资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二项式定理题型荟萃,二项式定理题型荟萃,1,二项式定理,二项式展开的通项,复习旧知,第 项,二项式定理二项式展开的通项复习旧知第,2,性质复习,性质1在二项展开式中，与首末两端等,距离的任意两项的二项式系数相等,.,性质2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一,项的二项式系数最大；如果二项式的,幂指数是奇数，中间两项的二项式系,数最大；,性质3：,性质4：(,a+b),n,的展开式中，奇数项的二项式系,数的和等于偶数项的二项式系数和.,性质复习性质1在二项展开式中，与首末两端等 性质2：如果二项,3,题型一 利用 的二项展开式解题,解法1,例1 求 的展开式,直接用二项,式定理展开,题型一 利用 的二项展开式解题,4,题型一 利用 的二项展开式解题,例1 求 的展开式,解法2,化简后再展开,题型一 利用 的二项展开式解题,5,例题2 若,则 的值( ),A,一定为奇数,C,一定为偶数,B,与,n,的奇偶性相反,D,与,n,的奇偶性相同,解,:,所以 为奇数 故选(,A),思考 能用特殊值法吗?,偶,偶,奇,A,例题2 若,则 的值( )A 一定为奇数,6,熟记二项式定理,是解答与二项式定理有关,问题的前提条件,对比较复杂的二项式,有时,先化简再展开更便于计算.,例题点评,熟记二项式定理,是解答与二项式定理有关例题点评,7,题型二利用通项求符合要求的项或项的系数,例3 求 展开式中的有理项,解:,令,原式的有理项为:,题型二利用通项求符合要求的项或项的系数例3 求,8,例4(04全国卷),的展开式中 的,系数为_,解: 设第 项为所求,的系数为,例4(04全国卷)的展开式中 的系数为_,9,分析：第,k+1,项的二项式系数 -,第,k+1,项的系数-具体数值的积,。,解,：,分析：第 k+1 项的二项式系数 -解：,10,求二项展开式的某一项,或者求满足某种条,件的项,或者求某种性质的项,如含有,x,项,的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项,式的通项求解.,注意(1)二项式系数与系数的区别.,(2) 表示第 项.,3,例题点评,求二项展开式的某一项,或者求满足某种条3例题点评,11,题型3 二项式定理的逆用,例6 计算并求值,解(1):将原式变形,题型3 二项式定理的逆用例6 计算并求值解(1):将原式变,12,题型3 二项式定理的逆用,例7 计算并求值,解:(2)原式,题型3 二项式定理的逆用例7 计算并求值解:(2)原式,13,例题点评,逆向应用公式和变形应用公式是高中数学,的难点,也是重点,只有熟练掌握公式的正,用,才能掌握逆向应用和变式应用,例题点评,14,题型4 求多项式的展开式中特定的项(系数),例8,的展开式中, 的系数等于_,解:仔细观察所给已知条件可直接求得 的系,数是,解法2,运用等比数列求和公式得,在 的展开式中,含有 项的系数为,所以 的系数为-20,题型4 求多项式的展开式中特定的项(系数)例8的展开式中,15,例9求 展开式中,的系数。,解:可逐项求得 的系数,的展开式通项为,当 时,系数为,的展开式通项为,当 时,系数为,所以 展开式中的系数为,的展开式通项为,当 时,系数为-4,例9求,16,求复杂的代数式的展开式中某项(某项的系数),可以逐项分析求解,常常对所给代数式进行化简,可以减小计算量,例题点评,求复杂的代数式的展开式中某项(某项的系数),可以逐项分析求解,17,题型5 求乘积二项式展开式中特定的项(特,定项的系数),例题10:求,的展开式中 项,的系数.,解,的通项是,的通项是,的通项是,题型5 求乘积二项式展开式中特定的项(特例题10:求,18,由题意知,解得,所以 的系数为:,例题点评,对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两,个通项之积比较方便运算,由题意知解得所以 的系数为: 例题点评,19,（,题型6,）,求展开式中各项系数和,解：设,展开式各项系数和为,1,例题点评,求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项,式中的字母为1,上式是恒等式，所以当且仅当,x=1,时，,(2-1),n,=,=（2-1）,n,=1,例11. 