历史上的三次数学危机

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,历史上的三次数学危机,前言,一、第一次数学危机,1,、危机的起因,2,、危机的实质,3,、危机的解决,二、第二次数学危机,1,、危机的引发,2,、危机的实质,3,、危机的解决,三、第三次数学危机,1,“,数学基础,”,的曙光,集合论,2,算术的集合论基础,3, 罗素的,“,集合论悖论,”,引发危机,4, 危机的消除,四、 三次数学危机与,“,无穷,”,的联系,1,前 言,历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折也可以叫做,危机,。危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是,数学的基本部分,受到质疑。实际上，也恰恰是这,三次危机，引发了数学上的三次思想解放,，大大推动了数学科学的发展。,2,一,.,第一次数学危机,1.,危机的起因,：,第一次数学危机是由 不 能写成两个整数之比引发的。,毕达哥拉斯（约公元前,580-,前,500,）,古希腊哲学家、数学家、天文学家,3,1.,这一危机发生在公元前,5,世纪，危机,来源于：当时认为所有的数都能表示为整,数比，但突然发现 不能表为整数比。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的,.,2.,危机的实质： 是无理数，全体整数之比构成的是有理数系，有理数系需要扩充，需要添加无理数,.,4,当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危机。他采用了一个十分巧妙的关于,“,两个量之比,”,的新说法，回避了 是无理数的实质，而是用几何的方法去处理,不可公度比,。这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧几里得的,几何原本,中也采用了这一说法，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数学的基础。,5,3.,危机的解决,但是彻底解决这一危机是在,19,世纪，依赖于数系的扩张。直到人类认识了实数系，这次危机才算彻底解决，这已经是两千多年以后的事情了。,6,二,.,第二次数学危机,第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿,“,无穷小量,”,说法的质疑引起的。,7,1,危机的引发,1,）牛顿的,“,无穷小,”,牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。,微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻的,瞬时速度,。在牛顿之前，只能求一段时间内的,平均速度,，无法求某一时刻的瞬时速度,。,8,例如，设自由落体在时间 下落的距离为 ，有公式 ，其中 是固定的重力加速度。我们要求物体在 的瞬时速度，先求 。, （*）,9,当 变成无穷小时，右端的 也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是 ，这就是物体在 时的瞬时速度，它是两个无穷小之比。,牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭到责难。,10,2,）贝克莱的发难,英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。,贝克莱问道：,“,无穷小,”,作为一个量，究竟是不是,0,？,11,如果是,0,，上式左端当 成无穷小后分母为,0,，就没有意义了。如果不是,0,，上式右端的 就不能任意去掉。,在推出上式时，假定了 才能做除法，所以上式的成立是以 为前提的。那么，为什么又可以让 而求得瞬时速度呢？,因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从,出发，两端同除以,0,，得出,5=3,一样的荒谬。,（*）,12,贝克莱还讽刺挖苦说：即然 和 都变成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是,0,，又不是非,0,，那它一定是“量的鬼魂”了。,这就是著名的“贝克莱悖论”。,对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的，但是，,13,贝克莱的质问是击中要害的,数学家在将近,200,年的时间里，不能彻底反驳贝克莱的责难。,直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克莱的责难。,直至魏尔斯特拉斯创立“ ”语言，才彻底地反驳了贝克莱的责难。,14,3,）实践是检验真理的唯一标准,应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其他数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。”