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,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,4.1 边界层近似及其特征,4.2 平面不可压缩流体层流边界层方程,4.3 平板层流边界层的数值解,4.4 边界层动量积分方程,4.5 边界层的分离现象与速度分布特征,1、边界层概念的提出,我们,已知道，流动Re数（O.Reynolds，1883年，英国流体力学家）是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系的。根据量级分析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表示为:,惯性力：,粘性力：,惯性力,/,粘性力：,因此，在高,Re,数下，流体运动的惯性力远远大于粘性力。这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的。,4.1,边界层近似及其特征,理想流体力学在早期较成功地解决了与粘性关系不大的一系列流动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题，但对绕流物体阻力、涡的扩散等问题，理想流体力学的解与实际相差甚远，且甚至得出完全相反的结论，圆柱绕流无阻力的,DAlembert,疑题就是一个典型的例子。（ DAlembert，法国力学家，1717-1783）,那么，如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物体的阻力问题，这在当时确实是一个阻碍流体力学发展的难题，直到,1904,年国际流体力学大师德国学者,L.Prandtl,通过大量实验发现：,虽然整体流动的,Re,数很大，但在靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相差甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无法忽略,。,Prandtl,把这一物面近区粘性力起重要作用的薄层称为,边界层,（,Boundary layer,）。,4.1,、边界层近似及其特征,Prandtl边界层概念的提出，为人们如何计入粘性的作用开辟了划时代的途径，,既挽救了理想流理论又挽救了粘流理论,，因此称其为近代流体力学的奠基人。,对整个流场提出的基本分区是：,（1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流或,位流区,）和粘性流体的流动区域（,粘流区,）。,（2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影响，按,位势流,理论处理。,（3）在靠近物面的薄层内粘性力的作用不能忽略，该薄层称为边界层。,边界层内粘性力与惯性力同量级,，流体质点作,有旋,运动。,位流区,粘流区,4.1,、边界层近似及其特征,（,2）边界层的有涡性,粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。,边界层就是涡层,，当流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于使物面成为具有一定强度的连续分布的涡源。以二维流动为例说明之。此时，物面上的涡源强度为：,2,、边界层的特征,（,1,）边界层厚度定义,严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主流区速度的,0.99U,作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离称为边界层名义厚度，用,表示。,位流区,粘流区,4.1,、边界层近似及其特征,（3）,边界层厚度的量级估计,根据,边界层内粘性力与惯性力同量级,的条件，可估算边界层的厚度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为,U,，在,x,方向的长度为,L,，边界层厚度为 。,惯性力：,粘性力：,由边界层内惯性力与粘性力同量级得到,由此可见,在高,Re,数下，边界层的厚度远小于被绕流物体的特征长度,。