指数与对数函数

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,对数与对数函数,1,对数的产生,指数式与对数式的等价转换：,对数的运算法则：,例,1,、求值：,互为反函数,2,反解,x,互换,x,y,y=,a,x,(a0且a 1,),函数,x=,log,a,y,(a0且a 1,),y=,log,a,x,(a0且a 1,),（一）对数函数的概念,：,1.,定义：,函数,y=,log,a,x,(a0,a 1),叫做,对数函数，其中,x,是自变量，函数的定义域是,(0,+,),.,对数函数和指数函数互为反函数,函数,y=a,x,(a0,a,1),y=,log,a,x,(a0,a,1),定义域,值域,(-,+,),(0,+,),(-,+,),(0,+,),结论,1,：定义域，值域,结论,2,：图象关于 对称,3,2,、理解：,互换,y=x,预习作业：,1.,在同一坐标系中，画出,y=2,x,和它反函数,的图象,.,2.,在同一坐标系中，画出,y=(1/2 ),x,和它反函数,的图象,.,问题,1:,你是用什么方法画出对数函数图象的？,探,求,4,y=log,2,x,y=log,（1/2),x,y,x,O,1,1,y=x,y=a,x,y=,log,a,x,1,1,y=x,y,x,O,(a1),(0,a,1),问题,2,：对数函数的图象有几种情况？,y=,log,a,x,5,（二）,对数函数的图象和性质,：,a1,0,a,1,图象,性,质,定义域,R,当,x=1,时,log,a,x,=0,当,0,x,1,时,log,a,x,0,当,x,1,时,log,a,x,0,在,（,0,，）,上是,增,函数,在,（,0,，）,上是,减,函数,（,0,，）,值 域,1,x,y,O,y=,log,a,x,(a,1 ),1,x,y,O,y=,log,a,x,(0,a,1 ),函数值变化规律,当,x=1,时,log,a,x,=0,当,0,x,1,时,log,a,x,0,当,x,1,时,log,a,x,0,单调性,6,同正异负,解,(1),x,2,0,x0,函数,y=log,a,x,2,的定义域是,xx0,(2),4,x,0,x4,函数,y=log,a,(4,x),的定义域是,x x,4,应,用,例,1,.,求下列函数的定义域：,(1)y=log,5,x,2,(2) y=log,a,(4x),(3) y=log,（5x-1),(,7x-2,),(3),要使函数有意义，必有,7x-20,5x-1,0,5x-1,1,x ,x,2,7,x,1,5,2,5,解得,x,且,x,2,7,2,5,所以所求函数的定义域为,x| x,且,x,.,2,7,2,5,7,例,2.,比较大小：,log,2,3 log,2,3.5,log,0.7,1.6 log,0.7,1.8,log,a,4 log,a,3.14,方法,8,解答过程,解答过程,解答过程,当,0a1,时，,log,a,4,1,时，,log,a,4,log,a,3.14,当底数相同时：利用对数函数的增减性比较大小,.,要对底数与,1,的大小进行分类讨论,.,注意,： 当底数不确定时,练习,1.,比较大小,log,2,3.4 log,2,8.5,log,0.3,1.8 log,0.3,2.7,2log,0.5,3 log,0.5,4, log,a,5.1 log,a,5.9,1,时,loga5.1 loga5.9,当,0a log,3,3 =,1,log,5,3 ,log,5,3,例,3.,比较大小,log,3,5 log,5,3,因为,log,3,2,0,log,2,0.8,log,2,0.8,当,底数不相同，真数也不相同时，,方法,10,常需引入中间值,0,或,1,(,各种变形式,）,.,解,:,log,3,2 log,2,0.8,练习,2,：比较大小,log,7,6 1 log,0.5,3 1, log,6,7 1 log,0.6,0.1 1, log,3,5.1 0 log,0.1,2 0, log,2,0.8 0 log,0.2,0.6 0,例,4.,比较大小：,log,5,3 log,4,3,解,:,利用对数函数图象,得到,log,5,3,log,4,3,方法,当,底数不相同，真数相同时，利用图象判断大小,.,11,1,和,0a,log,3,2,log,0.5,3,(2) log,0.3,4 _ log,0.2,0.7,练习,4.,已知下列不等式，比较正数,m,n,的大小,（,1,）若,log,3,m log,3,n,则,m,n,（,2,）若,log,0.3,m log,0.3,n,则,m,n,12,练习,5.,不等式,log,2,(4x+8)log,2,2x,的解集为 （ ）,解：,由对数函数的性质及定义域要求，得,x0,4x+80,2x0,4x+82x,x -2,X0,x -4,解对数不等式时,注意,真数大于零,.,A.,x0,B,.,x -4,C,.,x -2,D,.,x 4,A,解下列不等式：,求下列函数的单调区间：,课,堂,总,结,1.,回顾对数函数研究的过程：,总结函数,性质,简单,应用,对数函数的,概念,画,出对数函数的图象,.,观察,图象特征,3.,今天我们采用,类比,的方法，类比指数函数研究了对数函数的图象和性质,.,(1).,求复合函数的定义域问题,.,(2).,比较对数值的大小,.,对数函数的概念、图象与性质，并能利用对数函数的性质解决一些简单问题：,2.,通过本节学习，大家有什么收获？,14,名 称,指数函数,对数函数,一般形式,定 义 域,值 域,函,数,值,变,化,情,况,单 调 性,图 象,(-,+,),(0,+,),y=a,x,(a0,a,1),y=,log,a,X,(a0,a,1),(0,+,),(-,+,),当,a1,时，,a,x,在,R,上,是增函数,当,0a1,时，,log,a,X,在,X0,时,是,增函数,当,0a0,时是减函数,当,a1,时,1,（,x0,）,a,x,=1,（,x=0,）,1,（,x1,时,0,（,x1,）,log,a,X,=0,（,x=1,）,0,（,0x1,）,y=a,x,的图象与,y=,log,a,X,的图象关于直线,y=x,对称,比,较,15,当,0a1,时,0,）,a,x,=1,（,x=0,）,1,（,x0,）,当,0a1,时,1,）,log,a,X,=0,（,x=1,）,0,（,0xlog,2,2x,(2),若,log,a,0.75 1,求,a,取值范围,(3),求函数 的定义域,.,作业：课本,85,页习题,1,、,2,、,3,、,4.,答案,答案,答案,17,探讨,1,.,你能发现,y=a,x,y=,（ ）,x,log,a,X,log,X,(a,1),这四个函数图象之间的关系吗？,进一步探讨,:,探讨,2,.,底数,a,决定了对数函数图象的陡缓趋势，怎样决定的？请用多种方法验证,.,1,a,1,a,动态演示,当,a1,和,0a1,y= log,2,x,在,(0,+,),上,是增函数,33.5,log,2,3 log,2,3.5,1,、判断底数,a,的范围,2,、判断函数增减性,3,、判断自变量的大小,同底对数式比较大小的,步骤：,4,、由函数增减性推出函数值大小,2. log,0.7,1.6 log,0.7,1.8,解：函数,y= log,0.7,x,中底数,0,0.7,1, 函数,y= log,0.7,x,在,(0,+,),上是减函数,1.6 log,0.7,1.8,解,:,讨论,a,的情况,II.,当,0a 3.14,所以,log,a,4,1,时,y=,log,a,x,是增函数,因为,4 3.14,所以,log,a,4,log,a,3.14,.,log,a,4 log,a,3.14,y,x,O,1,1,y=x,y=a,x,y=,log,a,x,y=( ),x,1,a,y=log x,1,a,a1,X=1,右侧的部分是“底大图低”,1 a,1, a,2,a,1,1,y,x,o,1,a,2,log,a1,x,log,a2,x,X=1,右侧的部分是“底大图低”,0 a,1, a,2,1,1,o,y,x,a,1,1,a,2,log,a1,x,log,a2,x,1,y,x,o,0 a,1, a,2, 1 a,3,log,2,2x,X,2,-4x+80,解,2x0,X,2,-4x+82x,x,R,X0,X4,0x4,作业,2 .,若,log,a,0.75 1,求,a,取值范围,解：,log,a,0.75,log,a,a,根据,y=,log,a,x,的单调性进行讨论,I 0a1,0.75a,得0.75a1,0.75a,得a,由,I,、,II,得,0.75a0,log,0.5,(4x-5)0,即,4x.3,4x-51,解得,所以所求函数的定义域为,x| .,作业,3.,求函数 的定义域,.,