第五节泊松过程

单击此处编辑母版标题样式a,单击此处编辑母版文本样式a,第二级a,第三级a,第四级a,第五级a,*,第五节 泊松过程,泊松过程,最简单的事件流泊松流,泊松流的性质,1,1 泊松过程,泊松过程是一种恒定增长率的纯增过程。,k,=,k,=0,泊松过程是一种计数过程，例如对到达的顾客进行计数。,各个状态的增长率是稳定的，说明顾客到达的事件流是平稳的,0,1,2,3,4,5,n,2,1 泊松过程,考察t时间内状态数增长k的概率，也就是状态从i转移到i+k的概率：,用,p,i,i+k,(,t,)表示t时间后状态增长了k的概率,设,建立方程组（利用K氏前向方程 ）,3,1 泊松过程,求解得：,4,1 泊松过程,p,i,i,(0)=1，0时间内系统中顾客数增长0个,p,i,i+,k,(t)表示,t,时间后系统中顾客数增加了,k,个的概率，也就是在t时间内到达了,k,个顾客的概率,0,X,(,t,),time,i,ik,5,1 泊松过程 独立增量,用,P,k,(,t,)表示在长度为t的时间段内发生,k,个事件的概率，则,这就是泊松分布。,两个变量：k 事件个数,t 时间长度,6,1 泊松过程,t时间内，平均发生的事件数是多少？,7,2 泊松流,随机事件流,通常把在随机时刻出现的事件序列称为随机事件流。,泊松流,如果事件发生的个数为泊松过程的增长规律，则此事件流为泊松流，,为泊松流的强度,时间,8,2 泊松流,泊松流最简单事件流，特点为,平稳性。在任何一段长度为t的时间区间内，出现任意数量事件的概率只与t有关，而与t所处的位置（或与起始时刻）无关。记,为平稳流的强度。,无后效性（又称无记忆性或者马氏性）。在互不相交的两时间区间T1、T2内所出现的事件数是相互独立的。,普通性,。,在同一瞬间，多于一个顾客出现的概率（或同时到达系统有两个或两个以上顾客的概率）可忽略不计。,9,2 泊松流,普通性：,考察泊松流中，极短时间t内到达k个顾客的概率：,10,3 泊松流的性质,负指数分布与泊松流的密切关系,随机时间到达的间隔时间相互独立且服从同一参数为的负指数分布，则这样的随机事件流就是泊松流，强度为,定理5.1 设,1,2, ,k,表示相继到达的随机事件的间隔时间，假定它们服从同一负指数分布，参数为，则在(0,t时间内到达的随机事件数N(t)服从泊松分布，即：,11,3 泊松流的性质,推论,若服务台一直忙，服务时间服从参数为,的负指数分布，则服务台输出的顾客流是参数,的泊松流,定理5.2,如果某随机事件流是泊松流，则随机事件相继出现的间隔时间彼此独立，且服从同一负指数分布。,12,3 泊松流的性质,泊松流的合成与分解,定理5.3,设N,1,(t)与N,2,(t)分别是参数为,1,与,2,的泊松流，且,N,1,(t)与N,2,(t)相互独立，则合成流N,1,(t)+N,2,(t)是参数为,1,+,2,的泊松流,1,2,1,+,2,13,3 泊松流的性质,定理5.4,设某事件流N(t) 是参数为,的泊松流，每一到达的事件以概率,p,进入系统，设X(t)表示进入系统的事件流，则X(t)是参数为,p,的泊松流,p,(1-,p,),14,4 电话交换台例题,考察某电话交换台，用户在随机时刻0t,1,t,2,=2是相互独立且负指数分布，参数为,。用,n,表示第n个呼唤的持续时间（或服务时间），它们是相互独立且具有参数为,的负指数分布。,又设有M条或无穷多条线可供利用。这样，在后一种情形，所有呼唤到来即被接通，对前一种情形，若呼唤到达时，系统中已有n个呼叫正在进行，则假定n=M，因M条外线已被占用，则新到达的呼唤必须排队等到其中一条线路空出为止，并且所有线路只有一个队列。讨论线路的利用情况,15,4 电话交换台例题,分析：,用X(t)表示t时刻系统中存在的呼叫数量,由于输入的间隔时间为负指数分布，输入是泊松流，所以系统在足够短的时间之内最多有一个新的呼唤呼入。,由于系统的服务时间为负指数分布，所以非常短时间内最多有一个呼唤释放，两个呼唤同时释放的概率是o(,t),。,因此这是一个生灭过程。,16,4 电话交换台例题,第一步，先求出系统状态转移强度。,第二步，将增长率和消亡率带入到生灭过程求平稳分布的公式。,第三步，求解平稳分布。,17,