DSP04_IIR 数字滤波器设计和实现

单击此处编辑母版标题样式,*,北京邮电大学信息与通信工程学院多媒体中心门爱东,D,igital,S,ignal,P,rocessing, Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,门爱东教授,menad,数字信号处理,Digital Signal Processing,第,4,章,IIR,数字滤波器设计和实现,主题概述,1,-,绪论,2 -,离散时间信号和离散时间系统,3,-,离散傅里叶变换及其快速计算方法,4,IIR,数字滤波器设计和实现,4.1,),概述,4.2,),模拟滤波器设计,4.3),模拟滤波器的数字仿真,4.4,),冲激响应不变法,4.5),双线性变换法,4.6,),高通、带通和带阻,IIR DF,的设计,(,数字频率变换,),4.7) IIR,数字滤波器的计算机辅助设计,4.8) IIR,数字滤波器的实现结构,4.9) IIR,数字滤波器的应用,4.10),本章小结,5 ,FIR,数字滤波器设计和实现,6 ,数字信号处理中的有限字长效应,2,滤波器：,选择所需的某一或某些频带的信号，而抑制不需要的其它频带的信号。,通带：,滤波器中使信号,通过,的频带，通带边缘所对应的频率称为通带截止频率。,阻带：,抑制,信号或噪声通过的频带。,过渡带：,从通带到阻带的过渡频率范围。,4.1 IIR DF,：概述,通,带,阻带,过渡带,3,分类：,输入输出信号：,模拟和数字滤波器,单位取样响应或实现,网络结构,：,IIR DF,和,FIR DF,通频带：,低通滤波器,：只允许低频信号通过而抑制高频信号。例如，可用低通滤波器消除旧音乐录音带中的背景噪声。,高通滤波器,：只允许高频信号通过而抑制低频信号。例如，声纳系统可用高通滤波器消除信号中的船和海浪的低频噪声，保留目标特征。,带通滤波器,：允许某一频带的信号通过。例如，数字电话双音多频（,DTMF,）,信号的解码，每个电话键产生一对音频信号，其中一个信号对按键的行编码，另一个对列编码，接收端通过一组带通滤波器来识别每个按键。,带阻滤波器,：抑制某一频带的信号。例如，从复合电视信号中滤除频分复用的色度信号，以便得到亮度信号。,4.1.1 IIR DF,概述：,分类,4,4.1.1 IIR DF,概述：,分类,5,数字域性能指标,通带截止频率,p,通带波动,A,p,(dB,，,相对指标,),或,通,带容限,p,(,绝对指标,),阻带起始频率,s,阻带衰减,A,s,(dB,，,相对指标,),或,阻带容限,s,(,绝对指标）,。,容差图,通带波动,过渡带,阻带衰减,1,1-,p,1+,p,s,0,p,s,绝对指标,通带波动,过渡带,Ap,0,As,相对指标,|,H(e,j,)|,理想特性,Butterworth,Chebyshev,Cauer,(,椭圆）,|,H(e,j,)|/,dB,4.1.2 IIR DF,概述：,性能指标,最重要的设计参数,：,频带容限（波动）和频带边缘频率,6,由上图 所示，由于绝对指标,|,H(e,j,)|,max,=,（,1,p,）,，,因此，存在如下定义,:,4.1.2 IIR DF,概述：,性能指标,7,模拟域性能指标：,假定模拟滤波器的频率响应为,H,a,(j),，,则基于平方幅度响应的低通滤波器技术指标为：,其中,: ,为通带内波动系数，,p,：,通带截止频率,A,为阻带衰减参数，,s,：阻带起始频率,c,：,3dB,截止频率,4.1.2 IIR DF,概述：,性能指标,通带波动,过渡带,1,0,p,s,|H,a,(j)|,2,模拟滤波器的技术指标,c,0.5,阻带衰减,8,4.1.3 IIR DF,概述：,设计过程,性能指标确定,按需要确定滤波器的性能要求,，比如确定所要设计的滤波器是低通、高通、带通还是带阻，截止频率是多少，阻带的衰减有多大，通带的波动范围是多少等。,系统函数确定,用一个因果稳定的系统函数,(,或差分方程、脉冲响应,h(n,),去逼近上述性能要求。,此系统函数可分为两类，即,IIR,系统函数与,FIR,系统函数。,算法设计,用一个有限精度的运算去实现这个系统函数,（,速度、开销、稳定性等,),。这里包括选择算法结构，如级联型、并联型、正准型、横截型或频率取样型等等；还包括选择合适的字长以及选择有效的数字处理方法等。,实施方法,硬件实现、软件实现。,9,IIR DF,设计的目的就是确定滤波器的各系数,a,k,、,b,k,，或者零极点,c,i,、,d,i,，使滤波器的性能满足要求。,S,平面逼近：模拟滤波器,H(s,),Z,平面逼近：数字滤波器,H(z,),4.1.3 IIR DF,概述：,设计方法,用一因果稳定的离散,LSI,系统函数逼近给定的性能要求：,10,4.1.3 IIR DF,概述：,设计方法,直接设计,累试,(,只适用于简单,DF,的设计,),；,极点,峰值；零点,谷值,设置其零极点以达到简单的性能要求,特点：简单，但是需要经验。,优化设计,CAD,系统函数,H(z,),的系数,a,k,b,k,或零极点,c,i,d,i,等参数，可采用优化设计方法确定。,步骤：,优化原则,最小均方误差准则，绝对误差准则等,;,赋予初值,;,根据优化准则计算误差,;,改变参数赋值，再次计算误差，如此迭代下去，直至误差达到最小。,e,jw,11,4.1.3 IIR DF,概述：,设计方法,12,(,模拟滤波器的设计理论已相当成熟，并可利用完备的图、表加快设计过程,),模拟,-,数字滤波器变换方法：,冲激响应不变法,和,双线性变换法,。也就是根据什么准则把,H,a,(S,),转换为,H(z),。