,15,2,危机的实质,第一次数学危机的实质是 “ 不是有理数，而是无理数”。那么第二次数学危机的实质是什么？应该说，是,极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。,也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。,16,其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说法本身就是不明确的，是含糊的。,当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓,“最终的比”,，就是分子、分母要成为,0,还不是,0,时的比,例如（*）式中的,gt,，它不是,“最终的量的比”,，而是,“比所趋近的极限”,。,17,他这里虽然提出和使用了“极限”这个词，但并没有明确说清这个词的意思。,德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，但是也没有明确给出极限的定义。,正因为如此，此后近二百年间的数学家，都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。,18,所以，由“无穷小”引发的第二次数学危机，,实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基础。,19,牛顿,（英，,1642-1727,）,莱布尼茨,（德，,1646-1716,）,20,3,危机的解决,1,）必要性,微积分虽然在发展，但微积分的逻辑基础上存在的问题是那样明显，这毕竟是数学家的一块心病。,21,而且，随着时间的推移，研究范围的扩大，类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级数的时候，做出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。由于没有严格的极限理论作为基础。数学家们在有限与无限之间任意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。,22,因此，进入,19,世纪时，一方面微积分,取得的成就超出人们的预料，另一方面,大量的数学理论没有正确、牢固的逻辑基,础，因此不能保证数学结论是正确无误的。,历史要求为微积分学说奠基。,23,2,）严格的极限理论的建立,到,19,世纪，一批杰出数学家辛勤、,天才的工作，终于逐步建立了严格的极限,理论，并把它作为微积分的基础。,应该指出，严格的极限理论的建立是,逐步的、漫长的。,24, 在,18,世纪时，人们已经建立了极限理论，但那是初步的、粗糙的。, 达朗贝尔在,1754,年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能提供这样的理论。,19,世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格的论证引入数学分析，他写的,无穷的悖论,一书中包含许多真知灼见。,25, 而做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是,法国数学家柯西,（,A.L.Cauchy,17891857,）,。他在,18211823,年间出版的,分析教程,和,无穷小计算讲义,是数学史上划时代的著作。他对极限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，已与我们现在教科书上的差不太多了。,26,柯西,（法，,1789-1857,）,波尔查诺,（捷，,1781-1848,）,27,3,）严格的实数理论的建立, 对以往理论的再认识,后来的一些发现，使人们认识到，极限理论的进一步严格化，需要实数理论的严格化。微积分或者说数学分析，是在实数范围内研究的。但是，下边两件事，表明极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。,28,一件事是，,1874,年,德国数学家魏尔斯特拉斯,（,K.T.W.Weirstrass,，,18151897,）构造了一个,“点点连续而点点不可导的函数”,。,“连续函数”在直观上是“函数曲线没有间断，连在一起”，而“函数在一点可导”直观上是“函数曲线在该点有切线”。所以，在直观上“连续”与“可导”有密切的联系。,这之前甚至有人还证明过：函数在连续点上都可导（当然是错误的）。因此根本不可想象，还会有“点点连续而点点不可导的函数”。,29,魏尔斯特拉斯,德意志帝国,数学家。,1815,年,10,月,31,日生于威斯特法伦州的奥斯滕费尔德，,1897,年,2,月,19,日卒于,柏林,。,1834,年入,波恩大学,学习法律和财政。,1838,年转学,数学,。,1842,1856,年，先后在几所中学任教。