DSP第七章有限长单位冲激响应FIR资料课件

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,厦门大学通信工程系,数字信号处理,第七章,有限长单位冲激响应,FIR,数字滤波器的设计方法,第一节引言,一、,IIR,滤波器的优缺点,IIR,数字滤波器的优点：可以利用模拟滤波器设计的结果,，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。,IIR数字滤波器的缺点：相位的非线性,，将引起频率的色散，若须线性相位，则要采用全通网络进行相位校正,使滤波器设计变得复杂，成本也高。,二,、,FIR DF,特点,（,1,）优点：,稳定和线性相位特性是FIR滤波器突出的优点,。,FIR,滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，很,容易做到有严格的线性相位特性,。,设FIR滤波器单位冲激响应h(n)长度为N，其,系统函数H(z)为：,H(z)是z,-1,的N-1次多项式，它在z平面上有N-1个零点，原点z=0是N-1阶重极点。因此，H(z)永远稳定,。,且允许设计多通带（或多阻带）滤波器,。,其中线性相位和多通带滤波器设计都是,IIR,系统不易实现的。,可更加灵活地设计出正交变换器（希尔伯特变换器）、线性微分器及任意频率特性的滤波器。,（,2,）,FIR,的缺点,由于,FIR,系统只有零点，因此,FIR,系统,不,像,IIR,系统那样,易取得比较好的,通带与阻带,衰减特性,。要取得好的衰减特性，一般要,H(z),的阶次要高，也即,N,大。,三、为何要设计,FIR,滤波器,（1）语音处理，图象处理以及数据传输要求线性相位，任意幅度。（即要求信道具有线性相位特性）而FIR数字滤波器具有严格的线性相位，而且同时可以具有任意的幅度特性。,（2,）,另外FIR数字滤波器的单位抽样响应是有限长的，因而滤波器一定是稳定的只要经过一定的,延时,，,任何非因果有限长序列都,可,变成因果的有限序列,。,（3,）,FIR可以用FFT算法来实现过滤信号,，可极大提高效率,。,四、本章讨论的内容,具有线性相位,FIR,滤波器，设计方法有：,窗口设计法,频率采样设计法,计算机辅助设计法,五,、,FIR DF,设计思路,FIR,滤波器的设计方法和IIR滤波器的设计方法有很大不同。,FIR DF设计的含义是,：,根据设计指标，求解所选运算结构要求的h(n)或H(z)：,线性卷积和快速卷积型结构，求FIR DF的h(n).,级联和频率采样型结构，求FIR DF 的H(z).,第二节线性相位,FIR DF,的条件和特点,一、,FIR,滤波器具有,线性相位的条件,对于长度为,N,的h(n),传输函数为：,1、,H(e,jw,),线性相位,2、,FIR,滤波器具有,线性相位的条件,二、线性相位条件的证明,我们将根据单位冲激响应,h(n),的奇对称和偶对称进行讨论。,由下面讨论可知：,1、第一类线性相位条件证明,2、第二类线性相位条件证明,注意,从第二类线性相位看出：,零频率,w=0,有,2,的截距，说明不仅有：,也就是：,h(n),为奇对称时,，FIR滤波器是一个具有准确的线性相位的,理想正交变换网络,。,个抽样间隔的延时，而且还产生一个90,的相移，这种使频率皆为90,的网络，,称为正交变换网络,，它具有重要的理论和实际意义。,三、线性相位,FIR,滤波器幅度特性H(w)的特点,由于,h(n),的长度,N,取奇数还是偶数，对H(w)的特性有影响，,因此，对于两类线性相位，下面我们分四种情况讨论其幅度特性的特点：,（1）h(n)=h(N-1-n)，即h(n)为,偶,对称,，,N=奇数,（2）h(n)=h(N-1-n),，,即h(n)为,偶,对称,，,N=偶数,（3）h(n)=-h(N-1-n)，即h(n)为,奇对称,，,N=奇数,（4）h(n)=-h(N-1-n),，,即h(n)为,奇对称,，N=偶数,1. 第一种情况：,h(n)=h(N-1-n)，N=奇数,式中：,h(n),对（,N-1)/2,呈偶对称，即,可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项合并，,由于N是奇数，故,余下中间项n=(N-1)/2,，,即其中：,合并后，可得：,可以表示成,看出：,cos(nw)对于w=0,2皆为偶对称,，所以幅度函数H(w)也对,w=0,2皆为偶对称。