,4.1.3 IIR DF,概述,：,设计方法,间接设计,:,用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器,（模拟原型法）,13,本章主要讲述利用模拟原型设计,IIR DF,的方法,根据,IIR,滤波器设计的基本技术，引出两种设计方法：,4.1.3 IIR DF,概述,：,设计方法,方法,1,：,模拟频带,变换,SS,IIR,滤波器,方法,2,：,模拟低通,滤波器设计,数字频带,变换,ZZ,IIR,滤波器,模拟,/,数字,滤波器变换,SZ,模拟,/,数字,滤波器变换,SZ,模拟低通,滤波器设计,14,在,Matlab,中提供了设计数字滤波器和模拟滤波器的函数（,Bessel,滤波器除外，它仅有模拟形式），包括低通、高通、带通、带阻形式等，如下表所示。对大多数滤波器来讲，都可以得到满足指标要求的最低阶次滤波器。,IIR DF,设计方法,函 数,模拟原型,1,）,完成设计的函数,besself,、,butter,、,cheby1,、,cheby2,、,ellip,2,）阶次估计函数,buttord,、,cheb1ord,、,cheb2ord,、,ellipord,3,）,低通模拟原型函数,besselap,、,buttap,、,cheb1ap,、,cheb2ap,、,ellipap,3,）频率转换函数,lp2lp,、,lp2hp,、,lp2bp,、,lp2bs,3,）滤波器离散化函数（模拟数字滤波器变换）,impinvar,（,冲激响应不变法,）,bilinear,（,双线性变换法,）,直接设计,Yulewalk,参数化模型,时域模型函数,lpc,、,prony,、,stmcp,频域模型函数,invfreqz,、,invfreqs,4.1.3 IIR DF,概述,：,设计方法,15,归一化频率,需要注意：,滤波器设计函数都是对,归一化频率,进行的。使用时不需要将系统取样频率作为额外的输入说明项。,在,Matlab,中，,数字滤波器,使用的单位频率是,奈奎斯特频率（定义为取样频率的一半）,，因此，归一化频率总是在区间,0,f,1,之内。,对于一个取样频率为,1000Hz,的系统，,300Hz,的归一化频率为,300/500 = 0.6,奈氏频率。,本章内容：,集中研究模拟原型法，遵循以下几个步骤：,所要求的数字滤波器指标；,设计性能,相似的模拟滤波器的系统函数,H,a,(S,),；,进行,滤波器变换,（由,s,平面,z,平面），得到,DF,的系统函数,H(z,）；,模拟,/,数字滤波器变换方法：,冲激响应不变法和双线性变换法,。也就是根据什么准则把,H,a,(s,),转换为,H(z,),。,(,重要,!,）,进行,数字频率变换,，从数字,低通,滤波器中得到其它类型的数字滤波器。,4.1.3 IIR DF,概述,：,设计方法,16,主题概述,1,-,绪论,2 -,离散时间信号和离散时间系统,3,-,离散傅里叶变换及其快速计算方法,4,IIR,数字滤波器设计和实现,4.1,),概述,4.2,),模拟滤波器设计,4.3),模拟滤波器的数字仿真,4.4,),冲激响应不变法,4.5),双线性变换法,4.6,),高通、带通和带阻,IIR DF,的设计,(,数字频率变换,),4.7) IIR,数字滤波器的计算机辅助设计,4.8) IIR,数字滤波器的实现结构,4.9) IIR,数字滤波器的应用,4.10),本章小结,5 ,FIR,数字滤波器设计和实现,6 ,数字信号处理中的有限字长效应,17,为什么要研究模拟滤波器？,DF,是数字信号处理中极为重要的应用，但,DF,是,近几十年,发展起来的，它在很多方面要使用,模拟滤波器,的概念和知识；,模拟滤波器本身也很有用。,因此，在研究,DF,之前，我们先讨论模拟滤波器的特性和,用逼近方法求其转移函数,。,为什么设计滤波器必须用逼近的方法？,这是由于滤波器的,理想特性是不能实现的,，而必须用逼近的方法。,4.2,模拟滤波器的设计,通带波动,过渡带,阻带衰减,0,p,s,|,H(j,)|,理想特性,18,理想滤波器,设一滤波器输入信号为,x(t,),，其输出为,y(t,),，,系统的单位冲激响应为,h(t,),。若,y(t,) =,kx(t,-t,d,),，,k,为常数，,则为理想滤波器,频率响应定义为：,4.2.1 AF,设计：,理想滤波器的频率响应,x(t,),y(t)=,kx(t,-t,d,),理想滤波,k,0,0,ArgH(j,)=-,t,d,相频特性,幅频特性,|,H(j,)|,p,19,4.2.1 AF,设计：,理想滤波器的频率响应,理想滤波器的特性,通带内输出、输入信号的幅度成正比，即,对所有频率分量的放大倍数是相同的,（这种特性称为全通）：,|,H(j,)| = k,线性相位：,argH(j,) = -,t,d,在阻带范围内,|,H(j,)| = 0,过渡带的宽度为,0,。,可实现性？,理想低通滤波器的冲激响应可以直接由它的频率响应进行傅立叶反变换得到。我们知道，矩形函数和,Sinc,函数是一对傅立叶变换。因此，理想低通滤波器的冲激响应为一个,Sinc(x,),函数，,具有无穷长的持续时间,。,在实际应用中，我们如何构建一个理想滤波器？也就是能否得到一个具有因果冲激响应的理想滤波器？,答案是否定的,。如果我们所要求的滤波器是因果的和实际可实现的，则它就不是理想的。,在离散时间系统中，有类似的理想数字滤波器定义。,20,分析证明,:,在因果系统中，,式中,P(),是,的偶函数，,Q(),是,的奇函数。,(1) |,H(j,)|,是,的偶函数,4.2.1 AF,设计：,理想滤波器的频率响应,频率响应的性质,在模拟滤波设计中,采用不同的多项式去,逼近,给定的滤波器幅度频率响应,然后由设计的幅度频率响应，,得到,模拟滤波器的系统函数,H(s,),。