1.2.1充分条件与必要条件(李用)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.2 .1,充分条件与必要条件,同学们，当某一天你和你妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”。那么大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“这是我的孩子”呢？,不会了！为什么呢？,因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足以保证你是她的 孩子。那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题,充分条件与必要条件。,【,实例引入,】,2024/9/13,音乐欣赏,我是一只鱼,提问：鱼非常需要水，没了水，鱼就,无法生存，但只有水，够吗？,事例一,探究：,p,：“有水”；,q,：“鱼能生存”,判断“若,p,，则,q,”,和“若,q,，则,p,”,的真假,一、引入,2024/9/13,有一位母亲要给女儿做一件衬衫，母亲带女儿去商店买布，母亲问营业员：,“,要做一件衬衫，应该买多少布料？,”,营业员回答：,“,买三米足够了！,”,引导分析：,p:,有,3,米布料,q:,做一件衬衫,事例二：,一、引入,（,2,）因为若,ab,=0,则应该有,a=0,或,b=0,。,所以并不能得到,a,一定为,0,。,例,:,判断下列命题的真假。 （,1,）若,xa,2,+b,2,，则,x2ab,。 （,2,）若,ab,=0,则,a=0,。,真命题,假命题,解,（,1,）因为若,xa,2,+b,2,，而,a,2,+b,2,2ab,，所以可以,得到,x2ab,。,【,问题探究,】,如果命题“若,p,则,q”,为真，则记作,如果命题“若,p,则,q”,为假，则记作,（,2,）因为若,ab,=0,则应该有,a=0,或,b=0,。,所以并不能得到,a,一定为,0,。,例,:,判断下列命题的真假。 （,1,）若,xa,2,+b,2,，则,x2ab,。 （,2,）若,ab,=0,则,a=0,。,真命题,假命题,解,（,1,）因为若,xa,2,+b,2,，而,a,2,+b,2,2ab,，所以可以,得到,x2ab,。,在真命题（,1,）中，,p,足以导致,q,，也就是说条件,p,充分,了。在假命题（,2,）中条件,p,不,充分,。,【,问题探究,】,在真命题（,1,）中，,q,是,p,成立所必须具备的前提。 在假命题（,2,）中，,q,不是,p,成立所必须具备的前提。,定义,：如果命题“若,p,，则,q,”,为真命题,即,p,q,那么我们就说,p,是,q,的,充分条件,；,q,是,p,的,必要条件,【,定义得出,】,充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够的，足以保证的。符合“若,p,则,q”,为真（,p=q,）的形式,即“,有之必成立,”。,必要性：必要就是必须的，必不可少的。符合“若非,q,则非,p”,为真（非,q=,非,p,）的形式，即“,无之必不成立,”。,注：,p,是,q,的充分条件与,q,是,p,的必要条件是,完全等价,的，它们是同一个逻辑关系“,p=q”,的不同表达方法。,P10,练习 用符号,与,填空。,（,1,）,x,2,=y,2,x=y,；（,2,）内错角相等,两直线平行；（,3,）整数,a,能被,6,整除,a,的个位数字为偶数；（,4,）,ac=,bc,a=b,例,1,，下列“若,p,，则,q”,形式的命题中，哪些命题 中的,p,是,q,的充分条件？ （,1,）若,x=1,，则,x,2,4x+3=0,； （,2,）若,f,（,x,）,=x,，则,f,（,x,）为增函数； （,3,）若,x,为无理数，则,x,2,为无理数,解：命题（,1,）（,2,）是真命题，命题（,3,）是假命题，所以命题（,1,）（,2,）中的,p,是,q,的充分条件,.,【,典例演练,】,练习,1,：,(1),若两个三角形全等，则这两个三角形相似；,(2),若,x 5,，则,x 10,。,解：命题,（,1,）是真命题，命题（,2,）是假命题,所以命题（,1,）中的,p,是,q,的充分条件。,例,2,下列“若,p,，则,q”,形式的命题中，哪些命题中的,q,是,p,的必要条件？,(1),若,x=y,，则,x,2,=y,2,。