且,H(0)、H(/2), H(),H(2)都可不为零。,(只要h,(,(N-1)/2)不为零。所以,w从0 2范围内，无任何约束，可以设计成任何一种滤波器。低通、高通、带通、带阻）,n,对称中心,N=7,关于,w=0,及,w=,偶对称,可以设计任何一种滤波器,2. 第二种情况,h(n)=h(N-1-n)，N=偶数,式中：,h(n),对(,N-1)/2,呈偶对称，即,可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项合并,，由于N是偶数，,故H(w)无单独项。,（3）由上可知：此种情况,不能设计高通和带阻滤波器。,n,对称中心,N=6,关于,w=0,偶对称,w=,奇对称，H()=0 (总是),只,能设计低通和带通滤波器。,3.第三种情况,h(n)=-h(N-1-n)，N=奇数,(3)由上可知：此种情况,不能设计低通、高通和带阻滤波器。,看出：sin(nw)对于w=0,2处皆为0,，,即,H(w)在w=0,2处必为零。,也即H(z)在z=1处都为零。,(2) sin(nw)对,w=0,2呈奇对称形式,n,对称中心,h(n)=-h(N-1-n)，N=,7,奇,数,关于,w=0,、,w=,奇对称,H(0)=0 、H()=0 (总是),只,能设计带通滤波器。,4. 第四种情况,h(n)=-h(N-1-n)，N=偶数,（3）由上可知：此种情况,不能设计低通和带阻滤波器,。,n,对称中心,h(n)=-h(N-1-n)，N=,6,偶,数,关于,w=0,奇对称,、,w=,偶对称,H(0)=0 (总是),只,能设计带通、高通滤波器。,总结,了解了线性相位,FIR,滤波器的各种,特性,，便可根据实际需要选择合适的FIR滤波器，同时设计时要遵循有关,约束条件,。,如：,第3、4种情况，对于任何频率都有一固定的 相移,，一般微分器及 相移器采用这两种情况，而,选频性滤波器则用第1、2种情况。,(1)要设计一个线性相位的低通,DF,(2)要设计一个线性相位的高通,DF,(3)要设计一个线性相位的带阻,DF,(4)要设计一个线性相位的带通,DF,从幅度特性考虑：,可选用四种任意一种来设计滤波器。,三、线性相位,FIR,滤波器零点分布特点,线性相位,FIR,滤波器零点分布特点：,零点必须是互为倒数的共轭对。,第三节 窗函数设计法,一、设计方法1.设计思路,（1）先给定所要求设计的,理想滤波器,的频率响应,H,d,(e,jw,).,（,2,）设计一个,可实现的,FIR,滤波器,频率响应,H(e,jw,)。,（3）由于设计是在时域中进行，使,所设计滤波器的,h(n),去逼近理想单位取样响应,h,d,(n).,（1）理想滤波器的频率响应,H,d,(e,jw,),一般情况下，,H,d,(e,jw,),逐段恒定，在边界频率处有不连续点,，因而h,d,(n)是,无限时宽,的，且,是非因果序列。,理想,低通,滤波器的传输函数,H,d,(e,jw,),(2)设计实际的,FIR,滤波器,H(e,jw,),2、设计步骤,（1）,先由,H,d,(e,jw,),求付里叶反变换,h,d,(n).,（,2,）,砍头去尾。,因为我们要设计FIR滤波器h(n)是：,(a)具有因果性 t砍头,(b)由于要求所设计滤波器是线性相位，所以要求其偶对称，奇对称，由于砍头，所以必须去尾，让它们,中心对称。,即用有限长的h(n)去逼近无限长的h,d,(n).,（,3,）,时域相乘，频域卷积,。,即h(n)=W(n),h,d,(n),因此，窗函数序列的形状及长度的选择是设计关键,。,3、窗函数设计法（窗口法）,用一个有限长度的,窗口函数序列W(n)来截取h,d,(n),：（即进行砍头截尾），,h(n)=W(n)h,d,(n),使,h(n),满足因果，有限长，实序列，并具有奇、偶对称性，则可设计出具有线性相位的FIR滤波器。,二、利用窗函数法设计四种线性相位,FIR DF,1.低通,2.高通,3.带通,4.