第四章相似理论

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第 五 章,工程研究方法,了解相似理论的基本概念和基本方法，掌握相似准数的导出方法,学习物理模型研究方法,1,1,基 本 概 念,一、物理量及其量纲,基本物理量,量纲：用以确定某一系统的特点或本质的物理变量。,基本量纲所表示的物理量就是该单位制中的基本物理量,无量纲量：当一物理量所有量纲指数都为零，它的量纲为1,量纲与单位,2,量纲和谐性,任何一个完整的物理方程，其量纲必定是和谐,凡一个完整的物理方程，不因采用的单位制度的变化而发生变化，这类方程在数学中称为齐次方程。凡量纲核心的方程，在数学上应为齐次方程,3,二、单值条件,一个现象区别于其他现象的个性标志,几何条件：,说明参与过程的物体的形状、大小等几何特征,物理条件：,说明参与过程的物体的物理性质,时间条件：,说明在时间上预先已知的特点,边界条件,：,说明边界上过程进行的特点,第一类边界条件,第二类边界条件,第三类边界条件,4,三、量纲独立,K,个物理量，其中任一个物理量的量纲均不能由其它物理量的量纲组合来表示，则称,k,个物理量的量纲彼此独立,公理：量纲不独立的物理量可用量纲彼此独立量的幂积形式表示,5,量纲独立条件,：,对物理量,a、b、c,有：,只有当,物理量,a、b、c,具有彼此独立量纲,6,2,量纲分析原理,基本原则,量纲和谐性原则,定理,7,一、,定 理,描述某现象的,n,个物理量(,a,1,、a,2,、a,3,a,n,),其中,k,个物理量的量纲彼此独立，,且,kn，,则描述该现象：,f(a,1,、a,2,、a,3,a,k,、a,k+1,、a,k+2,a,n,)= 0,其余（,n-k,）个物理量,的量纲可用,k,个独立,量纲的幂积形式表示：,8,则有：,描述物理现象的函数关系式可写成：,含有,k,个量纲的独立量的,n,个物理量之间的函数关系式，可简化为（,n-k,）个无量纲乘积（,）之间的关系式,无量纲方程,9,10,无量纲乘积的完整集合,由,n,个参数组成的函数式，如有,k,个基本量，则存在有（,n-k,）个无量纲乘积（,）。这（,n-k,）个,为该函数的无量纲的完整集合,完整集合中无量纲乘积的数目：,参量总数（,n,）,基本量纲数（,k,）,参量总数（,n,）,-,量纲矩阵的秩（,r,）,11,二、量纲分析的指数法,1、柏金汉姆法（,定理法）,（,E.Buckingham）,列出影响现象的各个参量,f(x,1,、x,2,、x,3,x,n,)=,0,确定,k,个彼此独立物理量为基本物理量,其它物理量用基本物理量的幂积形式表示,由,定理可得到（,n-k）,个无量纲量,无量纲方程：,f(,1,、,2,、,3,n-k,)=0,12,2、瑞利分析法,依据：量纲和谐性原理,将与现象有关的物理量的函数关系式写成幂积式：,由量纲和谐性原则：,用基本量纲表示各个物理量的量纲，并对基本量纲列出 其指数的代数方程,当,nk，,唯一解,nk，,无唯一解,13,三、量纲分析的矩阵法,写出量纲矩阵，求出矩阵的秩（,r）,无量纲乘积数=,n r,写出无量纲乘积的一般式,根据量纲和谐性原理，由量纲矩阵写出线性齐次方程,求解 方程封闭：直接求解,方程不封闭：以（,n-3）,个量为待定量,写出结果矩阵,14,水 流中物体的运动,F=,f,（,、,g,、,w,、,L,、,）,写出量纲矩阵：,矩阵的秩：,r =3,无量纲乘积数目,n-k=3,设,写出指数方程,n,3,，,15,3,相 似 理 