,如何由幅度频率响应求系统函数,H(s,),呢？,下面的频率响应的性质回答了这个问题。,21,4.2.1 AF,设计：,理想滤波器的频率响应,P,2,(),和,Q,2,(,),都是,的偶函数，故,|,H(j,)|,是,的偶函数,若要求稳定且因果，则, 将左半平面的极点作为,H,a,(s,),的极点；,若要求最小相位，则, 将左半平面的零点作为,H,a,(s,),的零点；,(,幅度平方函数,),S,平面的虚轴,j,，即,s=,j,，对应于傅里叶变换。,目的：,求模拟滤波器的系统函数,H,a,(s,),；,H,a,(s,),的构造：,性能指标,|H,a,(j,)|,2,|H(s)|,2,s=j,零、极点的分配,H,a,(s,),逼近多项式,22,(2),系统函数,H(s,),的确定,因为冲激响应,h(t,),是实函数的，因而,H(s,),的极点（或零点）必,成共轭对存在,。,H(s)H(-s,),的极、零点分布如图所示，,成象限对称,，虚轴上零点上的 “,2”,表示二阶零点。,H(s)H(-s,),在,虚轴上的极点或零点一定是二阶的,，但对于稳定系统，,H(s)H(-s,),在虚轴上没有极点。,4.2.1 AF,设计：,理想滤波器的频率响应,2,2,23,由幅度平方函数,|H(j)|,2,确定,H(s),的方法如下：,由,得到象限对称的,s,平面函数；,求零极点：,将,H(s)H(-s,),因式分解，得到各个零点和极点；,极点选择：,任何可实现的滤波器都是稳定的，因此将左半平面的极点归于,H(s,),，右半平面的极点归于,H(-s),；,零点选择：,如果要求最小相位延时特性，则,H(s,),应取左半平面上的零点；如果没有特性要求，则可将对称零点的任一半（,应为共轭对,）取为,H(s,),的零点；,j,轴上的零点或极点都是偶次的，其中一半（应为共轭对）属于,H(s,),；,增益：,按照,H(j,),和,H(s,),的低频特性的对比，即,H(j)|,=0,=,H(s)|,s,=0,，或高频特性的对比，确定系统的增益常数,K,0,；,由求出的,H(s,),的零点、极点和增益常数，确定系统函数,H(s,),。,4.2.1 AF,设计：,理想滤波器的频率响应,24,例,4.1,根据以下幅度平方函数确定系统函数,H(s,),解：,由于,|H(j)|,2,是非负有理函数，它在,j,轴上的零点是偶次的，所以满足幅度平方函数的条件，得,其极点为：,其零点为：,4.2.1 AF,设计：,理想滤波器的频率响应,25,为了系统稳定，选择： 左半平面极点,一对共轭零点,作为,H(s,),的零、极点，并设增益常数为,K,0,，则,H(s,),为：,按着,H(j,),和,H(s,),的低频特性或高频特性的对比可以确定增益常数。在这里我们采用低频特性，即由,H(j)|,=0,=,H(s)|,s,=0,的条件可得增益常数为：,K,0,= 2,最后得到,H(s,),为：,4.2.1 AF,设计：,理想滤波器的频率响应,26,s,p,0,0,|,H(j,)|,A,min,A,max,通带,过渡带,阻带,A,s,问题的提出：,滤波器的理想特性无法实现，只能是近似实现。,模拟滤波器的幅频特性,4.2.2 AF,设计：,模拟滤波器特性的逼近,27,4.2.2 AF,设计：,模拟滤波器特性的逼近,技术要求,LPF,的技术要求包括：,截止频率（或通带的频率上限）,p,通带内所允许的最大衰减或波动,p,阻带下限频率,s,阻带内所要求的最小衰减,s,28,注意：,这里只提到幅频特性而没有相位问题。因为数字滤波器的设计中用到的是模拟滤波器的幅频特性，而不考虑其相频特性或群时延。,如果对于相位有高要求，可通过全通滤波器来校正其相位。,4.2.2 AF,设计：,模拟滤波器特性的逼近,衰减特性,衰减特性,(,),是,单调变化,的或者是,波纹状变化,。假设,P,1,、,P,2,分别为滤波器输入、输出功率，则定义：,29,则有：,4.2.2 AF,设计：,模拟滤波器特性的逼近,特征函数,上式不易直接用多项式和有理式来逼近。因此，需要找一个能够用多项式或有理式逼近的函数，以,K(j,),表示，称之为,特征函数,。,30,4.2.2 AF,设计：,模拟滤波器特性的逼近,逼近方法,若给定了衰减,(,),或,|,H,d,(j,)|,，,则找某种方法逼近,(,),或,|,H,d,(j,)|,。,使,|k(j)|,2,等于一个以,2,为自变量的多项式或有理式。,由此，根据逼近函数（多项式或有理式）的不同，有多种不同类型的滤波器：,巴特沃思逼近,切比雪夫逼近,逆切比雪夫逼近,椭圆逼近,.,31,式中,c,和,a,1,.,a,N,都为常数。,以上式,|k(j)|,2,的形式来逼近,|H(j)|,2,，,以此方法导出的滤波器称为巴特沃思,Filter,。,N,为滤波器的阶数。,4.2.2 AF,设计：,模拟滤波器特性的逼近,巴特沃思逼近（最平响应逼近）,32,最平响应逼近,最平响应：,N,阶,Filter,在,=0,处，衰减特性及其第一阶到第,N-1,阶导数皆为,0,。即要求有：,于是在,=0,，有：,即,因此，,最平响应逼近的特征函数有：,4.2.2 AF,设计：,模拟滤波器特性的逼近,33,它使衰减,(,),在,=0,处最平，而,|k(j)|,2,又具有非常简单的表达式。,给定了,Filter,的技术要求，就可求出式中,c,和,N,。剩下的问题就是,H(s,),。,4.2.2 AF,设计：,模拟滤波器特性的逼近,34,式中,2,为一待定的常数，,N,为正整数。