带阻,1、低通,其幅度特性：,1,例子,例子,设计一个,FIR,低通滤波器，所希望的频率响应为：,Z,-1,Z,-1,Z,-1,Z,-1,Z,-1,x(n),y(n),Z,-1,Z,-1,Z,-1,Z,-1,Z,-1,2、高通,理想,的线性相位高通,DF,的,频率特性为：,其幅度特性：,1,由付氏反变换得：,例子,2、带通,理想,的线性相位带通,DF,的,频率特性为：,相位特性,1,若选择,相位有一个相移的理想的线性相位带通,DF,的频率特性为：,1,幅度特性,相位特性,4、带阻,三、滤波器频率特性,1、矩形窗口,主瓣,2、特殊点-1,特殊点-2,特殊点-3,特殊点-4,特殊点-5,2、几个特殊点-6,2、几个特殊点-7,2、几个特殊点-8,3、理想滤波器与实际滤波器之间的差别-1,3、理想滤波器与实际滤波器之间的差别-2,3、理想滤波器与实际滤波器之间的差别-3,4、如何改善过渡带、肩峰、余振-1,4、如何改善过渡带、肩峰、余振-2,例子,4、如何改善过渡带、肩峰、余振-3,5、改善函数形状标准-1,5、改善函数形状标准-2,例子-1,例子-2,对窗函数的总的要求,希望它,频谱的主瓣尽量地窄,，以获得较陡的过渡带。,尽量,减小最大旁瓣的相对幅度,，使频域的能量能主要集中在主瓣内，这样使肩峰和波纹减小，就可增大阻带衰减。,但以上两项不能同时满足。,6、窗函数,6、窗函数,窗函数的特性,对称有限区间的窗函数的幅度响应有稳定的主瓣和衰减的旁瓣，可以全为正，也可以改变符号。,窗函数的幅度参数,包括:,旁瓣峰值电平,(,PSL),单位,dB,窗函数的频率参数,包括：,主瓣宽度,W,M,、3dB,、,6dB,宽度（,W,3,和,W,6,）,到达旁瓣峰值电平时的宽度,Ws,典型窗的频谱,高频衰减,w,归一化窗函数（也即窗函数的幅度响应分贝图）,D,B,A,（1）矩形窗,取,N=10，,矩形窗频谱：,（2）三角形窗（,Bartlett),Bartlett,窗,时域波形,频谱(,N=21),(3)升余弦窗（汉宁,Hanning,窗）,左移,右移,倒余弦,由于频谱是由三个互有频移的不同幅值的矩形窗函数相加而成，这样使旁瓣大大抵消，从而能量相当有效地集中在主瓣内。,其代价:,主瓣加宽一倍，可达到减少肩峰，余振，提高阻带衰减。,缺点：,过渡带加大,(4)改进的升余弦窗（海明,Hamming,窗）,(5)二阶升余弦窗（布拉克曼,Blackman,窗）,(6)凯塞窗（,Kaiser,窗）,以上几种窗函数是各以一定主瓣加宽为代价，来换取某种程度的旁瓣抑制，而,凯塞窗,则是：,全面地反映主瓣与旁瓣衰减之间的交换关系,，,可以在它们两者之间自由地选择它们的比重。,各窗函数的时域表示,窗函数,表达式,Wn -0.5(N-1),n0.5(N-1),Boxcar,1,Bartlett,Hanning,Hamming,Blackman,Kaiser,以下给出上面各窗函数的时域波形,以下给出上面各窗函数的频谱,以下给出上面各窗函数的包络波形比较,六种窗函数的基本参数,（,P342),作业,P560 8.5,四、,FIR,窗函数法的设计步骤,（1）根据技术要求确定逼近理想滤波器的单位冲激响应,h,d,(n).,可用对,H,d,(e,jw,),从,w=0,到,w=2,采样,M,点,，采样值为：,并用,2,/M,代替上式中的,dw,上式近似写成：,根据频率采样定理，,h,M,(n),与h,d,(n)应满足如下关系：,因此，如果,M,选得较大,，可保证在窗口内,h,M,(n)有效逼近h,d,(n)。,结论：,给出通带阻带衰减和边界频率的要求，可选用理想滤波器作为逼近函数，从而用理想滤波器的特性作付里叶反变换，求出h,d,(n)。,(,2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数,w(n),的形式和估计窗口长度,N。,首先，,按照阻带衰减情况,，根据P3,4,2,页表7-3，,选择窗函数形式。原则是,在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄的窗函数,。,接着，,根据,滤波器的过渡带,要求，估计出,N,。假定滤波器的过渡带宽,用,w表示，它近似等于窗函数主瓣宽度。,N,A/,w A决定窗口形式。,例如：矩形窗口A=,1,.8,，汉明窗A=,6,.6,等,（3）对理想滤波器进行加窗，计算滤波器的单位取样响应,h(n)。,式中,w(n),是上面选择好的窗函数。如果要求线性相位，则,要求,h,d,(n),和,w(n),均对(,N-1)/2,对称。,（4）,验算技术指标是否满足要求。,设计出的滤波器频率响应用下式计算：,或,计算上式时可用,FFT,算法。如果,H(e,jw,),不满足要求，可根据具体情况重复(2)、(3)、(4)步，直到满足要求。