,(2),若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等,.,(3),若,ab,，则,ac,bc,。,解：命题,（,1,）（,2,）是真命题，命题（,3,）是假命题，所以命题（,1,）（,2,）中的,q,是,p,的必要条件。,练习,2,下列“若,p,，则,q”,形式的命题中，哪些命题中的,p,是,q,的必要条件？,(1),若,a+5,是无理数，则,a,是无理数。,(2),若（,x-a,）（,x-b,）,=0,，则,x=a,。,解：命题,（,1,）（,2,）的逆命题都是真命题，,所以命题（,1,）（,2,）中的,p,是,q,的必要条件。,分析：注意这里考虑的是命题,中的,p,是,q,的必要条件。,所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。, 认清条件和结论。, 考察,p q,和,q p,的真假。, 可先简化命题。, 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。, 否定一个命题只要举出一个反例即可。,1,、判别步骤：,2,、判别技巧：,判别充分条件与必要条件,【,方法小结,】,p,q,，相当于,P q,，即,P q,或,P,、,q,P,足以导致,q,也就是说条件,p,充分了；,q,是,p,成立所 必须具备的前提。,从集合的角度来理解充分条件、必要条件,答：命题,（,1,）为真命题：,练习,3,，判断下列命题的真假： （,1,）,x=2,是,x,2,4x+4=0,的必要条件； （,2,）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件； （,3,）,sinA,=,sinB,是,A=B,的充分条件； （,4,）,ab,0,是,a,0,的充分条件。,命题（,2,）为真命题；,命题（,3,）为假命题；,命题（,4,）为真命题。,能 力 测 试,1,、用符号“,充分,”或“,必要,”填空：,（,1,）“,0,x,5”,是“,x,2, 0”,是“,x+y,= x + y ”,的,_,条件。,（,4,）“个位数是,5,的整数”是“这个数能被,5,整除”,的,_,条件。,充分,必要,充分,充分,练习,4.,用“,充分,”或“,必要,”填空，并说明理由：,1. “,a,和,b,都是偶数”是“,a,+,b,也是偶数”的,条件；,2. “,四边相等”是“四边形是正方形”的,条件；,3. “,x,3”,是“,|,x,|,3”,的,条件；,4. “,x,1=0”,是“,x,2,1=0”,的,条件；,5. “,两个角是对顶角”是“这两个角相等”的,条件；,充分,必要,必要,充分,充分,6. “,至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的,条件；,7.,对于一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=0(,其中,a,b,c,都不为,0),来说，“,b,2,4,ac,0”,是“这个方程有两个正根”的,条件；,8. “,a,=2,，,b,=3”,是“,a,+,b,=5”,的,条件；,必要,必要,充分,2.,m,=,2,是直线,(2,m,),x,my,+3=0,和,直线,x,my,3=0,互相垂直的,_ .,充分而不必要的条件,例,3,开关,A,闭合作为命题的条件,p,， 灯泡,B,亮作为命题的结论,q,，你 能根据下列各图所示判断,p,是,q,的什么条件吗？,【,课堂小结,】,如果已知,p q,，则说,p,是,q,的充分 条件，,q,是,p,的必要条件。, 认清条件和结论。,考察,p q,和,q p,的真假。, 可先简化命题。, 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。, 否定一个命题只要举出一个反例即可。