,切比雪夫,Filter,，,或者切比雪夫,I,型,Filter,（,通带内有等波纹特性）,4.2.2 AF,设计：,模拟滤波器特性的逼近,切比雪夫逼近,（,N,阶切比雪夫多项式,),35,逆切比雪夫,Filter,，或者切比雪夫,型,Filter (,阻带内有等波纹特性）,4.2.2 AF,设计：,模拟滤波器特性的逼近,逆切比雪夫逼近,另一种切比雪夫逼近,36,其中：,J(,),为雅可比函数（椭圆函数）,此类滤波器的通带、阻带内都有等波纹特性,4.2.2 AF,设计：,模拟滤波器特性的逼近,Cauer,逼近,37,目的,：,相应于特定的逼近方法，制定图表以,概括所有,的逼近结果，从而简化滤波器的设计。,优点,：,归一化后，,Filter,的计算方法不因频率的绝对高低而异，因此，归一化后的图表曲线都能,统一使用,。,例如,:,（,1,）,以,p,为参考频率，以,表示归一化频率。,（,2,）,以,p,为参考频率，以,表示归一化频率。,4.2.2 AF,设计：,模拟滤波器特性的逼近,归一化：,按某一特定频率,(,参考频率,),实施标称化,38,c,: 3dB,截止频率，,单位为,rad/s,N :,待确定的滤波器阶数,特点：,（,1,）,3dB,点及其不变性；,（,2,）单调下降性；,（,3,）最大平坦性；,N,越大，越逼近于理想低通滤波器,4.2.3 AF,设计：,巴特沃思滤波器,巴特沃思,(Butterworth),滤波器的幅度平方函数表达式为：,整个频带内幅度特性单调下降,s,c,A,p,0,|,H(j,)|,A,s,p,3dB,39,因此，称,c,为,3dB,带宽（或,半功率点,截止频率）,3dB,点与,N,值无关，称为,3dB,不变性。,3dB,带宽,4.2.3 AF,设计：,巴特沃思滤波器,c,1,0,|,H(j,)|,0.707,N=2,N=4,N=6,巴特沃思幅频特性和阶数的关系,40,最平坦函数,因此,B,型特性也称为最平坦特性,Filter,。,N,的影响,N,越大，,B,型滤波器的特性,越接近理想的矩行形状,(,越陡峭,),。,有限平面只有极点。,零点全部在,s=,。,（,“全极点型” 滤波器,）,4.2.3 AF,设计：,巴特沃思滤波器,c,1,0,|,H(j,)|,0.707,N=2,N=4,N=6,巴特沃思幅频特性和阶数的关系,41,设计过程,性能指标,求,滤波器阶数,N,；,性能指标,3dB,频率点,c,计算极点或查表,归一化系统函数,H(p,),；,计算或反归一化,系统函数,H(s,),；,LPF,技术要求包括：,通带频率,p,通带内衰减,A,p,3dB,阻带下限频率,s,阻带内最小衰减,A,s,4.2.3 AF,设计：,巴特沃思滤波器,42,4.2.3 AF,设计：,巴特沃思滤波器,由给定的通带指标,p,、,A,p,和阻带,s,、,A,s,，求得滤波器的阶数,N,：,LPF,技术要求包括：,通带频率,p,通带内最大衰减,A,p,阻带下限频率,s,阻带内最小衰减,A,s,滤波器阶数,43,4.2.3 AF,设计：,巴特沃思滤波器,如果给定的是其它频率处（例如,p,）的指标，则由下列公式,求得,3dB,截止频率,c,：,由此式确定的滤波器在阻带处正好满足设计要求。,由此式确定的滤波器通带截止频率处正好满足设计要求。,类似地，,也可以由阻带起始频率,s,处的衰减,As,求得,3dB,截止频率,c,：,得到滤波器阶数,N,后，由,A,p,或,A,s,求得,3dB,截止频率,c,由通带截止频率,p,处的衰减,A,p,求得,3dB,截止频率,c,：,44,求归一化系统函数,H(p,),得到了巴特沃思滤波器的阶数,N,后，就可以确定零极点形式的传输函数,H(s,),。,把拉普拉斯变量,s,归一化为,p =,s/,c,，则,4.2.3 AF,设计：,巴特沃思滤波器,45,令上式分母多项式等于零，得到,2N,个极点：,极点的分布特性,2N,个极点均匀地分布在,S,平面上半径为,1,的圆周上,(,非归一化时半径为,c,),；,极点之间相距,/N,弧度；,这些极点一半位于,S,平面的左半平面，另一半位于,S,平面的右半平面；,极点不落在虚轴上，从,/2 + /2N,弧度开始。,N,为奇数，实轴上有极点，,N,为偶数，实轴上无极点,4.2.3 AF,设计：,巴特沃思滤波器,46,求系统函数,H(s,),把,p=,s/,c,带入,H(p,),得到,实际需要的,H(s,),为：,为了使得系统稳定,，取,p,k,在,S,平面左半平面的,N,个根作为,H(p,),的极点，即：,4.2.3 AF,设计：,巴特沃思滤波器,47,图表法,模拟滤波器理论已相当成熟，实际中我们更多的是采用,查表法,，其设计步骤概括起来有以下几个方面：,将频率归一化,（注意：给出的表格都是以,3dB,点频率,c,为参考频率，如果给定的指标不是,c,，则需要根据前面的公式计算,c,）,；,由归一化频率,幅频特性曲线,(,见图,4.7),，查得阶数,N,；,查表,4.2,，得,H(p,),的分母多项式；,把,p=,s/,c,代入分母多项式中，得对应于真实频率的系统函数,H(s,),：,4.2.3 AF,设计：,巴特沃思滤波器,48,4.2.3 AF,设计：,巴特沃思滤波器,49,4.2.3 AF,设计：,巴特沃思滤波器,50,通带截止频率,:,通带最大衰减,阻带起始频率,:,阻带最小衰减,:,例,4.2,：,技术要求：,4.2.3 AF,设计：,巴特沃思滤波器,51,1),将各频率归一化,2),求,N,：查归一化幅频特性图,(,图,4.7),，得,N=5,；,3),查表,4.2,，得,H(p,),的分母多项式,(c,栏）,4),对应于真实频率的转移函数,H(s,),用,代入分母多项式，得,:,图表法,4.2.3 AF,设计：,巴特沃思滤波器,52,计算法,4.2.3 AF,设计：,巴特沃思滤波器,由,s,和,As,得滤波器的阶数为：,取整后，得,N=5,。