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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 函数的连续性,一、 连续函数的概念,设,是连续函数，那么它的图形是一条没有间断点的连续曲线，如图。,叫做函数的增量,由图可知：,叫做自变量的增量,定义1,设函数 在点 的某个邻,域内有定义 ，如果当自变量 的增量,趋于零时，相应的函数的增量 也趋于零，即,则称函数 在点 处连续，点 叫做,的连续点。,例： 证明 在点 处连续,证： 因为,根据定义1，该函数在 处连续,因为：,所以由定义1可引出连续函数的第二个定义 。,定义2,设函数 在点 的某个邻,域内有定义 ，且 ， 则 在,连续。,即：,所以：,如果,则称 在 右连续,如果,则称 在 左连续,定义3,如果 在区间 内每一点,都连续，则称 在 内为连续函数，如果,在 内为连续函数，并且在 右连续，,即 ，在 点左连续，即,，则称 在 上连续。,例： 试证 在 内连续,证明 设 是 内任一点，且有,因为,所以 ， 该函数在 内是连续函数,从以上三个定义可以看出，一个函数在,处连续必须满员三个条件：,1、函数 在 及其附近有定义；,2、当 时， 的极限存在；,3、 在 的极限值等于函,数 在 的函数值。,二、 初等函数的连续性,定理1、,若函数 和 在同一点 连续，,则函数,在 点连续。,换句话说：连续函数的和差积商仍为连续函数。,定理2、 若函数 是某个区间上的单调,连续函数，则它的反函数 在相应区,间上也是单连续函数。,定理3、,若函数 在 点连续，,在 处连续，且 则 在,点连续函数。,也就是说连续函数的复合函数仍是连续函数。,根据初等函数的连续性及上述三个定理得：,一切初等函数在其定义域内都是连续函数。,例,例,需要注意的一点，在复合函数求极限时，并不,一定要求 在 点连续，只要 当,时极限存在，即 存在，它的极限值,使的 连续即可。,该函数是由,复合而成,在,并不连续，但是,存在，并且,在 处连续。,三、 闭区间上连续函数的性质,定理1、,（有界性）若函数 在 连续，,则函数 在 上有界。即存在正数M，对,于一切 有,。,定理2、,（最大值、最小值）若函数 在,上连续，则函数 在 上必取得最大值与,最小值。,例：,在,与,上不存在最大(小)值,定理3、,(介值定理) 若函数 在 上连续，,且在端点有不同的函数值，,则对于 与 之间的任何一个数 ，在 内,至少存在一点 ，使 。如图,特殊地若,与 异号，则,在 内至少,存在一点 使,例：证明方程 至少有一个小于2的,正根。,证明 设,则有,函数值异号,此函数在 连续，根据定理3知在 之,间至少存在一点 ，使得,即方程 在 内至少存在一个小,于2的正根。,四、函数的间断点,函数 在 点不满足连续函数三个条件当中其中一个条件，我们就说 在 点不连续，并把 点叫做 的间断点或不连续点。,例1,在 处无意义，也就是没有,定义，所以该函数在 处不连续。,但是 把这样的间断点叫做函数的无穷型间断点或无穷型不连续点。,例2,讨论,在 处是否连续,因为,则有,但是,所以 是该函数的不连续点或间断点,但是如果我们把这个函数修改成如下：,间断点,就变成了连续点，我们把这种经过修改或补充能变成连续点的间断点，叫做可去型间断点。,例3,讨论,在 处是否连续？,解 因为该函数在 无定义， 是间断点。,但,如果我们补充定义：,这样 就变成了连续点，所以该间断点叫做可去型间断点。,例4,在 处的连续性,讨论,该函数在 处有定义，但,解,所以,不存在,所以该函数在,处不连续，但该函数在,处曲线产生跳跃，我们把这种间断点叫做跳跃型间断点。,我们把各种间断点分为两类：,凡是左右极限都存在的间断点叫做第一类间,断点，除此之外的间断点都叫做第二类间断点。,其中第一类间断点中，左右极限不相等者称为跳,跃型间断点，左右极限相等者称为可去型间断点。,练习1,在,处是否连续？,练习2,在 是否连续？,练习1,在 处是否连续？,解,该函数在 处无定义，所以在该点,不连续。,但是,我们可以补充定义,使 变成了连续点，所以 是该函数的可去间断点。也是第一类间断点。,练习2,在 是否连续？,解：,所以,不存在,曲线在该点产生,跳跃，所以是跳跃型间断点。,也是第一类间断点。,
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