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细菌繁殖,天数,/,天,3,5,7,8,10,12,细菌个数,671,937,1316,1559,2186,3085,求：（,1,） 开始时细菌个数是多少？,（,2,） 如果细菌继续以过去的速度增长，,60,天 后细菌的个数是多少？,根据已知的对细菌繁殖的统计规律，在营养充足的条件下，时刻细菌的繁殖速度 与 时刻细菌的数量 成正比，比例系数为 ，并且 是时间 的连续函数。试建立细菌数量与时间之间的函数关系。,若某种细菌在繁殖过程中的记录数据如下表所示,应用背景,可用于卫生防疫部门监测细菌的繁殖状况，提出预警机制。,相关知识点,1.,建立简单实际问题的函数关系,2.,导数的概念,3.,连续函数,解题方法,建立细菌数量函数，用,MATLAB,软件求出拟合曲线,。,解题过程,第一步：,显然，任意时刻,细菌的繁殖速度,设时刻细菌数量为 。我们将时间间隔,0,分成 等份。由于细菌的繁殖是连续变化的，在很短的一段时间内细菌数量的变化是很小的，繁殖速度可近似看成是不变的。因此，在第一段时间 内，细菌数量满足关系式,解题过程,时段内细菌的增量为,故 时刻细菌数量为,解题过程,第二步：,同理，第二时段 末细菌的数量为,依次类推，可以得到，最后一时段 末细菌的数量为,解题过程,第三步：,显然，这是一个近似值。因为我们假设了在每一小段时,间 （ ）内细菌的繁殖速度是,不变的，且等于该时段初始时刻的变化速度。但这种近似程度将随着小区间的长度的缩小精度越高。若对时间间隔无限细分，就可以得到精确值。所以，经过时间 后细菌总数为,很多事物的发展变化规律服从这个模型，所以也称模型 为生产函数。,解题过程,第四步：,用,MATLAB,软件绘制表中所给数据的散点图，其,MATLAB,程序为：,x = 3 5 7 8 10 12,；, y = 671 937 1316 1559 2186 3085,；, ,plot(x, y, *),这里是设（ ），得到,解题过程,从上图可知，这些点可能在一个指数曲线上。,由于曲线不如直线好求，可以变换成直线来处理。,解题过程,第五步：,用下面的,MATLAB,软件程序, x = 3 5 7 8 10 12,；, z = 6.5 6.84 7.18 7.35 7.69 8.03,；, ,plot(x, z, *) (,这里设,),，得到,天数,/,天,3,5,7,8,10,12,6.5,6.84,7.18,7.35,7.69,8.03,我们将天数所对应的细菌数取对数，得下表：,解题过程,从图中容易看出，,细菌生长数据与时间成直线关系，故可用一次函数拟合。,解题过程,第六步：,同样用,MATLAB,软件，其程序为, x = 3 5 7 8 10 12;, z = 6.5 6.84 7.18 7.35 7.69 8.03;, polyfit(x,z,1);,ans,=,0.1700 5.9900, v,=0.17*x+5.99,;, ,plot(x,v,*),出现下面的直线拟合图,解题过程,所以,即,此即为细菌繁殖的数学模型。故 ， ；,60,天后细菌数量为 。,
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