,H(p)H(-p,),的极点为：,53,4.2.3 AF,设计：,巴特沃思滤波器,当,0k4,时，,p,k,的相角处于,/2,和,3/2,之间，,p,k,在,S,平面的左半,平面。取这些根作为,H(p,),的极点，系统是稳定的。,所以，,最后,54,n,Wn, =,buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s,),：求滤波器的阶数,1,）,Wp,，,通带截止频率；,Ws,，,阻带起始频率；,Rp,，,通带最大衰减；,Rs,，,阻带最小衰减；,在数字滤波器中，,wp,和,ws,在,01,之间，而在模拟滤波器中，,wp,和,ws,可以大于,1,。,2,）,n, Butterworth,模拟滤波器的阶数；,Wn,，,3dB,频率点。,z,p,k =,buttap(n,),：求归一化滤波器系统函数的零、极点和增益,1,）,n,，,Butterworth,低通原型滤波器的阶数；,2,）,z,，,Butterworth,低通原型滤波器的零点,，,z,是空矩阵（从,Butterworth,滤波器的定义可知，其分子多项式为,1,，,零点在,）,；,p,，,Butterworth,低通原型滤波器的极点；,k,，,Butterworth,低通原型滤波器的增益。,4.2.3 AF,设计：,巴特沃思滤波器,Butterworth LPF,的,Matlab,实现,55,例,4.3,Matlab,的实现例,4.2,% Butterworth analog low pass filter,Wp,=1; Ws=2;,Rp,=3;,Rs,=30;,N,Wn,=,buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s,),z,p,k=buttap(N),h,w = freqs(b,a,100);,mag = abs(h);,phase =,angle(h,);,subplot(2,1,1),plot(w,mag,);,xlabel(frequency,);,title(Magnitude,Part);,ylabel(Magnitude,),subplot(2,1,2),plot(w,phase,);,xlabel(frequency,);,title(Angle,Part);,ylabel(Radians,),N =,5,Wn =,1.0025,z =,p =,-0.3090 + 0.9511i,-0.3090 - 0.9511i,-0.8090 + 0.5878i,-0.8090 - 0.5878i,-1.0000,k =,1,4.2.3 AF,设计：,巴特沃思滤波器,56,Butterworth,模拟滤波器设计,4.2.3 AF,设计：,巴特沃思滤波器小结,特点：,（,1,）,3dB,点及其不变性；,（,2,）单调下降性；,（,3,）最大平坦性；,S,平面,s=,+j,整个频带内幅度特性单调下降,s,c,A,p,0,|,H(j,)|,A,s,p,3dB,57,4.2.3 AF,设计：,巴特沃思滤波器小结,B,型滤波器的缺点：,0,频率点附近幅度特性接近理想,3dB,频率处逼近特性不好,解决办法：,将指标精度均匀分布在通带内、阻带内或通带阻带内，即选择具有等波纹特性的逼近函数来实现。,分析：,将特征函数在,0,频率点处的,N,个过零点均匀分布在通带内，使幅度函数在通带内多处出现最大值,1,，以此改善通带总特性。,C,型滤波器具有这种特性。,58,目的：获取更为快速衰落的幅频特性,.,表示,|,H(j,)|,通带内波动范围,幅度平方函数,p,:,通带截止频率,4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器,Chebyshev,LPF,设计,s,p,0,|,H(j,)|,通带内等波纹波动,阻带内幅度特性单调下降,A,p,A,s,C,N,(,/,p,),是,N,阶切比雪夫函数或多项式,59,1,）,无论,N,为何值，都经过,2,）,通带内等波纹；通带外单调下降，下降速度高于同阶的,Butterworth,滤波器；,3）,1.0,0,|,H(j,)|,1.0,n,为偶数,(n=6),4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器,Chebyshev,LPF,特点,N,：过中间点的次数,N+1,：极值点的数量,1.0,0,|,H(j,)|,1.0,n,为奇数,(n=5),60,Chebyshev,多项式,由上式可知，切比雪夫滤波器的通带位于频率,0x1,范围内，而阻带位于,x1,范围内；,在通带内是等幅度波动的，,N,越大波动的次数越多；,在通带外是单调上升函数，,N,越大上升越快。,x,0,C,N,(x,),-1,1,1,N=3,N=2,N=4,N=5,N=2,N=3,N=4,N=5,4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器,当,x1,时，即当,x,从,1,开始无限增长时，,C,N,(x,),定义为,双曲余弦函数,cosh,的表达式，是无穷单调增加的。,利用迭代递归关系,，可以得到各阶切比雪夫函数的曲线。