,而在 的范围内，以外流的理想速度 流动的理想流量是：,其中， 为边界层外缘速度。,4.1,、边界层近似及其特征,（4）边界层各种厚度定义,（a）边界层位移厚度,假设某点P处的边界层厚度是 ，实际流体通过的质量流量为:,上述两部份流量之差是：,此处,u,是边界层中距物面为,y,处的流速。,这是设想各点均以外流速度流动时比实际流量多出来的值,这些多出来的流量必然要在主流中占据一定厚度 ，其流量写为 从而,这部分主流区增加的流体厚度是由边界层流体排挤入主流区造成的，称为,排移厚度或位移厚度，,作理想流场模型的外形修正时，应该加上这一位移厚度。,4.1,、边界层近似及其特征,4.1,、边界层近似及其特征,（b）边界层动量损失厚度,在边界层内，实际流体通过的动量为：,上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失全部用理想的外流速度 流动时折算的,动量损失厚度,2,为：,在边界层内，,在质量流量不变的条件下,，以理想流速度,通过,的动量为：,4.1,、边界层近似及其特征,对于不可压缩流体而言,（a）边界层位移厚度,（,b,）边界层,动量,厚度,（5）几点说明,（a）实际流动中，边界层流动与理想流动是渐近过渡的，边界层的外边界线实际上是不存在的，因此边界层的外边界线不是流线，而是被流体所通过的，允许流体穿过边界层边界线流动。,相对于物面而言，流线是向外偏的，相对于边界层边界来说流线是向内偏的,。,此外在,许多情况下对于,和,V,往往不加以严格区别,（b）边界层各种厚度的定义式，既适用于层流，也适用于湍流。,（c）边界层各种厚度的大小与边界层内流速分布有关。但各厚度的大小依次是:,1,2,4.1,、边界层近似及其特征,V,V,边界层,位流区,1.,边界层流动图画,粘性流体流经任一物体（例如机翼与机身）的问题，归结为在相应的边界条件下解,N,-,S,方程的问题。由于,N,-,S,方程太复杂，对很多实际问题不能不作一些,近似简化假设,，为此考察空气流过翼型的物理图画：,4.2,、平面不可压缩流体层流边界层方程,流动分为,三个区域,：,1.,边界层：,N,-,S,化简为边界层方程,2.,尾迹区：,N,-,S,方程,3.,位流区：理想流,Euler,方程,2. 平壁面上边界层方程,对于二维不可压缩流动，连续方程和N-S方程为：,通过,量级比较,进行简化，可得到边界层近似方程。,选取,长度尺度,L,，速度尺度,u,e,，时间尺度,t=L/u,e,，,边,界层近似假定在边界层内满足下列关系：,4.2,、平面不可压缩流体层流边界层方程,L,u,e,4.2,、平面不可压缩流体层流边界层方程,（1）,法向尺度远小于纵向尺度，纵向导数远小于横向导数,（2）,法向速度远远小于纵向速度,（3）,压强与外流速度的平方成正比,将这些量级关系式代入到N-S方程中，得到,右括号中第一项比第二项低,2,个量级可略。,4.2,、平面不可压缩流体层流边界层方程,N-S方程组各项,量级比较,:,两项为同一量级,边界层内,粘性力与惯性力同量级,不可忽略，故,的量级为,:,考虑到,的量级为,2,，因此右端的最大量级为,4.2,、平面不可压缩流体层流边界层方程,在高,Re,数情况下,较小可以忽略，同时忽略质量力，Prandtl边界层方程变为：,边界条件：,第三式说明，,在高,Re,数情况下较薄的边界层内，压力沿法向不变。,也就是，,p,与,y,无关，仅是,x,和,t,的函数,。即：,对于曲率不大的弯曲物面，上述边界层方程也近似成立。,当然如果曲率过大，则沿法向压强保持不变的条件就很难满足了。,综上所述，边界层基本特性可归纳为：,4.2,、平面不可压缩流体层流边界层方程,第一步，,求位流解,。,这时，略去边界层与尾迹，利用第三章求解理想流体对物体绕流问题的方法，求得物体表面的速度分布（求解时可预先对表面作动量厚度的修正）。由于边界层较薄，求得的速度分布可视为边界层外边界上的切向速度分布。即在任一坐标,x,处： 时 ，沿边界层外边界，伯努利方程成立：,4.2,、平面不可压缩流体层流边界层方程,3.,定常层流边界层问题解法概述,，,因此，边界层内的压强分布通过位流解得到了，即（,）是一个已知函数,。,(,或非定常时有欧拉方程成立,),第二步，,考察边界层方程与边界条件,物面：,边界层外缘：,由于 是已知函数，所以这两个方程式中只有两个未知数,故问题是可解的。