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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,College of Mathematics,2005,上一页 | 首页 | 下一页,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,College of mathematics,07 September 2024,上一页,|,首页,|,下一页,7.3 二重积分的应用,Applications of Double Integrals,7.3 二重积分的应用Applications of Dou,1,7.2.1 二重积分的元素法,7.2.1 二重积分的元素法,2,将定积分的元素法推广到二重积分,可得二重积分的元素法,将定积分的元素法推广到二重积分可得二重积分的元素法,3,若要计算的某个量,U,对于闭区域,D,具有,可加性,并且在闭区域,D,内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地表示为 的形式，其中 在 内,则所求量的积分表达式为,称为所求量,U的,元素,，记为 ，,二重积分的元素法,(即当闭区域,D,分成许多小闭区域时，所求量,U,相应地分成许多部分量，且,U,等于部分量之和)，,若要计算的某个量 U 对于闭区域 D 具有可,4,7.3.2 曲面的面积,The Area of a Surface,7.3.2 曲面的面积The Area of a Surfa,5,平面的面积,求平面在有界闭区域,D,上的那一块的面积,A,已知,求,平面的面积求平面在有界闭区域 D上的那一块的面积 A 已知求,6,则,设平面与 z=0 的夹角 为,则设平面与 z=0 的夹角 为,7,平面,与,z,= 0 的夹角余弦为,与 k 夹角余弦,所以,平面与 z = 0 的夹角余弦为与 k 夹角余弦所以,8,曲面方程：,有界闭区域,求曲面的面积 A,曲面方程：有界闭区域求曲面的面积 A,9,切平面的法矢：,切平面与,z,= 0 的夹角余弦：,（ n与 k 的夹角余弦 ）,切平面的法矢：切平面与 z = 0 的夹角余弦：（ n与 k,10,面积元素,面积元素,11,曲面面积,其中,D,是曲面在坐标面,z,= 0上的投影区域,求曲面面积的步骤：,(1)求曲面在坐标面,z,= 0上的投 影区域,D,(2) 在区域,D,上计算二重积分：,曲面面积其中 D 是曲面在坐标面 z = 0上的投影区域求曲,12,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,同理可得,设曲面的方程为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面面积公式,13,Example,with(plots):,zuimian:=implicitplot3d(x2+y2=z2,x=-2.2,y=-2.2,z=0.1,color=yellow,grid=20,20,20):,zhumian:=implicitplot3d(x2+y2=x,x=-2.2,y=-2.2,z=0.1,color=green,grid=20,20,20):,x_axis:=plot3d(u,0,0,u=-2.2,v=0.0.01,thickness=2):,y_axis:=plot3d(0,u,0,u=-2.2,v=0.0.01,thickness=2):,z_axis:=plot3d(0,0,u,u=0.1.2,v=0.0.01,thickness=2):,display(zuimian,zhumian,x_axis,y_axis, z_axis,orientation=23,66,scaling=constrained);,投影区域Projection,Examplewith(plots):投影区域Project,14,二重积分的应用ppt课件,15,Example,球冠在,xOy,面上的投影区域：,Example球冠在 xOy 面上的投影区域：,16,二重积分的应用ppt课件,17,二重积分的应用ppt课件,18,半球面面积：,球面面积：,半球面面积：球面面积：,19,7.3.3 平面薄片的重心,The Center of Mass,of a Lamina,7.3.3 平面薄片的重心The Center of Mas,20,质点 :,P,(,x,y,),质量 :,m,质点,P,对,x,轴的,静力矩,：,质点,P,对,y,轴的静力矩：,质点 : P(x, y)质量 : m质点 P 对 x 轴的静,21,平面薄片占据区域,D,面密度：,取一小块薄片：,位于(,x,y,),近似地看成质点,小薄片质量：,质量元素,薄片质量：,平面薄片占据区域 D面密度：取一小块薄片：位于(x, y)近,22,小薄片对,x,轴的,静力矩,：,对,y,轴的静力矩元素,小薄片对,y,轴的,静力矩,：,对,x,轴的静力矩元素,小薄片对 x 轴的静力矩：对 y 轴的静力矩元素小薄片对 y,23,薄片对,x,轴的,静力矩,：,薄片对,y,轴的,静力矩,：,The moment about the x-axis,The moment about the y-axis,薄片对 x 轴的静力矩：薄片对 y 轴的静力矩：The mo,24,薄板的,重心,坐标：,The center of the mass,薄板的重心坐标：The center of the mass,25,若薄片有均匀密度：,（常数）,薄板的重心坐标：,若薄片有均匀密度：（常数）薄板的重心坐标：,26,此时的中心成为,形心,此时的中心成为形心,27,例3.4,是常数,求形心,作图,implicitplot(y2=4*x,x=-0.2.1.2,y=-0.5.2.2,thickness=3,scaling=constrained);,交点：,例3.4是常数求形心作图implicitplot(y2=4,28,二重积分的应用ppt课件,29,形心：,形心：,30,例3.3,自学,由对称性，重心在,x,轴上：,例3.3自学由对称性，重心在 x 轴上：,31,7.3.4 平面薄片的转动惯量,The Moment of Inertia of a Lamina,7.3.4 平面薄片的转动惯量The Moment of I,32,质点 :,P,(,x,y,),质量 :,m,质点,P,对,x,轴的,转动惯量,：,质点,P,对,y,轴的静力矩：,y,：转动半径,x,：转动半径,质点 : P(x, y)质量 : m质点 P 对 x 轴的转,33,质点,P,对 原点,O,的,转动惯量,：,转动半径,质点 P 对 原点 O 的转动惯量：转动半径,34,平面薄片占据区域,D,面密度：,取一小块薄片：,位于(,x,y,),近似地看成质点,小薄片质量：,质量元素,平面薄片占据区域 D面密度：取一小块薄片：位于(x, y)近,35,小薄片对,x,轴的,转动惯量,：,对,y,轴的转动惯量元素,小薄片对,y,轴的,转动惯量,：,对,x,轴的转动惯量元素,对,O,的转动惯量元素,小薄片对 原点,O,的,转动惯量,：,小薄片对 x 轴的转动惯量：对 y 轴的转动惯量元素小薄片对,36,薄板对,x,轴的,转动惯量,：,薄板对,y,轴的,转动惯量,：,The moment of inertia about the x-axis,The moment of inertia about the y-axis,薄板对 x 轴的转动惯量：薄板对 y 轴的转动惯量：The,37,薄板对原点,O,的,转动惯量,：,The moment of inertia about the origin,薄板对原点 O 的转动惯量：The moment of in,38,y,：转动半径,问：薄片关于直线,y,=,a,的转动惯量？,微元的转动半径：,y：转动半径问：薄片关于直线 y = a 的转动惯量？微元的,39,转动半径,转动半径,40,例3.5,例3.5,41,二重积分的应用ppt课件,42,
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