,1854,年,3,月,31,日获得哥尼斯堡大学名誉博士学位。,1856,年,10,月受聘为柏林大学助理教授，同年成为柏林科学院成员，,1864,年升为教授。,魏尔斯特拉斯,(,德，,1815,1897),30,魏尔斯特拉斯 关于,“点点连续而点点不可导的函数”,的例子是,其中 是奇数， ，,使 。,31,另一件事是德国数学家黎曼（,B.Riemann,，,18261866,）发现，柯西把定积分限制于连续函数是没有必要的。,黎曼证明了，被积函数不连续，其定积分也可能存在。,32,黎曼还造出一个函数，当自变量取无理数时它是连续的，当自变量取有理数时它是不连续的。,33,黎曼,1826,年,9,月,17,日,，黎曼生于,德国,北部,汉诺威,的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上学，,14,岁进入大学预科学习，,19,岁按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学，,1847,年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生。,1849,年重回哥,廷根,大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。,黎曼（德，,1826-1866,）,34,这些例子使数学家们越来越明,白，在为分析建立一个完善的基础,方面，还需要再前进一步：即,需要,理解和阐明实数系的更深刻的性质。,35, 魏尔斯特拉斯的贡献,德国数学家魏尔斯特拉斯（,Karl,Weierstrass,，,18151897,）,的努力，终于使,分析学从完全依靠运动学、直观理解和几何概,念中解放出来。他的成功产生了深远的影响，,主要表现在两方面，,一方面是建立了实数系，,另一方面是创造了精确的“ ”语言。,36,“ ”语言的成功，表现在：,这一语言给出极限的准确描述，消除,了历史上各种模糊的用语，诸如“最终,比”、“无限地趋近于”，等等。,这样一来，分析中的所有基本概念都,可以通过实数和它们的基本运算和关系精,确地表述出来。,37,4,）极限的“ ”定义及“贝克莱悖,论” 的消除, 极限的“ ”定义,38,定义：设函数 在 的附近都有定,义，如果有一个确定的实数 （,无论多,么小的正数,）。,都 （,都能找到一个正数 ，依赖,于,），使当 时（,满足不等式,的所有不等于 的,），有,（,这些 对应的函数值,与 的差小于预先给定的任意小的,）我们就,说“函数 在 趋近于 时，有极限 ” 。,记为,。,39,由极限的这个 “ ”定义，可以求,出一些基本的极限，并严格地建立一整套,丰富的极限理论。简单说，例如有,两个相等的函数，取极限后仍相等；,两个函数，代数和的极限等于极限的代数和。,等等。,由此再建立严格的微积分理论。,40, “贝克莱悖论”的消除,回到牛顿的（*）式上：,（*）,这是在 （即 ）条件下，得到的等式；它表明 时间内物体的平均速度为 。（*）式两边都是,t,的函数。然后，我们把物体在 时刻的瞬时速度定义为：上述平均速度当 趋于,0,时的极限，即,物体在 时刻的瞬时速度,=,。,41,下边我们对（*）式的等号两边同时取,极限 ，根据“两个相等的函数取极,限后仍相等”，得,瞬时速度,=,再根据“两个函数和的极限等于极限的,和”，得,然后再求极限得,42,上述过程所得结论与牛顿原先的结论,是一样的，但每一步都有了严格的逻辑基,础。“贝克莱悖论”的焦点,“无穷小量 是,不是,0,？”,，在这里给出了明确的回答：,。,这里也没有“最终比”或“无限趋近于”,那样含糊不清的说法。,43,总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论的基础。魏尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了实数系，建立了严格的实数理论，使之成为极限理论的基础。所以，,建立数学分析（或者说微积分）基础的“逻辑顺序”是：,实数理论,极限理论,微积分。,而“历史顺序”则正好相反。,44,知识的,逻辑顺序,与,历史顺序,有时是,不同,的,.,45,三、第三次数学危机,1,“数学基础”的曙光,集合论,到,19,世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？正在这时，,19,世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。,46,其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成的图形为对象。同时，用集合论的语言，算术的对象可说成是“以整数、分数等组成的,集合,”；微积分的对象可说成是“以函数等组成的,集合,”；几何的对象可说成是“以点、线、面等组成的,集合,”。这样一来，,都是以集合为对象,了。,集合成了更基本的概念。,47,于是，集合论似乎给数学家带来了曙光：可能会一劳永逸地摆脱“数学基础”的危机。