,61,Chebyshev,多项式的迭代关系,切比雪夫函数可以写成如下多项式的形式：,4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器,即,其中,则利用上述递归关系，得到更高阶的切比雪夫多项式：,C,N,(),是,的,N,阶多项式，其首项系数为,2,N-1,。,0,n=1,n=0,n=2,C,N,(x,),x,-1,1,1,-1,n=5,n=3,n=4,62,4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器,设计过程,性能指标, 求波动参数,；,性能指标, 求滤波器阶数,N,；,计算极点或查表, 归一化系统函数,H(p,),；,计算或反归一化, 系统函数,H(s,),；,由给定的通带指标,p,和,A,p,，求得通带内的参量,：,LPF,技术要求包括：,通带频率,p,通带内最大衰减,A,p,阻带下限频率,s,阻带内最小衰减,A,s,63,4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器,求滤波器的阶数,N,根据给定的滤波器器阻带起始频率,s,和阻带最小衰减,A,s,(dB),， 可得：,注意：上取整,64,求滤波器归一化系统函数,H(p,),确定了,和,N,后，,Chebyshev,LPF,传输函数,H(s,),：,4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器,将,H(s,),表示为归一化形式,H(p,),，令,p=,s/,p,，且令,H(p,),的分母多项式为零，得：,得,式中,65,4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器,如果令,，则,这是一个椭圆方程，这意味着由切比雪夫逼近得到的极点位于,S,平面的一个椭圆上。,由作图法确定切比雪夫滤波器的极点分布,:,(1),分别以半径为,a,p,和,b,p,画内外两个园；,(2),把两个园周按间隔,/N,等分，各有,2N,个点。,(2),这些点是虚轴对称的，且一定都不落在虚轴上。,N,为奇数时，有落在实轴上的点；,N,为偶数时，实轴上也没有；,(3),椭圆上每个极点的纵坐标（垂直）由外圆的相应点的垂直坐标确定，每个极点的横（水平）坐标由内圆的对应点的水平坐标确定。,1,）,2N,个极点分布在椭圆上；,2,）对称性；,3,）选择位于,s,左半平面的极点。,S,平面,a,p,b,p,66,为了系统稳定，选择位于,S,平面左平面的,p,k,作为,H(p,),的极点，并且考虑到切比雪夫多项式首项系数的特点，最后得：,4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器,其中,p,k,为实部小于零的极点 （对应左半平面）：,式中,2,与,k,只取正值，,k,0, 1, 2,., N-1,。,求滤波器系统函数,H(s,),67,4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器,查表法,归一化,p,s,;,查曲线,(,图,4.10),，确定滤波器的阶数,N;,查表（表,4.34.5,上部），得,查表,(,表,4.34.5),，得,H(P),分母多项式的因式形式，求得,H(p,),；,求得,注意：,这里的切比雪夫表格曲线，,没有特指,3dB,频率点,，即,w,p,可以是任意频率点（,0.2dB,、,1dB,、,3dB,）。,68,归一化频率,归一化频率,（,a,）通带波纹,0.2dB (b),通带波纹,1dB,|,H(j,)| (dB),|,H(j,)| (dB),4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器,69,|,H(j,)| (dB),归一化频率,（,c,）通带波纹,3dB,图,4.10,切比雪夫低通滤波器归一化的阻带幅频特性 （,n,为阶数，从,1,到,15,）,4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器,70,4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器,71,4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器,72,4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器,73,4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器,例,4.4,设计一个满足下列技术指标的低通切比雪夫滤波器，技术要求：通频带最高频率,f,p,=3MHz,，通带衰减要小于,0.1dB,，,阻带起始频率,f,s,=12MHz,，阻带内衰减要大于,60dB,。,(1),首先频率归一化,(2),求滤波器的阶数,N,及,74,(3),求,H(p,),由,p,k,表达式求得,p,k,，,代入上式得,(4),求,H(s,),4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器,75,例,4.5,：,设计一个模拟,chebyshev,滤波器，技术要求如下：,4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器,同样的性能指标,C,型滤波器所用的阶数比,B,型要小,76,(1),归一化,p,=1,s,=2,(2),查图,4.10,中曲线，得,N=4,；,(4),查表,4.5,栏,c,，得,H(p,),的分母多项式：,(5),求,H(s,),4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器,(3),根据,A,p,=3dB,，查表,4.5,，得,=0.99763,77,n,Wn, = cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s),：求滤波器的阶数,1,）,Wp,，,通带截止频率；,Ws,，,阻带起始频率；,Rp,，,通带最大衰减；,Rs,，,阻带最小衰减；,在数字滤波器中，,wp,和,ws,在,01,之间，而在模拟滤波器中，,wp,和,ws,可以大于,1,。