求解的边界条件是：,4.2,、平面不可压缩流体层流边界层方程,第三步，,解法思路,。,我们的问题就是在上述边界条件之下，求解边界层方程组。后面的,Blasius解,就是一个求解的范例。,假设已经解出了边界层内速度分布：,那么，物体表面的摩擦应力 可自下式求出（层流）：,有了表面摩擦应力分布 之后，再通过积分就不难求出物体所受的总的摩擦阻力了。,4.2,、平面不可压缩流体层流边界层方程,1908年，Prandtl的学生Blasius利用边界层速度分布的相似性求解了平板层流边界层方程。,对于零压强梯度、定常、不可压缩流体平板层流绕流，边界层方程为,：,相应的边界条件为：,由于上述方程为非线性偏微分方程，求解很难，勃拉休斯引入流函数（由连续方程） 以简化方程：,流函数的量纲等于速度,长度，那么流函数表为无量纲的,的函数,f(,),时，应该在,f(,),之前将速度,长度的量纲显示出来，,Blasius,假设,速度用层外的,U,（即,u,e,）,，长度用,的量纲。,根据量级比较，边界层厚度的量级为,:,4.3,、平板层流边界层的数值解,这样,未知函数,u, v,就从两个减少为一个,。,自变量本来是两个,x,y,如果引用一个无,量纲,的变数,=y/,则,自变量也可以减为一个,，从而,的表达可作相应改变。,式中 是 的待定函数。,故流函数表为：,4.3,、平板层流边界层的数值解,从而，,可将,u,、,v,及其相关导数化为函数,f,关于,的导数：,4.3,、平板层流边界层的数值解,代入边界层微分方程，化简后变为：,边界条件变为：,方程被简化成了常微分方程，但仍然是非线性的求解还是很难，只好,设它的解为一个级数,。Blasius,假设：,其中， 为待定系数。,用,0,处边界条件，立刻可以确定：,A,0,= A,1,= 0,将以上诸式代入微分方程,得：,4.3,、平板层流边界层的数值解,从而：,因为上式对任何,值均须满足，故各系数必须分别等于零，即,如此继续做下去，所有诸不等于零之系数,A,均可以,A,2,来表示。而,A,2,则是一个待定常数。令,4.3,、平板层流边界层的数值解,整理后，得：,则待求级数可表为一个所有系数都含,A,2,a,的无穷级数：,就是我们要求的解,，,但其中尚有一常数 待定。此常数可用,:,的边界条件来确定，Blasius用数值方法定得：,从而所求的解完全确定。,4.3,、平板层流边界层的数值解,由所确定的级数解确定了流函数，也就确定了速度分布，从而就确定了与此相关的其他量，如边界层厚度、剪应力、摩阻系数等。,数值结果表明尽管各个位置处的速度型是不同的，但若以,作为自变量，则速度型是一样的。我们称这样的速度分布是,相似,的，这个解也被称为,相似解,。,当,=,4.0,时，,u /,V,=0.9916,，已经十分接近于,1,，从而可将此,对应的,y,坐标确定为边界层厚度,。,4.3,、平板层流边界层的数值解,1,2,3,4,5,6,7,8,0,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2,由上解确定的速度分布曲线如图所示，可见实验值与数值解（实线）很符合。,4.3,、平板层流边界层的数值解,由此,（,1,）边界层厚度,（ ）,（2）,边界层位移厚度,（3）,边界层动量损失厚度,4.3,、平板层流边界层的数值解,（4）壁面切应力,（5）,壁面摩擦阻力系数,（6）,平均壁面摩擦总阻力系数,郭永怀（1953年）对平板前缘点的修正，得到,适用范围：,边界层微分方程式的解析计算十分繁杂，目前仅能求解平板绕流层流边界层问题。,应用较为广泛的是边界层积分方程式，又称动量方程式。,它是冯卡门根据动量定理提出的。,可以适用于层流边界层和紊流边界层，以及无压力梯度和有压力梯度的情况。,今在边界层内任取一控制体,ABCD,，控制体长度为,dx,，控制面为,A,ab,、,A,bc,、,A,cd,、,A,da,。现对控制体应用动量方程，,边界层动量积分关系式是由,Karman 1921,年导出的，,对近似求解边界层特性具有重要作用。对层流和湍流边界层都适用。