设备若在一年内损坏可予调换,若工厂出售一台设备获利润,100,元,调换一台设备厂方需化费,300,元,求厂方出售一台设备所获利润的数学期望,.,由数学期望的定义知,几种常见离散型分布的数学期望,1.0-1,分布,2.,二项分布,2.,二项分布,3.,泊松分布,由无穷级数知识知,二、连续型随机变量的数学期望,定义,设连续型随机变量,X,的概率密度为,f,(,x,),如果积分,绝对收敛,则称之为,X,的,数学期望,记为,E,(,X,),即,解,例,4,设随机变量,X,的概率密度函数为,求,X,的数学期望,.,几种常见连续分布的数学期望,1.,均匀分布,2.,指数分布,3.,正态分布,三、随机变量函数的数学期望,问题的提出,:,设已知随机变量,X,的分布,现在我们需要计算的不是,X,的期望,而是,X,的某个函数的期望,比如说,g,(,X,),的期望,.,那么应该如何计算呢,?,一种方法是,因为,g,(,X,),也是随机变量,故应有概率分布,它的分布可以由已知的,X,的分布求出来,.,一旦我们知道了,g,(,X,),的分布,就可以按照期望的定义把,E,g,(,X,),计算出来,.,那么是否可以不先求,g,(,X,),的分布而只根据,X,的分布求得,E,g,(,X,),呢？,但使用这种方法,必须先求出随机变量函数,g,(,X,),的分布,一般是比较复杂的,.,三、随机变量函数的数学期望,(1),若,X,是离散型随机变量,且,X,的,概率分布为,(2),若,X,是连续型随机变量,且其概率密度,为,f,(,x,),则,则,上述结论可推广到两个随机变量的函数的情况。,(1),若,(,X,Y,),是离散型随机变量，且其联合分布律为,则,(2),若,(,X,Y,),是,连续,型随机变量,，,联合概率密度为,f,(,x,y,),，,则,例,5,解,X,-2,-1,0,0.1,P,1,0.2,0.3,0.4,设随机变量,X,的概率分布如下,:,例,6,解,设随机变量,X,的概率密度为拉普拉斯分布,1,x,y,例,8,解,设随机变量,(,X,Y,),的联合概率密度为,1,x,y,例,8,解,设随机变量,(,X,Y,),的联合概率密度为,四、数学期望的性质,性质,1,E,(,C,)=,C,，,其中,C,是常数。,性质,4,设,X,、,Y,独立,则,E,(,XY,)=,E,(,X,),E,(,Y,);,性质,2,若,k,是常数，则,E,(,kX,)=,kE,(,X,);,性质,3,E,(,X,1,+,X,2,) =,E,(,X,1,)+,E,(,X,2,);,(,X,i,与,X,j,相互独立时,),注意,:,E,(,XY,)=,E,(,X,),E,(,Y,),不一定能推出,X,Y,独立,推广,:,利用期望的性质重新求二项分布的数学期望,.,设,X,B,(,n,p,),，,X,表示,n,重贝努里试验中的“成功” 次数,.,现在我们来求,X,的数学期望,.,例,9,解,设,而,X,=,X,1,+,X,2,+,X,n,i,=1,2,n,其分布律为,所以,例,10,一民航送客车载有,20,位旅客自机场开出,旅客有,10,个车站可以下车,.,如到达一个车站没有旅客下车就不停车,.,以,X,表示停车的次数,求,E,(,X,) (,设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立,).,引入随机变量,则有,解,由题意,有,所以,由数学期望的性质,得,本题是,将,X,分解成数个随机变量之和,然后利用随,机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的,此方法具有一定的意义,.,第,4.2,节,方差,(Variance),随机变量,X,的数学期望,描述了随机变量,X,取值的集中趋势或平均水平,但是仅仅知道,X,的数学期望有时还不能完全刻划随机变量,X,的统计特征,.,比如,某厂生产一批元件,平均使用寿命,E,(,X,)=1000,小时,仅由此我们还很难了解这批元件质量的好坏,因为有可能有一半的元件质量很高,寿命在,1500,小时以上,而另一半却质量很