尽管集合论自身的相容性尚未证明，但许多人认为这只是时间问题。庞加莱（,(Jules Henri,Poincar,，法，,1854-1912,）甚至在,1900,年巴黎国际数学家大会上宣称：“现在我们可以说，完全的严格性已经达到了！”,48,2,算术的集合论基础,1,）人们按下列逻辑顺序把全部数学的基,础归结为算术，即归结为非负整数，即自然数,集合加上,0,现在我国中小学就把这一集合,称为自然数集合。,（算术）非负整数,n,有理数,实数 复数 图形,49,因此，全部数学似乎都可归结为非负整数了，或者说，,全部数学都可以归结为算术了。,这样，如果能把算术建立在集合论的基础上，就相当于解决了整个“数学基础”的问题。,法国数学家、数理逻辑先驱,弗雷格,（,G.Frege,18481925,）,就做了这样的工作。他写了一本名叫,算术基础,的书。,50,弗雷格,（法,18481925,）,算术基础,51,2),弗雷格的,算术基础,为了使算术建立在集合论的基础上，所有,的非负整数，都需要用集合论的观点和语言,重新定义。,首先从,0,说起。,0,是什么？,应当先回答,0,是什么，然后才有表示“,0”,的符号。,52,为此，先定义“,空集,”。空集是“不含元,素的集合”。例如，“ 方程 在实,数集中的根的集合 ”就是一个空集，再例,如“由最大的正整数组成的集合”也是一个,空集。,53,所有的空集放在一起，作成一个集合的集合,，（为说话简单我们把“集合的集合”称作类），这个类，就可以给它一个符号：,0,，中国人念“,ling”,，,英国人念“,Zero”,。,空集是空的，但由所有空集组成的类，它本身却是一个元素了，即，,0,是一个元素了。由它再作成一个集合,0,，则不是空集了。,54,弗雷格再定义两个集合间的,双射,：既是满射又是单射的映射叫作双射，也称,可逆映射,；通俗地说，就是存在逆映射的映射。它可以在两个集合间来回地映射，所以一般称为“双射”。,弗雷格再定义,两个集合的“等价”,：,，,能够在其间建立双射的两个集合,A,、,B,称为“等价”。,55,下边可以定义“,1”,了。把,与集合,0,等价的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。这个类，就可以给它一个符号：,1,。,再定义“,2”,。把,与集合,0,，,1,等价的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。这个类，就叫：,2,。,然后，把,与,0,，,1,，,2,等价的集合作成的类，叫：,3,。,56,一般地，在有了,0,，,1,，,2,，,，,n,的,定义后，就把所有,与集合,0,，,1,，,2,，,，,n,等价的集合放在一起，作成集合的集,合，这样的类，定义为：,n+1,。,这种定义概念的方法，叫作,“归纳定,义”,的方法。,57,这样，弗雷格就,从空集出发，而仅仅,用到,集合,及,集合等价,的概念,，把全部非负,整数定义出来了。于是根据上边说的“可,以把全部数学归结为非负整数”，就可以,说，,全部数学可以建立在集合论的基础上,了。,58,3, 罗素的“集合论悖论”引发危机,1,） 悖论引起震憾和危机,正当弗雷格即将出版他的,算术基,础,一书的时候，罗素的集合论悖论出来,了。这也是庞加莱宣布“完全严格的数学,已经建立起来！”之后刚刚两年，即,1902,年。,59,伯特兰,罗素（,1872-1970,）,Russell, Bertrand Arthur,William(Third,Earl Russell),学科成就：,英国著名,哲学家,、,数学家,、逻辑学家，分析学的主要创始人，世界和平运动的倡导者和组织者。,所获奖项,：,1950,年诺贝尔文学奖。,颁奖词：,当代理性和人道的最杰出的代言人之一，西方自由言论和自由思想的无畏斗士。,罗素,（,英，,1872-1970,）,60,集合论中居然有逻辑上的矛盾！,倾刻之间，算术的基础动摇了，整个,数学的基础似乎也动摇了。这一动摇所带,来的震憾是空前的。许多原先为集合论兴,高采烈的数学家发出哀叹：我们的数学就,是建立在这样的基础上的吗？,罗素悖论引发的危机，就称为第三次,数学危机。,61,罗素把他发现的悖论写信告诉弗雷,格。弗雷格在他的,算术基础,一书的末,尾无可奈何地写道：,“一个科学家遇到的,最不愉快的事莫过于，当他的工作完成,时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，罗,素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬境,地。”,62,2,） 罗素悖论,在叙述罗素悖论之前,我们先注意到,下边的事实：一个集合或者是它本身的成,员,(,元素,),或者不是它本身的成员,(,元素,),，,两者必居其一。罗素把前者称为,“异常集,合”,，把后者称为,“正常集合”,。,63,例如,所有抽象概念的集合，本身还是抽象概念。即，它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合”。