拉格朗日函数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,9.10,多元函数的极值及其求法,多元函数的极值和最值,条件极值拉格朗日乘数法,一、多元函数的极值和最值,一、多元函数的极值和最值,1,、多元函数极值的定义,极大值、极小值统称为极值,.,使函数取得极值,的点称为极值点,.,设,P,R,n,函数,u=f(p),在,p,0,的某邻域,U(p,0, ),内有,定义，对任何,p U(p,0, ), p,p,0,都有,f(p)f(p,0,),称,函数,u=f(p),在,p,0,点有极小值。,(1),(2),(3),例,1,例,例,2,、多元函数取得极值的条件,证,前提：多元函数在（,X,0,Y,0,）处有偏导。,注：,1,）极值点处的切平面平行于,xoy,平面；,2,）使一阶偏导数同时为零的点，称为,函数的,驻点,.,驻点,极值点,如何判定驻点是否为极值点？,注意：,求最值的一般方法,：,将函数在,D,内的所有驻点处的函数值及在,D,的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值,.,3,、多元函数的最值,第三步，比较以上两步所得各函数值，最大者为,M,，,最小者为,m,故,M,=25,，,m,=9,解,(,舍去,x,1,),解,由,x=y,无条件极值,：,对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件,.,实例： 小王有,200,元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘,8,元，每盒磁带,10,元，问他如何分配这,200,元以达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,二、条件极值拉格朗日乘数法,条件极值,：对自变量有附加条件的极值,解,则,2,x=,3,y, y=,2,z,解,可得,即,1.,在椭圆 上求一点，使其到直线,的距离最短。,解 设,P,(,x,，,y,),为椭圆 上任意一点，则,P,到直线,的距离为,求,d,的最小值点即求 的最小值点。作,由,lagrange,乘数法，令,得方程组,解此方程组得,于是,由问题的实际意义最短距离存在，因此 即为所求点。,3.,解,分析,:,得,P190 6,思考,