,1.,边界层动量积分方程,因此，经过AB和CD流出控制面的静质量为,：,x,4.4,、边界层动量积分方程,由,AB,面流入控制体的动量为,因此，经过AB和CD流出控制面的静质量为,：,那么,ABCD的动量变化为,4.4,、边界层动量积分方程,考虑控制面ABCD上的作用力,合力的冲量,根据动量定理,即,4.4,、边界层动量积分方程,Karman-Pohlhausen,动量积分方程,对于不可压流体，密度为常数,4.4,、边界层动量积分方程,Karman-Pohlhausen,动量积分方程,回顾,Karman-Pohlhausen,动量积分方程表示为,是一阶常微分方程，,既适用于层流也适用于湍流边界层,。,该方程含三个未知数,0,、,1,和,2,，因此需寻找两个补充关系才能求解,4.4,、边界层动量积分方程,如果写成无量纲形式，有：,其中,对于零压强梯度的平板边界层流动，有：,从而：,因为动量积分方程是个常微分方程，求解边界层时相对简单，只要知道,剪应力,0,与,1,、,2,之间（或与速度,u,分布之间）的相关关系，,即可求解,。,确定系数的条件为：,上述边界条件中除了壁面剪应力确定的条件适合于层流边界层之外，其余条件既适合与层流边界层也适合于湍流边界层。,如前所述，动量积分方程含有三个未知数：位移厚度,、,动量厚度和壁面切应力,因此，必须寻求补充关系才能求解。,对于,层流边界层,而言由于三个未知量都取决于边界层的速度分布，因此,只要给定速度分布，就可以求解,。显然，该方法的精度取决于边界层内速度分布的合理性。对于,层流边界层,，通常假定速度分布为：,2.,利用动量积分关系式解边界层问题的,Pohlhausen方法,4.4,、边界层动量积分方程,以平板层流边界层为例，假设速度型如下：,式中待定系数由下述边界条件确定。四个系数只需四个条件。,物面条件为：,边界层边界处的条件为：,由这四个条件，定得四个系数为：,4.4,、边界层动量积分方程,于是，速度分布成为：,由牛顿粘性定律：,下面求解积分关系式。对于平板边界层，有,积分关系式为比较简单的形式：,4.4,、边界层动量积分方程,将速度分布 代入动量厚度表达可得：,将上述关系代入动量积分关系式可得：,边界条件为：,x = 0,时，,=,0,，,积分上式，得平板边界层的厚度,沿板长的变化规律是：,这个结果与勃拉休斯数值解结果,(,常数为,4.0),相差不大。,4.4,、边界层动量积分方程,作用在宽度为,b,（垂直于纸面的尺寸）、长度为,l,的单面平板上的摩擦力为：,将,及 代入上式积分得：,单面平板的摩阻系数为,：,上述结果与勃拉休斯数值解结果,(,常数为,1.328),相差也不大,4.4,、边界层动量积分方程,1、边界层分离现象,边界层中的流体质点受,惯性力、粘性力和压力,的作用。其中,惯性力与粘性力的相对大小决定了粘性影响的相对区域大小，或边界层厚度的大小；,粘性力的作用始终是阻滞流体质点运动，使流体质点减速，失去动能；,压力的作用取决于绕流物体的形状和流道形状，顺压梯度有助于流体加速前进，而逆压梯度阻碍流体运动。,4.6,.,1.,边界层的分离现象,在分离点附近和分离区，由于边界层厚度大大增加，边界层假设不再成立。,以圆柱绕流为例，边界层内流体质点要克服粘性力做功而消耗机械能，在逆压区内流体不能无损失的减速到达,D,点，而是在某处使速度降为零，从而造成流动从壁面分离。在分离点下游的区域，受逆压梯度的作用而发生倒流。,分离点定义为紧邻壁面顺流区与倒流区的分界点。,仅有粘性的阻滞作用而无逆压梯度，不会发生边界层的分离，因为无反推力使边界层流体进入到外流区。这说明，零压梯度和顺压梯度的流动不可能发生边界层分离。,边界层分离的,必要条件,是：,存在逆压梯度和粘性剪切层。,顺压梯度时边界层变薄，不分离,无压强梯度时边界层虽然变厚，但不分离,4.6,.,1.,边界层的分离现象,只有逆压梯度而无粘性的剪切作用，同样也不会发生分离现象，因为无阻滞作用，运动流体不可能消耗动能而滞止下来。,有逆压无剪切：不分离 有逆压有剪切：可能分离,在粘性剪切力和逆压梯度的同时作用下才可能发生分离。,4.6,.,1.,边界层的分离现象,附面层分离的条件,1.内因：粘性剪切力的存在,2.外因：逆压梯度的存在,3.外因通过内因起作用,4.相同逆压梯度下湍流边界层抵抗分离的能力强于层流边界层,4.6,.,1.,边界层的分离现象,同一扩压段中层流边界层与湍流边界层流态的对比,层流边界层在一定逆压下分离,湍流边界层能够抵抗一定的逆压梯度而不分离,(,较大逆压下仍然会分离,),现在我们可以理解，麻的高尔夫球之所以比光的高尔夫球打得更远的,物理原因,在于：麻面使层流边界层很快转捩成为湍流边界层，湍流的横向输运特性使其具有较饱满的速度型和抵抗逆压梯度的能力，因此麻面高尔夫球具有较小的分离尾迹和流动阻力。