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是这一集合本身的元素，所以是“正常集合”。,再例如，所有集合的集合，本身还是集合，即，它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合”。但是，所有星星的集合不是星星，即，它不是这一集合本身的元素，所以是“正常集合”。,64,罗素当年的例子,“,异常集合,”,1,：,不多于,29,个字母表达的句子所构成的集合,（这一集合的定义是,“,不多于,29,个字母表达的句子,”,，它是这一集合本身的成员）,“,异常集合,”,2,：,不是麻雀的东西所构成的集合,（,“,不是麻雀的东西所构成的集合,”,肯定不是麻雀，所以它是这一集合本身的成员）,65,罗素悖论是：,以 表示“是其本身成员的,所有集合的集合”（所有异常集合的集合），,而以 表示“不是它本身成员的所有集合的集,合”（所有正常集合的集合），于是任一集合,或者属于 ，或者属于 ，两者必居其一，且,只居其一。然后问：集合 是否是它本身的,成员？（集合 是否是异常集合？）,66,如果 是它本身的成员，则按 及 的定,义， 是 的成员，而不是 的成员，即 不,是它本身的成员，这与假设矛盾。即,如果 不是它本身的成员，则按 及,的定义， 是 的成员，而不是 的成员，即,是它本身的成员，这又与假设矛盾。即,悖论在于：,无论哪一种情况，都得出矛盾。,67,罗素悖论的通俗化,“,理发师悖论”,：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？,如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮脸的，按宣称的原则，理发师应该给他自己刮脸，这又与假设矛盾。,68,4, 危机的消除,危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可能。,人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同时，尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。,69,这种选择的理由是，原有的康托集合论虽然简明，但并不是建立在明晰的公理基础之上的，这就留下了解决问题的余地。,罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征（悖论的实质）是,“自我指谓”,。即，,一个待定义的概念，用了包含该概念在内的一些概念来定义,，造成恶性循环。,例如，悖论中定义“不属于自身的集合”时，涉及到“自身”这个待定义的对象。,70,为了消除悖论，数学家们要将康托,“朴素的集合论”加以公理化；并且规定构,造集合的原则，例如，不允许出现“所有,集合的集合”、“一切属于自身的集合”这,样的集合。,71,1908,年，策梅洛（,E.F.F.Zermelo,18711953,）,提出了由,7,条公理组成的集合论体系，称为,Z-,系统。,1922,年，弗兰克（,A.A.Fraenkel,）又加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的,ZF-,系统。再后来，还有改进的,ZFC-,系统。,这样，大体完成了,由朴素集合论到公理集合论的发展过程，悖论消除了。,72,但是，新的系统的相容性尚未证明。因此，庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久，形象地评论道：,“为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼”。,这就是说，第三次数学危机的解决，并不是完全令人满意的。,73,四、 三次数学危机与“无穷”的联系,我们过去就说过，无穷与有穷有本质,的区别。,现在我们可以总结说，三次数学危机,都与无穷有关，也与人们对无穷的认识有,关。,74,第一次数学危机的要害是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数，它可以看成是无穷个有理数组成的数列的极限。,由于当时尚未真正认识无穷，所以那时对第一次数学危机的解决并不彻底；第一次数学危机的彻底解决，是在危机产生二千年后的,19,世纪，建立了极限理论和实数理论之后。实际上，它差不多是与第二次数学危机同时才被彻底解决的。,75,第二次数学危机的要害，是极限理论的逻辑基础不完善，而极限正是“有穷过渡到无穷”的重要手段。贝克莱的责难，也集中在“无穷小量”上。,由于无穷与有穷有本质的区别，所以，极限的严格定义，极限的存在性，无穷级数的收敛性，这样一些理论问题就显得特别重要。,76,第三次数学危机的要害，是“所有不属于自身的集合”这样界定集合的说法有毛病。而且这里可能涉及到无穷多个集合，人们犯了“自我指谓”、“恶性循环”的错误。,以上事实告诉我们，由于人们习惯于有穷，习惯于有穷情况下的思维，所以,一旦遇到无穷时，要格外地小心；而高等数学则是经常与无穷打交道的。,77,