,2,）,n,Chebyshev,模拟滤波器的阶数；,z,p,k = cheb1ap(n,Rp,),：求归一化滤波器系统函数的零、极点和增益,1,）,n,，,Chebyshev,低通原型滤波器的阶数；,Rp,，,通带最大衰减；,2,）,z,，,Chebyshev,低通原型滤波器的零点，是空矩阵,；,p,，,Chebyshev,低通原型滤波器的极点；,k,，,Chebyshev,低通原型滤波器的增益；,4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器,Chebyshev,LPF,的,Matlab,实现,78,4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器,例,4.6,用,Matlab,实现上述例,4.4,的切比雪夫,LPF,。,解：,Chebyshev,type I analog low pass filter,Wp,=1; Ws=4;,Rp,=0.1;,Rs,=60;,N,Wn,=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s),z,p,k=cheb1ap(N,Rp),ba = zp2sos(z,p,k),h,w = freqs(b,a,100);,mag = abs(h);,phase =,angle(h,);,subplot(2,1,1),plot(w,mag,);,xlabel(frequency,);,title(Magnitude,Part);,ylabel(Magnitude,),subplot(2,1,2),plot(w,phase,);,xlabel(frequency,);,title(Angle,Part);,ylabel(Radians,),N =,5,z =,p =,-0.1665 + 1.0804i,-0.4360 + 0.6677i,-0.5389 + 0.0000i,-0.4360 - 0.6677i,-0.1665 - 1.0804i,k =,0.4095,ba =,0.4611 0 0 1.0000 0.5389 0,0.5410 0 0 1.0000 0.8720 0.6359,1.6415 0 0 1.0000 0.3331 1.1949,79,例,4.7,实现上述例,4.5,所述的,LPF,技术指标。,%,Chebyshev,type I analog low pass filter,Wp,=1; Ws=2;,Rp,=3;,Rs,=30;,N,Wn,=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s),z,p,k=cheb1ap(N,Rp),ba = zp2sos(z,p,k),N =,4,z =,p =,-0.0852 + 0.9465i,-0.2056 + 0.3920i,-0.2056 - 0.3920i,-0.0852 - 0.9465i,k =,0.1253,ba =,0.7120 0 0 1.0000 0.4112 0.1960,0.1760 0 0 1.0000 0.1703 0.9031,从结果看，要达到指标需要,4,阶,Chebyshev I LPF,，同样的指标，,Butterworth,滤波器需要,5,阶。,4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器,80,Chebyshev,模拟滤波器设计,s,p,0,|,H(j,)|,通带内等波纹波动,阻带内幅度特性单调下降,A,p,A,s,4.2.4 AF,设计：,切比雪夫滤波器小结,S,平面,s=,+j,81,相同技术指标下实现阶数,N,：,Cauer,型最低。,相同阶数下,Butterworth,型实现最简单。,Chebyshev,型性能居中。,要根据具体要求综合考虑选择设计类型,Butterworth,，,Chebyshev,I,，,Chebyshev,II,，,Cauer,4.2.4 AF,设计：,模拟滤波器比较,82,4.2.5 AF,设计：,模拟滤波器频率变换,频率变换：,归一化低通滤波器的传输函数变换为一般的低通、高通、带通和带阻滤波器的传输函数；反之亦然。,频率变换函数,p=,q(s,),，（,q(s,),是,s,的有理函数,），把归一化低通滤波器传输函数,H,lp,(p,),映射为,所要求的,H,d,(s,),：,保持频率响应：,q(s,),必须使低通滤波器所在的,S,平面的,j,轴映射到要求的滤波器所在的,S,平面的,j,轴。,保持滤波器的稳定性：,低通滤波器所在的,S,平面的左半平面必须映射到要求的滤波器所在的,S,平面的左半平面。