第四节随机变量的相关系数和相关性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节、随机变量的相关系数和相关性,1,一、协方差和相关系数的概念及其性质,1,、协方差和相关性的定义,(1),协方差 随机变量,X,和,Y,的协方差定义为,特别，,cov(,X,X,)=D,X,；,(2),相关系数 随机变量,X,和,Y,的相关系数定义为,2,其中,2,、协方差的性质,若和独立，则,cov(,X,Y,)=0,（反之未必）；特别，,对于任意常数,C,，,连续,连续,3,(2),对称性：,cov(,X,Y,)=cov(,Y,X,),；,(3),对于任意实数,a,和,b,，有,(4),对于任意随机变量,X,Y,Z,，有,(5),对于任意随机变量,X,和,Y,有,4,(6),对于任意随机变量,X,和,Y,有,特别，若,cov(,X,Y,)=0,，则,3,、相关系数的性质,相关系数,的如下三条基本性质，,充分说明它可以做随机变量之间关系密切程度的度量，,从而决定了它的重要应用,(1),11,；,(2),若随机变量,X,和,Y,相互独立,则相关系数,等于,0,，,反之未必，但是当,X,和,Y,的联合分布为二元正态分布时,“,相关系数,=0”,与“,X,和,Y,独立”等价,5,(3),相关系数,的绝对值等于,1,的充分必要条件,是变量,X,和,Y,（以概率）互相为线性函数：,确切地说，若,其中“,”,应取与,的符号一致的符号,例,4.25,假设随机向量,(,X,Y,),服从参数为,的二元正态分布，求,X,和,Y,的相关系数,r,6,解,由于,故只需计算,X,和,Y,的协方差和相关系数设变量,则由,E,U,=E,V,=0,D,U,=D,V,=1,，有,7,8,于是，,X,和,Y,的相关系数,这样，二元正态分布的,5,个参数都有了明确的意义：,其中,是,X,和,Y,的相关系数,例,4.26,假设随机向量,(,X,Y,),在以点,(0,1)(1,0)(1,1),为,顶点的三角形区域上服从均匀分布试求随机变,量,Z=X+Y,的方差,9,1,y,G,1,O,x+y,1,x+y=,1,x+y,1,图,4.3,例,4.26,插图,x,解,G=(,x,y,):0,x,1,0,y,1,x+y,1,是以点,(0,1)(1,0)(1,1),为,顶点的三角形区域，其面积等,于,1/2,随机向量,(,X,Y,),的概率,密度为,设,f,1,(,x,),为随机变量,X,的概率密度，则当,x,1,时,f,1,(,x,),=0,；,当,0,x,1,时,有,10,因此,随机变量,X,的概率密度和数字特征为：,同理可得,:E,Y,=2/3,D,Y,=1/18,现在求,cov(,X,Y,)=E,XY,E,X,E,Y,：,11,12,二、随机变量的相关性,1、相关性的定义,假设随机变量,X,和,Y,的相关系数,存在,1)、如果,= 0，,则称,X,和,Y,不相关,，否则称,X,和,Y,相关,2)、如果, 0，,则称,X,和,Y,正相关,；如果,0，,有,因此,X,与|,X,|,不独立,16,3、二变量独立性与不相关性等价的条件,若,X,和,Y,的联合分布是二元正态分布，则,X,和,Y,独立的充,分和必要条件是它们的相关系数等于,=0,(2),若随机变量,X,和,Y,联合分布是二元正态分布，则,X,和,Y,都,服从正态分布但是，只有当,X,和,Y,相互独立时，才能保,证它们的联合分布是二元正态分布换句话说，即便,X,和,Y,都服从正态分布（甚至,X,和,Y,的相关系数等于0），它们,的联合分布也未必是二元正态分布,17,