,1,、定义：,2,、判别步骤：,3,、判别技巧：,自 学 导 引,(,学生用书,P,8,),1.,通过具体实例中条件之间的关系的分析,理解充分条件,必要条件的含义,.,2.,通过具体实例理解充分条件,必要条件在思考和解决数学问题中的作用,.,课 前 热 身,(,学生用书,P,8,),1.,一般地,命题,“,若,p,则,q,”,为真,可记作,“,_,”,;,“,若,p,则,q,”,为假,可记作,“,_,”,.,2.,一般地,如果,p,q,那么称,p,是,q,的,_,同时称,q,是,p,的,_.,p q,p,q,充分条件,必要条件,名 师 讲 解,(,学生用书,P,8,),1.,对充分条件,必要条件的理解,一般地,若,p,q,则,p,是,q,的充分条件,.,“,充分,”,的意思是,:,要使,q,成立,条件,p,成立就足够了,.,即是说有条件,p,成立,q,就一定成立,.,另一方面,q,又是,p,的必要条件,.,“,必要,”,是说缺少,q,p,就不会成立,.,例如,“,x=2,”,是,“,x,2,=4,”,的充分条件,即,x=2,x,2,=4,但,x,2,=4,的充分条件还有,x=-2,可见,p,q,p,不一定是唯一的,.,同时,x,2,=4,是,x=2,的必要条件,.,因为,x,2,=4,不成立,x=2,一定不成立,.,我们可以用集合的关系来理解,:,若,A,B,则,A,是,B,的充分条件,同时,B,是,A,的必要条件,.,例如,A=0,1,B=0,2.,若,x,A,则,x,B,所以,A,是,B,的充分条件,.,若,x,B,则一定有,x,A,也就是说,若,B,不成立,A,也就不成立了,.,因此,B,是,A,的必要条件,.,2.,充分不必要条件,必要不充分条件,如果,“,p,q,且,q,p,”,那么称,p,是,q,的充分不必要条件,.,例如,x=2,x,2,=4,反过来,x,2,=4,x=2,所以称,x=2,是,x,2,=4,的充分不必要条件,.,如果,“,p,q,且,q,p,”,则称,p,是,q,的必要不充分条件,.,例如,p:,“,四边形对角线相等,.,”,q:,“,四边形为正方形,.,”,显然,p,q,且,q,p,所以,p,是,q,的必要不充分条件,.,典 例 剖 析,(,学生用书,P,8,),题型一 用定义判定充分条件与必要条件,例,1:,下列命题中,p,是,q,的充分条件的是,( ),p:a+b=0,q:a,2,+b,2,=0;,p:x5,q:x3;,p:,四边形是矩形,;q:,四边形对角线相等,;,已知,、,是两个不同的平面,直线,a,直线,b,命题,p:a,与,b,无公共点,命题,q:,.,A.,B.,C.,D.,解析,:,a+b=0,a,2,+b,2,=0,即,p,q,p,不是,q,的充分条件,.,x5,x3,即,p,q,p,是,q,的充分条件,.,四边形是矩形,对角线相等,即,p,q,p,是,q,的充分条件,.,a,、,b,无公共点不能推出,无公共点,即,p,q,p,不是,q,的充分条件,.,答案,:B,变式训练,1:,下列命题中,p,是,q,的必要条件的是,( ),A.p:x=1,或,x=2,B.p:m0,q:x,2,-x-m=0,无实根,C.p:a0,且,a1,q:y=a,x,是增函数,D.p:f(x)=log,a,(x+1),q:f(x),为增函数,答案,:A,题型二 充分不必要条件,必要不充分条件的判定,例,2:,指出下列各组命题中,p,是,q,的什么条件,?,(1)p:,数,a,能被,6,整除,q:,数,a,能被,3,整除,;,(2)p:x1,q:x,2,1;,(3)p:,ABC,有两个角相等,q:,ABC,是正三角形,;,(4)p:|a,b|=a,b,q:a,b0.,分析,:,判断,p,是,q,的什么条件,主要判断,p,q,及,q,p,两个命题的正确性,若,p,q,为真,则,p,是,q,成立的充分条件,;,若,q,p,为真,则,p,是,q,成立的必要条件,.,解,:(1),p,q,且,q,p,p,是,q,的充分不必要条件,.,(2),p,q,且,q,p,p,是,q,的充分不必要条件,.,(3),p,q,且,q,p,p,是,q,的必要不充分条件,.,(4),a,b=0,时,|a,b|=a,b,|a,b|=a,b,a,b0,而,a,b0,时,有,|a,b|=a,b,p,是,q,的必要不充分条件,.,变式训练,2:,指出下列各组命题中,p,是,q,的什么条件,?,(1),在,ABC,中,p:AB,q:tanAtanB;,(2)p:x=3,q:(x+2)(x-3)=0;,(3)p:ab0,(4)p:|x-2|3,0xB,tanAtanB.,反过来,tanAtanB,AB.