,83,|H,L,(j)|,p,-,p,|H,HP,(j)|,p,-,p,在,p,处相同的值,低通到高通变换：,|H,L,(j)|,p,-,p,|H,BP,(j)|,-,l,-,u,u,l,低通到带通变换：,|H,L,(j)|,p,-,p,|H,BS,(j)|,l,-,l,u,-,u,低通到带阻变换：,4.2.5 AF,设计：,模拟滤波器频率变换,84,参数的定义,p,：所要求滤波器的通带截止频率,p,2,和,W,p1,：所要求滤波器的通带上下截止频率,s,：,所要求滤波器的阻带起始频率,s2,和,W,s1,：,所要求滤波器的阻带上下截止频率,0,：滤波器的通带中心频率,：取决于滤波器类型的归一化参数,B,：滤波器的通带带宽,4.2.5 AF,设计：,模拟滤波器频率变换,85,滤波器类型,归一化低通滤波器,H,LP,(p,),的技术指标要求,要求的滤波器,H,d,(s,),低通低通,低通高通,低通带通,低通带阻,模拟滤波器的频率变换,4.2.5 AF,设计：,模拟滤波器频率变换,86,非几何对称型滤波器的频率转换,当所求带通或带阻滤波器的两个通带截止频率和两个阻带起始频率都关于中心频率,0,呈几何对称时，有：,由归一化低通滤波器频率转换得到的带通滤波器和带阻滤波器都是关于,0,呈几何对称的。,当不满足对称特性时，必须在满足设计指标的前提下，首先调整截止频率，以调整后的几何对称参数进行设计。,4.2.5 AF,设计：,模拟滤波器频率变换,87,非对称,带通滤波器,设计步骤,:,以通带中心频率,0,为基准，在满足最小阻带衰减要求的情况下，改变,阻带起始频率中,的一个，使非对称带通滤波器变成几何对称带通滤波器，步骤如下：,计算,0,2,p1,p2,计算 ，如果 ，用 代替,如果 ，计算 ，并用 代替,如果 ，选择,4.2.5 AF,设计：,模拟滤波器频率变换,s2,s1,p1,p2,0,88,非对称,带阻滤波器,设计步骤,:,以阻带中心频率,0,为基准，在满足通带衰减要求的情况下，改变,通带截止频率中,的一个，使非对称带阻滤波器变成几何对称带阻滤波器，步骤如下：,计算,0,2,s1,s2,计算 ，如果 ，用 代替,如果 ，计算 ，并用 代替,如果 ，选择,4.2.5 AF,设计：,模拟滤波器频率变换,s2,s1,p1,p2,0,89,用频率变换法设计模拟滤波器的步骤,:,确定低通、高通、带通、带阻模拟滤波器的技术要求，（若带通、带阻是非几何对称时，要首先作参数调整，使其呈对称）；,根据参数表确定归一化低通滤波器的技术指标：通带截止频率,p,，阻带起始频率,s,，阻带衰减,A,p,(dB,),，阻带衰减,A,s,(dB,),；,根据上述四个技术指标，用巴特沃思、切比雪夫或椭圆逼近法来设计归一化低通滤波器；,查变换关系表得到要求的非归一化模拟滤波器。,4.2.5 AF,设计：,模拟滤波器频率变换,90,4.2.5 AF,设计：,模拟滤波器频率变换,例,4.8,设计一个巴特沃思带阻滤波器，其性能指标要求如下：阻带的起始频率和截止频率分别为,3.8MHz,和,4.8MHz,，阻带最小衰减为,20dB,；通带的起始频率和截止频率分别为,3.1MHz,和,5.5MHz,，通带内最大衰减为,3dB,。,解：,首先确定所要求的带阻滤波器是否是几何对称的。,因为,p1,p2, ,s1,s2,，而且设计的是带阻滤波器，所以需要调整这个带阻滤波器的通带起始频率或截止频率。,因为,91,4.2.5 AF,设计：,模拟滤波器频率变换,用,值代替,值，即令,根据表,4.6,中间栏的变换关系式，将上述给定的带阻滤波器指标要求转化为相应的归一化低通技术要求，有,根据上面的技术要求，可以采用查表法或计算法来设计归一化的巴特沃思低通滤波器，这里采用计算法。,由式子,(4.9),得滤波器的阶数为：,取整后，得,N=3,。,92,H(p)H(-p,),的极点为：,4.2.5 AF,设计：,模拟滤波器频率变换,所以，低通滤波器的归一化传输函数,H,LP,(p,),为：,93,所以，根据表,4.6,最右边栏的变换关系式，把归一化低通滤波器变成所要求的带阻滤波器的传输函数,H,BP,(s,),：,4.2.5 AF,设计：,模拟滤波器频率变换,94,频率变换的,Matlab,实现,低通到高通的频率变换,bt,at, = lp2hp(b,a,Wo),此高通滤波器的截止频率为,W,0,。,低通到带通的频率变换,bt,at, = lp2bp(b,a,Wo,Bw),此带通滤波器的中心频率和带宽分别为,W0,、,Bw,。当滤波器通带的下截止频率为,1,，上截止频率为,2,时，,W0 = sqrt(1*2),，,Bw,= 2 1,。,低通到带阻的频率变换,bt,at, = lp2bs(b,a,Wo,Bw),此带通滤波器的中心频率和带宽分别为,W0,、,Bw,。当滤波器通带的下截止频率为,1,，上截止频率为,2,时，,W0 = sqrt(1*2),，,Bw,= 2 1,。,在上述的三个模拟滤波器频率变换中，,b,、,a,都是按降序排列的传输函数的分子分母多项式的系数：,4.2.5 AF,设计：,模拟滤波器频率变换,95,主题概述,1,-,绪论,2 -,离散时间信号和离散时间系统,3,-,离散傅里叶变换及其快速计算方法,4,IIR,数字滤波器设计和实现,4.1,),概述,4.2,),模拟滤波器设计,4.3),模拟滤波器的数字仿真,4.4,),冲激响应不变法,4.5),双线性变换法,4.6,),高通、带通和带阻,IIR DF,的设计,(,数字频率变换,),4.7) IIR,数字滤波器的计算机辅助设计,4.8) IIR,数字滤波器的实现结构,4.9) IIR,数字滤波器的应用,4.10),本章小结,5 ,FIR,数字滤波器设计和实现,6 ,数字信号处理中的有限字长效应,96,根据要保留的模拟和数字滤波器的特性不同。主要有以