差,寿命不足,500,小时,从而反映出质量不稳定,.,可见应进一步考察元件寿命,X,对期望,E,(,X,),的偏离程度,.,下面介绍的方差就是用来描述随机变量的可能取值与其期望之间的差异程度的数量特征,.,方差,是衡量随机变量取值,波动程度,的一个数字特征,.,一、方差的定义,定义,即,计算公式,:,1.,若,X,是,离散型,随机变量,其概率分布为,则,计算公式,:,2.,若,X,为,连续型,随机变量,其概率密度为,f,(,x,),则,设,X,表示机床,A,一天生产的产品废品数，,Y,表示机床,B,一天生产的产品废品数，它们的概率分布如下：,X,0,1,2,0.5,P,3,0.3,0.1,0.1,例,1,解,Y,0,1,2,0.6,P,3,0.1,0.2,0.1,问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等,。,均值相等,据此不能判断优劣,再求方差,.,X,0,1,2,0.5,P,3,0.3,0.1,0.1,Y,0,1,2,0.6,P,3,0.1,0.2,0.1,均值相等,据此不能判断优劣,再求方差,.,由于,D,(,X,),D,(,Y,),因此机床,A,的波动较机床,B,的波动小,质量较稳定,.,几种常见离散型分布的方差,1. 0-1,分布,已经求得,3.,泊松分布,已经求得,所以,几种常见连续型分布的方差,1.,均匀分布,已经求得,2.,指数分布,已经求得,3.,正态分布,已经求得,几种常用的随机变量的数学期望与方差,分布,概率分布或概率密度,数学期望,方差,0-1,分布,二项分布,均匀分布,指数分布,正态分布,泊松分布,二、方差的性质,性质,1,D,(,C,)=0,，,其中,C,是常数。,性质,2,若,k,是常数,则,性质,3,证,其中,C,是常数。,证,性质,4,设,X,和,Y,是两个相互独立的随机变量，则,证,而,性质,4,设,X,和,Y,是两个相互独立的随机变量，则,证,当,X,和,Y,相互独立,时,，,有,E,(,XY,)=,E,(,X,),E,(,Y,),，,所以,推广：,若,X,1,X,2,X,n,相互,独立,则,注意,：以下两个式子是等价的,的充分必要条件为,存在常数,C,使,事实上,若,X,1,X,2,X,n,相互,独立,则,例如,当,X,和,Y,相互独立,时,有,性质,5,利用方差的性质重新求二项分布的方差,.,设,X,B,(,n,p,),，,X,表示,n,重贝努里试验中的“成功” 次数,.,例,2,解,设,而,X,=,X,1,+,X,2,+,X,n,i,=1,2,n,其分布律为,所以,且,X,1,X,2,X,n,相互独立,三、切比雪夫不等式,随机变量的方差是刻画它围绕其期望值的离散程度的，因此我们希望用方差来估计随机变量与其期望值之间的偏差大于某一给定正数的概率的上界。,定理,成立,.,定理,成立,.,证,设,X,是连续型随机变量，其概率密度为,f,(,x,),则,上式可改写为,切,比雪夫不等式具体地估算了随机变量,X,取值时，以数学期望,E,(,X,),为中心的分散程度。不难看出，方差,D,(,X,),越小，则随机变量,X,的取值越集中在数学期望,E,(,X,),的附近，由此可以进一步体会到方差的概率意义，它刻划了随机变量的分散程度。,如取,已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是,7300,，均方差是,700 .,利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在,52009400,之间的概率,.,设每毫升白细胞数为,X,，,依题意，,E,(,X,)=7300,D,(,X,)=700,2,，,例,3,解,由切比雪夫不等式，,根据过去统计资料，某产品的次品率为,p,=0.05,，,试用切比雪夫不等式估计,1000,件产品中，次品数在,40,60,之间的概率,.,例,4,解,设,X,表示,1000,件产品中的次品数，则,由切比雪夫不等式，,该数值是非常保守的估计，事实上，由中心极限定理可知，概率约为,注,：,