,例子1,用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计,FIR,低通滤波器。,解：用理想低通作为逼近滤波器，有,采用矩形窗设计：,采用汉宁窗设计：,采用布莱克曼窗设计：,从上可以看出：,矩形窗的过渡带最窄，而阻带衰减最小，布莱克曼窗过渡带最宽，但换来的是阻带衰减加大。,采用窗函数法，设计简单，方便，也实用。,但要求用计算机，且边界频率不易控制。,例,2,设计一个线性相位,FIR,滤波器，给定抽样频率为 ，通带截止频率为 ，阻带截止频率为 ，阻带衰减不小于,50dB,。,（,1,）求各对应的数字滤波器,（,2,）求理想滤波器的单位冲激响应,（,3,）确定窗函数,（,4,）确定,h(n),（,5,）由,h(n),求出幅频响应曲线，检验是否满足要求，不满足就改变,N,或窗形,窗函数设计法的特点,设计过程简单、方便实用。但边界频率不易精确控制。,所以设计完以后，必须检验结果。,FIR DF,设计的窗函数法不但可以用来设计普通的,LP，HP，BP,及,BS,滤波器，也可以用来设计一些特殊的滤波器，例如差分滤波器，希尔伯特滤波器。,例3,设计一个线性相位数字差分器，逼近理想差分 器的频率响应。（,P347),例4,第四节频率抽样法,由于窗函数设计法是从时域出发的一种设计法，但一般技术指标是在频域给出的。,因此，,采用频率采样法更为直接，尤其对于,H,d,(e,jw,),公式较复杂,，或H,d,(e,jw,)不能用封闭公式表示而,用一些离散值,表示时，频率采样设计法更为方便，有效。,频率抽样法基本原理,频 率 抽 样 法,从,频 域 出 发,，,把 给 定 的 理 想 频 率 响 应,H,d,(e,jw,),加 以 等 间 隔 抽 样得到,H,d,(k),即,在 此 讨 论 以 下 几 个 问 题：,1、 窗 函 数 与 频 率 抽 样 法 的,区 别,2、 线 性 相 位 的,约 束 条 件,3、 频 率 抽 样 的,两 种 方 法,4、 过 渡 带 抽 样 的 优 化 设 计 的,目 标,1.窗函数法与频率抽样法的区别,1、窗 函 数 法 是 从,时 域,出 发， 把 理 想 的,h,d,(n),用 一 定 形 状 的,窗 函 数 截,取 成 有 限 长 的,h(n)，,以 此,h(n),求 近 似 理 想 的,h,d,(n),， 这 样 得 到 的 频 率 响 应,H(e,jw,),逼 近 于,所 求 的 理 想 频 率 响 应,H,d,(e,jw,),。,2、频 率 抽 样 法 则 从,频 域,出 发， 把 给 定 的 理 想 频 率 响 应,H,d,(e,jw,),加 以,等 间 隔 抽 样,然 后 以 此,H,d,(k),作 为 实 际,FIR,滤 波 器 的 频 率 特 性 的,抽 样 值,H(k)，,知 道,H(k),后， 由,DFT,定 义， 可,用 频 域 的 这,N,个 抽 样 值,H(k),求 唯 一 确 定 的 有 限 长 序 列,h(n)，,利 用 这,N,个 频 域,抽 样 值,H(k),同 样 可 得,FIR,滤 波 器 的,系 统 函 数,H(z),及 频 率 响 应 。,2.用频率采样法设计线性相位滤波器的约束条件,FIR,滤波器具有,线性相位,的条件是,h(n)是因果，有限长，实序列，,且满足,h(n)=h(N-n-1)或h(n)=-h(N-n-1),的基础上进行推导。,第一种情况线性相位,FIR,滤波器,n,对称中心,N=7,关于,w=0,及,w=,偶对称,第一种情况线性相位,FIR,滤波器,第二种情况线性相位,FIR,滤波器,n,对称中心,N=6,关于,w=0,偶对称,w=,奇对称，H()=0 (总是),第二种情况线性相位,FIR,滤波器,第三种情况线性相位,FIR,滤波器,n,对称中心,h(n)=-h(N-1-n)，N=,7,奇,数,关于,w=0,、,w=,奇对称,H(0)=0 、H()=0 (总是),第三种情况线性相位,FIR,滤波器,第四种情况线性相位,FIR,滤波器,n,对称中心,h(n)=-h(N-1-n)，N=,6,偶,数,关于,w=0,奇对称,、,w=,偶对称,H(0)=0 (总是),第四种情况线性相位,FIR,滤波器,说明,3、频率抽样的两种方法,两种抽样方法为：,（1）第一个抽样点,在,w=0,处。