的展开式的各项系数和为_,（题型6）求展开式中各项系数和解：设展开式各项系数和为1例题,20,题型7：求奇数(次)项偶数(次)项系数的和,(1),(2),题型7：求奇数(次)项偶数(次)项系数的和(1)(2),21,题型7：求奇数(次)项偶数(次)项系数的和,所以,（3）,题型7：求奇数(次)项偶数(次)项系数的和所以（3）,22,例题点评,求二项展开式系数和，常常得用,赋值法,，设,二项式中的字母为,1,或,-1,，得到一个或几个等,式，再根据结果求值,例题点评求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设,23,题型8 三项式转化为二项式,解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式,再利用二项式定理逐项分析常数项得,=1107,题型8 三项式转化为二项式解：三项式不能用二项式定理,必须,24,_,解：,原式化为,其通项公式为,240,例题点评,括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二项式.,_解：原式化为其通项公式为240例,25,题型9 求展开式中系数最大(小)的项,解:,设 项是系数最大的项,则,二项式系数最大的项为第11项,即,所以它们的比是,题型9 求展开式中系数最大(小)的项解:设 项是系数最,26,例16 在 的展开式中，系数,绝对值,最大的项,解：设系数绝对值最大的项是第,r+1,项，则,所以当 时，系数绝对值最大的项为,例16 在 的展开式中，系数绝对值最大的项 解：,27,例17求 的展开式中,数值,最大的项,解：设第 项是是数值最大的项,展开式中,数值,最大的项是,例17求 的展开式中数值最大的项解：设第,28,解决系数最大问题，通常设第 项是系数最,大的项，则有,由此确定,r,的取值,例题点评,解决系数最大问题，通常设第 项是系数最由此确定,29,题型10 整除或余数问题,例18,解:,前面各项均能被100整除.只有 不能被100整除,余数为,正整数,注意,题型10 整除或余数问题例18解:前面各项均能被100整除,30,整除性问题，余数问题，主要根据二项式,定理的特点，进行添项或减项，凑成能整,除的结构，展开后观察前几项或后几项,再,分析整除性或余数。这是解此类问题的最,常用技巧。余数要为正整数,例题点评,整除性问题，余数问题，主要根据二项式例题点评,31,题型11 证明恒等式,析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为,由此分析求解,两式相加,题型11 证明恒等式析:本题的左边是一个数列但不能直接,32,例题点评,利用求和的方法来证明组合数恒等式是一种,最常见的方法,证明等式常用下面的等式,例题点评利用求和的方法来证明组合数恒等式是一种,33,例20证明,：,证明,通项,所以,题型12 证明不等式,例20证明： 证明通项所以题型12 证明不等式,34,例题点评,利用二项式定理证明不等式,将展开式,进行合理放缩,例题点评利用二项式定理证明不等式,将展开式,35,题型13 近似计算,例21.某公司的股票今天的指数为2,以后每天的指,数都比上一天的指数增加0.2%,则100天后这,公司的股票股票指数为_(精确到0.001,),解:,依题意有2(1+0.2%),100,所以100天后这家公司的股票指数约为2.44,点评近似计算常常利用二项式定理估算前几项,题型13 近似计算例21.某公司的股票今天的指数为2,以后,36,巩固练习,一选择题,1(04福建)已知 展开式的常数项是1120,其中实数 是常数,则展开式中各项系数的和,是( ),C,2 若 展开式中含 项的系数与含 项的,系数之比为-5,则,n,等于( ),A 4 B 6 C 8 D 10,B,3 被4除所得的系数为（ ）,A,0 B1 C2 D3,A,巩固练习一选择题1(04福建)已知 展开式的,37,展开式中 的系数是_,2 被22除所得的余数为,。,1,35,3 已知 展开式中的 系数是56，则实数,的值是_,或,二填空题,4.设 二项式展开式的各项系数的和为,P；,二项式系数的和为,S，,且,P+S=272，,则展开式,的常数项为_,108,展开式中 的系数是_2,38,1 求 展开式中含 一次幂的项。,45,x,3 在 的展开式中，求,：,（1） 二项式系数最大的项；,（2）系数绝对值最大的项；,（3）系数最大的项,三计算题,1 求 展开式中含 一次幂的项。45x3,39,
展开阅读全文