第五节线性变换的矩阵表示式

,线性变换在基下的矩阵,主要内容,举例,线性变换在不同基下的矩阵的关系,第 五 节 线性变换的矩阵表示式,上节例 11 中, 关系式,i,=,T,(,e,i,) (,i,= 1, 2,n,)，,n,=,Ae,n,(,e,1,e,2,e,n,为单位坐标向量), 即,关系式来表示.,为此, 考虑到,1,=,Ae,1,2,=,Ae,2,自然希望 R,n,中任何一个线性变换都能用这样的,简单明了地表示出 R,n,中的一个线性变换.,我们,T,(,x,) =,Ax,(,x, R,n,),一、线性变换在基下的矩阵,可见如果线性变换,T,有关系式,T,(,x,) =,Ax, 那么矩,T,(,x,) =,T,(,e,1,e,n,),x,=,T,(,x,1,e,1,+,x,2,e,2,+,+,x,n,e,n,),=,x,1,T,(,e,1,) +,x,2,T,(,e,2,) +,+,x,n,T,(,e,n,),= (,T,(,e,1,),T,(,e,2,),T,(,e,n,),x,= (,1,2,n,),x,=,Ax,.,系式,换,T,使,T,(,e,i,) =,i,(,i,= 1, 2,n,), 那么,T,必有关,阵,A,应以,T,(,e,i,) 为列向量.,反之, 如果一个线性变,总之 , R,n,中任何线性变换,T,都能用关系式,有,把上面的讨论推广到一般的线性空间, 我们,表示, 其中,A,= (,T,(,e,1,),T,(,e,n,).,T,(,x,) =,Ax,(,x, R,n,),定义 6,设,T,是线性空间,V,n,中的线性变换,在变换,T,下的象(用这个基线性表示)为,在,V,n,中取定一个基,1,2,n, 如果这个基,记,T,(,1,2,n,) = (,T,(,1,),T,(,2,),T,(,n,),其中,那么,A,就称为,线性变换,T,在基,1,2,n,下的矩阵.,T,(,1,2,n,) =,(,1,2,n,),A,，,上式可表示为,显然, 矩阵,A,由基的像,T,(,1,),T,(,2,),T,(,n,),V,n,中的任意元素记为,特性我们来推导变换,T,必须满足的关系式.,变换,T,下的像, 那么, 根据变换,T,保持线性关系的,1,2,n,下的矩阵, 也就是给出了这个基在,如果给出一个矩阵,A,作为线性变换,T,在基,唯一确定.,于是有,即,这个关系式唯一地确定一个变换,T, 可以验证,以,A,为矩阵的线性变换,T,由关系式 (1) 唯一确定.,所确定的变换,T,是以,A,为矩阵的线性变换.,总之,定义 6 和上面一段讨论表明, 在,V,n,中取定一,n,下的坐标分别为,由关系式 (1) , 可见,与,T,(,) 在基,1,关系.,T,A, 由一个矩阵,A,也可唯一地确定一个线性变换,个基以后, 由线性变换,T,可唯一地确定一个矩阵,这样, 在线性变换与矩阵之间就有一一对应的,即按坐标表示, 有,T,(,) =,A,.,例 12,在,P,x,3,中, 取基,求微分运算,D,的矩阵.,二、举例,解,所以,D,在这组基下的矩阵为,例 13,在 R,3,中,T,表示将向量投影到,平面的线性变换, 即,(1),取基为,求,T,的矩阵;,(2),取基为,求,T,的矩阵.,解 (1),即,(2),即,由上例可见, 同一个线性变换在不同的基下,依次为,A,和,B, 那么,B,=,P,-,1,AP,.,阵为,P,V,n,中的线性变换,T,在这两个基下的矩阵,由基,1,2,n,到基,1,2,n,的过渡矩,1,2,n,.,1,2,n,;,定理 2,设线性空间,V,n,中取定两个基,有不同的矩阵.,一般地, 我们有,三、线性变换在不同基下的矩阵的关系,证,按定理的假设, 有,(,1,n,) = (,1,n,),P,P,可逆;,及,T,(,1,n,) = (,1,n,),A,T,(,1,n,) =,(,1,n,),B,.,于是,(,1,n,),B,=,T,(,1,n,),=,T,(,1,n,),P, =,T,(,1,n,),P,= (,1,n,),AP,=,(,1,n,),P,-,1,AP,因为,1,n,线性无关, 所以,B,=,P,-,1,AP,.,证毕,这个定理表明,B,与,A,相似, 且两个基之间的,过渡矩阵,P,就是相似变换矩阵.,例 14,设,V,2,中的线性变换,T,在基,1,2,下,的矩阵为,求,T,在基,2,1,下的矩阵.,解,即,求得,于是,T,在基 (,2,1,) 下的矩阵为,定义 7,线性变换,T,的像空间,T,(,V,n,) 的维数,若,T,的秩为,r, 则,T,的核,S,T,的维数为,n,-,r,.,显然, 若,A,是,T,的矩阵, 则,T,的秩就是,R,(,A,).,称为线性变换的秩.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,