(,可举反例,取,A=30,B=120),p,是,q,的既不充分也不必要条件,.,(2),x=3,(x+2)(x-3)=0,而,(x+2)(x-3)=0,x=-2,或,x=3.,p,q,但,q,p.,p,是,q,的充分不必要条件,.,题型三 充分条件,必要条件的应用,例,3:,是否存在实数,m,使,“,4x+m0,”,的充分条件,?,如果存在,求出,m,的取值范围,.,分析,:,“,4x+m0,”,是结论,先解出这两个不等式,再探求符合条件的,m,的范围,.,规律技巧,:,本题用集合的包含关系去理解更容易解答,注意结合数轴确定,m,的范围,.,变式训练,3:,使不等式,x,2,-2x-30,成立的充分不必要条件是,( ),A.x3,或,x5,C.x0 D.x0,x3,或,x3,是,x,2,-2x-30,成立的充分不必要条件,而,x5,x3.,x5,是使不等式成立的充分不必要条件,.,答案,:B,技 能 演 练,(,学生用书,P,9,),基础强化,1.,使,x(y-2)=0,成立的一个充分条件是,( ),A.x,2,+(y-2),2,=0 B.(x-2),2,+y,2,=0,C.x,2,+y,2,=1 D.x+y-2=0,解析,:,x,2,+(y-2),2,=0,x=0,且,y=2,x(y-2)=0,故选,A.,答案,:A,解析,:ab,b0,a0,b0,a+b2,的一个必要不充分条件是,( ),A.x1,C.x3 D.x2,x1,而,x1,x2,故选,B.,答案,:B,4.,已知平面,和两条不同直线,mn,则,m,n,的一个必要条件是,( ),A.m,n,B.m,n,C.m,n,D.mn,与,成等角,答案,:D,解析,:,a-b1,ab+1,ab,而,ab,ab+1.,a-b1,是,ab,的充分不必要条件,.,故选,D.,答案,:D,6.,设,a,、,b,、,c,R,在下列命题中,真命题是,( ),A.,“,acbc,”,是,“,ab,”,的必要条件,B.,“,acbc,”,是,“,ab,”,的充分条件,C.,“,ac=bc,”,是,“,a=b,”,的必要条件,D.,“,ac=bc,”,是,“,a=b,”,的充分条件,解析,:,排除选项,A,、,B,、,D,知,C,正确,.,答案,:C,7.,在,“,x,2,+(y-2),2,=0,是,x(y-2)=0,的充分不必要条件,”,这句话中,已知条件是,_,结论是,_.,答案,:x,2,+(y-2),2,=0 x(y-2)=0,解,:,命题,(1),与,(2),为真命题,而,(3),为假命题,命题,(1),与,(2),中的,p,是,q,的充分条件,.,能力提升,9.,指出下列条件中,p,是,q,的什么条件,q,是,p,的什么条件,.,(1)p:,C=90;q:,ABC,是直角三角形,;,(2)p:AB=A;q:A,B.,解,:(1),C=90,ABC,为直角三角形,.,p,q.,ABC,是直角三角形,也可能,B=90,q,p.,p,是,q,的充分不必要条件,q,是,p,的必要不充分条件,.,(2),AB=A,A,B,p,q.,又,A,B,AB=A,qp.,p,是,q,的必要不充分条件,q,是,p,的充分不必要条件,.,10.,已知,a,b,是实数,求证,:a,4,-b,4,-2b,2,=1,成立的充分条件是,a,2,-b,2,=1.,该条件是否是必要条件,?,证明你的结论,.,证明,:,若,a,2,-b,2,=1,则,a,4,-b,4,-2b,2,=(a,2,+b,2,)(a,2,-b,2,)-2b,2,=a,2,+b,2,-2b,2,=a,2,-b,2,=1.,a,2,-b,2,=1,是,a,4,-b,4,-2b,2,=1,的充分条件,.,a,2,-b,2,=1,是,a,4,-b,4,-2b,2,=1,的必要条件,证明如下,:,若,a,4,-b,4,-2b,2,=1,则,a,4,-b,4,-2b,2,-1=0,即,a,4,-(b,2,+1),2,=0,(a,2,+b,2,+1)(a,2,-b,2,-1)=0.,a,2,+b,2,+10,a,2,-b,2,=1.,a,2,-b,2,=1,是,a,4,-b,4,-2b,2,=1,的必要条件,.,品味高考,11.(2008,天津,),设,ab,是两条直线,是两个平面,则,ab,的一个充分条件是,( ),A.a,b,B.a,b,C.a,b,D.a,b,解析,:,b,b,又,a,ba.,故选,C.,答案,:C,12.(2009,安徽,),下列选项中,p,是,q,的必要不充分条件的是,( ),A.p:a+cb+d,q:ab,且,cd,B.p:a1,b1,q:f(x)=a,x,-b(a0,且,a1),的图象不过第二象限,C.p:x=1,q:x,2,=x,D.p:a1,q:f(x)=log,a,x(a0,且,a1),在,(0,+),上为增函数,答案,:A,