论,模型实验主要的理论基础,16,1636年，伽利略，“论二门新的科学”,1686年，牛顿，“自然哲学的数学原理”,1848年，法国，,J.Bertrand，,相似第一定理,1911年，俄国，相似第二定理，,1944年美国，柏金汉,（,E.Buckingham）,，证明了,定理,1931年，苏联，相似第三定理,17,一、基本概念,1、物理量相似,标量场相似,矢量场相似,相似倍数,C,18,几何相似,时间相似,运动相似,动力相似,热相似,19,2、现象相似,描述现象各单值条件彼此相似的同类现象,单值条件相似,几何条件相似,物理条件相似,边界条件相似,初始条件相似,20,3、相似准数（相似准则）,（,Criterion）,按照一定物理规律组合而成,具有一定的物理意义,必须是无量纲的,随空间和位置的变化，在相似现象的对应点上，相似准数的数值不变。,已定准则和待定准则（定性准则和非定性准则）,21,二、相 似 三 定 理,相似第一定理（相似正定理）,凡相似现象，对应部位上各同名相似准则分别等值,。,(,规定了现象相似的必要条件,),相似第三定理（相似逆定理）,凡同类现象，当,单值条件相似,，,对应部位的,同名已知准则等值,，则现象之间彼此相似,(,表明了现象相似的充分条件,),22,相似第二定理,对于一个包含,n,个物理量的物理现象，若其中包含有,k,个基本物理量，则描述现象的函数式可用（,n-k）,个无量纲数的函数式准数方程来表示。,f（ ,1,2,n-k,）=0,23,三、相似准数的导出,量纲分析法,指数法,矩阵法,步步组合法,方程分析法,相似转换法,积分类比法,以方程的量纲和谐性原理为基础,物理法则法,24,1、相似转换法,写出描述现象的物理方程及单值条件,写出方程中各物理量相似倍数的表达式,进行相似转换,各项相似倍数进行组合，写出其相似指标式,以等式中其中一项除以其它各项,整理，可得相应的相似准数,25,2、积分类比法,基本原理：置换法则,二个体系：,等比公式,即有,26,步骤：,写出描述现象的基本方程和单值条件,用方程中任意一项除以其他各项,各项中所有导数用积分类比项代替,同类项用其中一项表示,坐标量用特征量表示,整理,27,描述对流换热的完整微分方程组：,试用相似转换法和积分类比法，推导出该方程组的准数方程。,28,三、准数与准数方程,1、相似准数的转换,准数的指数运算,准数间的幂积运算,准数间的和、差运算,物理量用其差值代替,29,2、准数的物理意义,Re（ Rerynolds ）,准数,惯性力与粘性力之比,Fr（Froude）,准数：,Fr=,gL/ w,2,重力与惯性力之比,Gr（Grashot）,准数,浮力与粘性力之比,Ga（Galilei）,准数,Eu （ Euler ）,准数：,Eu=,p,/ w,2,压力（流动阻力）与惯性力之比,30,Ho,谐时性准数：,H,0,=w/,L,Fo（Fourier）,准数：,温度场、速度场随时间的变化关系,Pr（Prandtl）,准数：,Pr=/a,分子动量扩散率与热扩散率之比；速度场与温度场的关系,Pe（Peclet）,准数,Nu（Nusselt）,准数,边界层内温度梯度与平均温度梯度之比；对流换热强度与边界内温度分布的关系。,31,3、准数方程,近似模化方法，以对流换热过程为例,准数方程的简化,f（Eu、Re、Ho、Fr、Pe、Fo、Nu,）=0,Nu,=,f（Eu、Re、Ho、Fr、Pe、Fo,）,流体运动方程：,Eu,=f（Re、Ho、Fr）,Pe,=Re.Pr,稳定温度场、稳定温度场：,Ho、,Fo,准数方程的一般形式：,Nu,=f（Re、Fr、Pr）,自由流动主要是由温差引起,Nu,=,f（Re、Gr、Pr,）,自然对流：,Nu,=,f（Gr、Pr,）,强制对流：,Nu,=f（Re、Pr）,32,