,（2）第一个抽样点,在,w=,/N(z=e,j,/N,),处。,每种抽样又可由,N,的奇偶性再分。,线性相位第一种频率抽样,(P352),第一个抽样点,在,w=0,处。,线性相位第二种频率抽样,(P353),第一个抽样点,w=,/N(z=e,j,/N,),处,4、过渡带抽样的优化设计,为了提高逼近质量，使逼近误差更小，也就是减小在通带边缘由于,抽样点的陡然变化而引起的起伏振荡。,（它使得阻带内最小衰减很小）。,例子,P355,如果将上例,N=65，w,c,=0.5,并,在,k=17,k=18,处插入两个优化的抽样值,H,17,=0.5886,H,18,=0.1065.,可得到阻带最小衰减,超过60,dB,虽然此,过渡带没有增加,，但阶次,N,增加了近一倍，,运算量加大,了。,作业,P370,页,第7题,IIR,和FIR滤波器的比较,前面讨论了,IIR,和FIR两种滤波器传输函数的设计方法。,这两种滤波器究竟各自有什么特点？在实际运用时应该怎样去选择它们呢？,为此对这,两种滤波器作一简单的比较。,1.从,性能上,比较,2.从,结构上,比较,3.从,设计工具上,比较,1、从性能上进行比较,IIR,滤波器传输函数的极点,可位于单位园内的任何地方，因此可用较低的阶数获得高的选择性，,所用的存贮单元少,，所以经济而效率高。但是这个高效率是,以相位的非线性为代价的。选择性越好，则相位非线性越严重。,相反，,FIR滤波器,却可以得到,严格的线性相位，,然而由于FIR滤波器传输函数的,极点固定在原点,，所以只能用,较高的阶数达到高的选择性,；对于同样的滤波器设计指标，,FIR滤波器,所要求的阶数可以比IIR滤波器高510倍，结果，,成本较高，,信号延时也较大,。,如果按相同的选择性和相同的线性要求来说，则,IIR滤波器,就必须加全通网络进行相位较正，同样要大,增加滤波器的节数和复杂性。,从结构上看,IIR,滤波器,必须,采用递归结构,，极点位置必须在单位圆内，否则系统将不稳定。另外，在这种结构中，由于运算过程中对序列的舍入处理，这种,有限字长效应有时会引入寄生振荡。,相反，,FIR滤波器,主要,采用非递归结构,，不论在理论上还是在实际的有限精度运算中都,不存在稳定性问题,，运算误差也较小。此外，FIR滤波器可以采用快速付里叶变换算法，在相同阶数的条件下，,运算速度可以快得多。,从设计工具看,IIR,滤波器,可以,借助于模拟滤波器的成果,，因此一般都有有效的封闭形式的设计公式可供准确计算，,计算工作量比较小,，对计算工具的要求不高。,FIR滤波器设计则一般没有封闭形式的设计公式。,窗口法虽然仅仅对窗口函数可以给出计算公式，但计算通带阻带衰减等仍无显式表达式。一般，,FIR滤波器的设计只有计算程序可循,，因此,对计算工具要求较高。,另外,IIR,滤波器,虽然设计简单，但主要是,用于设计具有片段常数特性的滤波器，,如低通、高通、带通及带阻等，往往脱离不了模拟滤波器的格局。,而,FIR滤波器则要灵活得多,，尤其它能易于适应某些特殊的应用，如构成微分器或积分器，或用于Butterworth、Chebyshev等逼近不可能达到预定指标的情况，例如，由于某些原因要求三角形振幅响应或一些更复杂的幅频响应，因而,有更大的适应性和更广阔的天地。,总结,从上面的简单比较我们可以看到,IIR,与FIR滤波器各有所长，所以在实际应用时应该从多方面考虑来加以选择。,例如，从使用要求上来看，在,对相位要求不敏感的场合，,如语言通讯等，,选用IIR较为合适,，这样可以充分发挥其经济高效的特点,，,而对于图像信号处理，数据传输等以波形携带信息的系统，则对,线性相位要求较高,，如果有条件，,采用FIR滤波器较好,。,当然，,在实际应用中应考虑经济上的要求以及计算工具的条件等多方面的因素。,人有了知识，就会具备各种分析能力，,明辨是非的能力。,所以我们要勤恳读书，广泛阅读，,古人说“书中自有黄金屋。,”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，,培养逻辑思维能力；,通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，,培养文学情趣；,通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。,有许多书籍还能培养我们的道德情操，,给我们巨大的精神力量，,鼓舞我们前进,。,