,4.6,.,1.,边界层的分离现象,气流绕翼型的流动与边界层分离现象：,一定迎角下，上翼面最大速度点即最小压强点后的减速增压区将出现分离，一方面改变了绕流的形状，使升力大为降低；另一方面边界层的分离造成了减速增压过程不可能像理想流一样进行，机械能有损失，实验表明分离区的压强接近分离点的压强，从而造成了较大的压差阻力，同时还存在粘性摩擦阻力。,4.6,.,1.,边界层的分离现象,翼型小攻角时不分离流谱 翼型大攻角时分离流谱,4.6,.,1.,边界层的分离现象,4.6.2.,不同压力梯度区边界层的速度分布特征,2、在不同压力梯度区边界层的速度分布特征,根据边界层方程，,在壁面上,压力梯度对边界层内流动的速度分布将产生一定的影响。,对于,顺压梯度,的情况，有,对于,逆压梯度,的情况，有,对于,零压梯度,的情况，有,由此可见，,随着压力梯度的变号，边界层速度分布的曲率将改变符号。,粘性流体绕过,如图的曲线壁面时，速度将经历从加速达到最大然后减速的过程，对应的压强也会从顺压变化为逆压，从而边界层内速度分布的曲率也将随之改变。,4.6.2.,不同压力梯度区边界层的速度分布特征,对于,顺压梯度区,，压力沿程减小，速度沿程增加。在,壁面处,，,u,关于,y,是凸曲线：,另一方面，在边界层的,外边界,上，有,由此说明，在顺压梯度区，边界层内的速度沿,y,方向是单调增加的，分布曲线无拐点，是一条向,外凸,的光滑曲线，流动是稳定的。,4.6.2.,不同压力梯度区边界层的速度分布特征,随着速度沿程增加，压力沿程减小，在,壁面某处,速度达到最大，压强达最小，此后流动将逆压而行。在,最小压强点,有：,说明,物面是速度分布的拐点,，在边界层的,外边界,上仍然有：,与顺压区速度分布相比，,速度分布开始变尖瘦,。,u,y,y,y,4.6.2.,不同压力梯度区边界层的速度分布特征,进入,逆压梯度区,，压力沿程增加，速度沿程减小。在,壁面处,，有,另一方面，在边界层的,外边界,上，仍然有,于是在边界层内 ，速度分布曲率从正变为负，在某点处必然有,这一点是速度分布的拐点。拐点的出现改变了速度分布的形状，在拐点以上为外凸型，在拐点以下为外凹型，存在拐点的速度分布型是不稳定的。,4.6.2.,不同压力梯度区边界层的速度分布特征,可见随着流体质点向下游流动从零压梯度点进入逆压区，,拐点从物面上向外边界移动，物面近区的速度分布愈来愈瘦小（壁面速度梯度,du/dy,逐步降低）,。当拐点移动到空间某点时物面处出现：,该点称为,分离点,。其速度及其梯度分布曲线为：,y,y,y,u,4.6.2.,不同压力梯度区边界层的速度分布特征,在,分离点下游区,，有:,发生了回流，回流把主流推离壁面，边界层假设失效,。,y,y,u,y,由上分析,可见，逆压梯度愈大，边界层分离愈靠前,。边界层分离后，流动特征发生了变化。如：,（,1,）从分离点不断脱离出旋涡，在分离点下游形成不稳定的旋涡区，从而使得主流区由原来的无涡区变成有涡。,（,2,）在分离点后出现低压区（或负压区），从而大大增加了绕流物体的阻力。,4.6.2.,不同压力梯度区边界层的速度分布特征,随压强梯度变化，速度及其梯度分布的变化趋势对比：,顺压，速度为饱满的外凸曲线,零压梯度，壁面为拐点，速度变尖瘦,逆压，拐点移向空间，速度更加尖瘦，尚未分离,逆压、壁面速度梯度为零，分离点,逆压、速度梯度为负，倒流,y,y,u,y,y,y,y,u,y,y,u,y,1.,掌握边界层的概念、意义和特征,边界层近似、边界层的量级、边界层的各种厚度定义及其意义,2.,掌握边界层微分方程及其所表示的基本性质,量级分析方法、惯性力与粘性力的量级关系、压强梯度特点,3.,了解边界层微分方程的数值解法思路（,Blasius,解）及其结果,4.,掌握卡门动量积分关系式及其边界层近似解法（,Pohlhausen,法）,5.,掌握边界层的分离现象以及边界层在不同压力梯度区的速度分布特征；掌握 分离的本质、分离的必要条件、层流边界层与湍流边界层抵抗分离能力的不同及其原因,
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