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第三讲,定点、定值、存在性问题,【,知识回顾,】,1.,定点、定值、存在性问题的解读,(1),定点问题,:,在解析几何中,有些含有参数的直线或曲线的方程,不论参数如何变化,其都过某定点,这类问题称为定点问题,.,(2),定值问题,:,在解析几何中,有些几何量,如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关,这类问题统称为定值问题,.,(3),存在性问题的解题步骤,:,先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程,(,组,),或不等式,(,组,).,解此方程,(,组,),或不等式,(,组,),若有解则存在,若无解则不存在,.,得出结论,.,2.,几个重要结论,(1),直线与圆锥曲线相交的问题,牢记,“,联立方程,根与,系数的关系,定范围,运算推理,”,.,(2),有关弦长问题,牢记弦长公式,|AB|= |x,1,-x,2,|,= |y,1,-y,2,|,及根与系数的关系,“,设而不求,”,;,有关,焦点弦长问题,要牢记圆锥曲线定义的运用,以简化运算,.,(3),涉及弦中点的问题,牢记,“,点差法,”,是联系中点坐标和弦所在直线的斜率的好方法,.,(4),求参数范围的问题,牢记,“,先找不等式,有时需要找出两个量之间的关系,然后消去另一个量,保留要求的量,”,.,不等式的来源可以是,0,或圆锥曲线的有界性或题目条件中的某个量的范围等,.,【,易错提醒,】,1.,对概念理解不准确致误,:,直线与双曲线、抛物线相交于一点时,不一定相切,反之,直线与双曲线、抛物线相切时,只有一个交点,.,2.,忽略直线斜率不存在的情况致误,:,过定点的直线,若需设直线方程,应分直线的斜率存在和不存在两种情况求解,.,3.,混淆点的坐标与线段长度致误,:,在表示三角形面积时,用顶点到坐标轴的距离表示三角形边长的距离要注意符号,.,【,考题回访,】,1.(2016,北京高考,),已知椭圆,C,：,(ab0),的,离心率为 ，,A(a,，,0),，,B(0,，,b),，,O(0,，,0),，,OAB,的面积为,1.,(1),求椭圆,C,的方程,.,(2),设,P,是椭圆,C,上一点，直线,PA,与,y,轴交于点,M,，直线,PB,与,x,轴交于点,N.,求证：,|AN|,|BM|,为定值,.,【,解析,】,(1),离心率,e=,所以,a=2b.,OAB,的面积为,ab,=1,，所以,a=2,，,b=1.,所以椭圆,C,的方程为,+y,2,=1.,(2),设,P(x,0,，,y,0,).,当直线,BP,的斜率存在时，,直线,AP,方程为,y= (x-2),，直线,BP,方程为,y= x+1.,所以,所以,所以,|AN|,|BM|=,因为点,P,在椭圆,C,上，所以,代入上式得,|AN|,|BM|,当,BP,的斜率不存在时，,N(0,，,0),，,M(0,，,-1),，,|AN|,|BM|=4.,因此，,|AN|,|BM|,为定值,4.,2.(2015,全国卷,),在直角坐标系,xOy,中,曲线,C:y,=,与直线,y=,kx+a(a,0),交于,M,N,两点,.,(1),当,k=0,时,分别求,C,在点,M,和,N,处的切线方程,.,(2)y,轴上是否存在点,P,使得当,k,变动时,总有,OPM=,OPN?,说明理由,.,【,解析,】,(1),由题设可得,M(2 ,a),N(-2 ,a),或,M(-2 ,a),N(2 ,a).,又,y= ,故,y=,在,x=2,处的导数值为,曲线,C,在,点,(2 ,a),处的切线方程为,y-a= (x-2 ),即,x,-y-a=0.,y=,在,x=-2,处的导数值为,- ,曲线,C,在点,(-2 ,a),处的切线方程为,y-a=- (x+2 ),即,x+y+a,=0.,(2),存在符合题意的点,P,证明如下,:,设,P(0,b),为符合题意的点,M(x,1,y,1,),N(x,2,y,2,),直线,PM,PN,的斜率分别为,k,1,k,2,.,将,y=,kx+a,代入,C,的方程得,x,2,-4kx-4a=0.,故,x,1,+x,2,=4k,x,1,x,2,=-4a.,从而,当,b=-a,时,有,k,1,+k,2,=0,则直线,PM,的倾斜角与直线,PN,的倾斜角互补,故,OPM=OPN,所以点,P(0,-a),符合题意,.,热点考向一,圆锥曲线中的定点问题,命题解读,:,主要考查直线、曲线过定点或两条直线的交点在定曲线上,以解答题为主,.,【,典例,1】,已知,p,m,0,抛物线,E:x,2,=2py,上一点,M(m,2),到,抛物线焦点,F,的距离为,.,(1),求,p,和,m,的值,.,(2),如图所示,过,F,作抛物线,E,的两条弦,AC,和,BD(,点,A,B,在,第一象限,),若,k,AB,+4k,CD,=0,求证,:,直线,AB,经过一个定点,.,【,解题导引,】,(1),依据点,M,到抛物线焦点,F,的距离及抛物线的定义求,p,进而求出抛物线方程,然后代入,M,点的坐标求得,m.,(2),设出直线,AB,AC,的方程及点,A,B,C,D,的坐标,根据,k,AB,+4k,CD,=0,找出四点横坐标之间的关系,从而可求出经过的定点,.,【,规范解答,】,(1),由点,M(m,2),到抛物线焦点,F,的距离,为,结合抛物线的定义得,即,p=1,所以抛物线,的方程为,x,2,=2y,把点,M(m,2),的坐标代入,可解得,m=2.,(2),显然直线,AB,AC,的斜率都存在,分别设,AB,AC,的方程,为,y=k,1,x+b,y=k,2,x+ ,联立 得,x,2,-2k,1,x-2b=0,联立 得,x,2,-2k,2,x-1=0,设,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),C(x,3,y,3,),D(x,4,y,4,),则,x,1,x,2,=-2b,x,1,x,3,=-1,同理,x,2,x,4,=-1,故,k,AB,+4k,CD,=,注意到点,A,B,在第一象限,x,1,+x,2,0,所以,=0,故得,x,1,x,2,=4,-2b=4,所以,b=-2,即直线恒经过点,(0,-2).,【,一题多解,】,设,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),C(x,3,y,3,),D(x,4,y,4,),显然直线,AC,BD,的斜率都存在,设,AC,的方程为,y=,kx,+ ,联立,得,x,2,-2kx-1=0,所以,x,1,x,3,=-1,同理,x,2,x,4,=-1,故,k,AB,+4k,CD,=,注意到点,A,B,在第一象限,x,1,+x,2,0,所以,故得,x,1,x,2,=4,直线,AB,的方程为,化简得,即直线,AB,恒经过点,(0,-2).,【,规律方法,】,动线过定点问题的两大类型及解法,(1),动直线,l,过定点问题,解法,:,设动直线方程,(,斜率存在,),为,y=,kx+t,由题设条件将,t,用,k,表示为,t=,mk,得,y=,k(x+m,),故动直线过定点,(-m,0).,(2),动曲线,C,过定点问题,解法,:,引入参变量建立曲线,C,的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点,.,【,变式训练,】,(2016,合肥二模,),已知椭圆,E:,(ab0),经过点,(2 ,2),且离心率为,F,1,F,2,是椭圆,E,的左,右焦点,.,(1),求椭圆,E,的方程,.,(2),若点,A,B,是椭圆,E,上关于,y,轴对称的两点,(A,B,不是长轴的端点,),点,P,是椭圆,E,上异于,A,B,的一点,且直线,PA,PB,分别交,y,轴于点,M,N,求证,:,直线,MF,1,与直线,NF,2,的交点,G,在定圆上,.,【,解析,】,(1),由条件得,a=4,b=c=2 ,所以椭圆,E,的方程,为,(2),设,B(x,0,y,0,),P(x,1,y,1,),则,A(-x,0,y,0,),直线,PA,的方程为,y-y,1,= (x-x,1,),令,x=0,得,y=,故,同理可得,所以,所以,F,1,MF,2,N,所以直线,F,1,M,与直线,F,2,N,的交点,G,在以,F,1,F,2,为直径的圆上,.,【,加固训练,】,已知椭圆,C: (ab0),的离心率,e= ,短轴长,为,2 .,(1),求椭圆,C,的标准方程,.,(2),如图,椭圆左顶点为,A,过原点,O,的直线,(,与坐标轴不重合,),与椭圆,C,交于,P,Q,两点,直线,PA,QA,分别与,y,轴交于,M,N,两点,.,试问以,MN,为直径的圆是否经过定点,(,与直线,PQ,的斜率无关,)?,请证明你的结论,.,【,解析,】,(1),由短轴长为,2 ,得,b= ,由,e=,得,a,2,=4,b,2,=2.,所以椭圆,C,的标准方程为,=1.,(2),以,MN,为直径的圆过定点,F(,0).,证明如下,:,设,P(x,0,y,0,),则,Q(-x,0,-y,0,),且,即,因为,A(-2,0),所以直线,PA,方程为,:y= (x+2),所以,M(0, ),直线,QA,方程为,:y= (x+2),所以,N(0, ),以,MN,为直径的圆为,(x-0)(x-0)+(,y-,)(,y-,)=0,即,x,2,+y,2,-,因为,x,0,2,-4=-2y,0,2,，所以,x,2,+y,2,+2 y-2=0,令,y=0,则,x,2,-2=0,解得,x=,.,所以以,MN,为直径的圆过定点,F(,0).,热点考向二,圆锥曲线中的定值问题,命题解读,:,以直线与圆锥曲线的位置关系为背景,考查转化与化归思想以解答题为主,和对定值问题的处理能力,常涉及式子、面积的定值问题,.,【,典例,2】,(2015,全国卷,),已知椭圆,C:9x,2,+y,2,=m,2,(m0),直线,l,不过原点,O,且不平行于坐标轴,l,与,C,有两个,交点,A,B,线段,AB,的中点为,M.,(1),证明,:,直线,OM,的斜率与,l,的斜率的乘积为定值,.,(2),若,l,过点,延长线段,OM,与,C,交于点,P,四边形,OAPB,能否为平行四边形,?,若能,求此时,l,的斜率,若不能,说明,理由,.,【,解题导引,】,(1),将直线,y=kx+b(k0,b0),与椭圆,C:9x,2,+y,2,=m,2,(m0),联立,结合根与系数的关系及中点坐标公式证明,.(2),由四边形,OAPB,为平行四边形当且仅当线段,AB,与线段,OP,互相平分求解证明,.,【,解析,】,(1),设直线,l,:y,=kx+b(k,0,b,0),A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),M(x,M,y,M,).,将,y=,kx+b,代入,9x,2,+y,2,=m,2,得,(k,2,+9)x,2,+2kbx+b,2,-m,2,=0,故,于是直线,OM,的斜率,即,k,OM,k,=-9,所以直,线,OM,的斜率与,l,的斜率的积是定值,.,(2),四边形,OAPB,能为平行四边形,.,因为直线,l,过点,所以,l,不过原点且与,C,有两个交点的,充要条件是,k0,k3.,由,(1),得,OM,的方程为,y=,设点,P,的横坐标为,x,P,.,将点 的坐标代入,l,的方程得,四边形,OAPB,为平行四边形,当且仅当线段,AB,与线段,OP,互,相平分,即,x,P,=2x,M,.,于是,解得,因为,k,i,0,k,i,3,i=1,2,所以当,l,的斜率为,4-,或,4+,时,四边形,OAPB,为平行四边形,.,【,规律方法,】,求解定值问题的两大途径,(1),首先由特例得出一个值,(,此值一般就是定值,),然后证明定值,:,即将问题转化为证明待证式与参数,(,某些变量,),无关,.,(2),先将式子用动点坐标或动线中的参数表示,再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值,.,【,变式训练,】,(2016,中原名校联盟二模,),已知椭圆,C:,(ab0),的左、右焦点分别为,F,1,F,2,点,B(0, ),为短轴的一个端点,OF,2,B=60,.,(1),求椭圆,C,的方程,.,(2),如图,过右焦点,F,2,且斜率为,k(k0),的,直线,l,与椭圆,C,相交于,D,E,两点,A,为椭圆的,右顶点,直线,AE,AD,分别交直线,x=3,于点,M,N,线段,MN,的中点为,P,记直线,PF,2,的斜率为,k.,试问,k,k,是否为定值,?,若为定值,求出该定值,;,若不为定值,请说明理由,.,【,解析,】,(1),由条件可知,a=2,b= ,故所求椭圆方程为,(2),设过点,F,2,(1,0),的直线,l,方程为,:y=k(x-1).,由 可得,:(4k,2,+3)x,2,-8k,2,x+4k,2,-12=0,因为点,F,2,(1,0),在椭圆内,所以直线,l,和椭圆都相交,即,0,恒,成立,.,设点,E(x,1,y,1,),D(x,2,y,2,),则,因为直线,AE,的方程为,:,y= (x-2),直线,AD,的方程为,:y= (x-2),令,x=3,可得,所以点,P,的坐标,直线,PF,2,的斜率为,k=,所以,k,k,为定值,- .,【,加固训练,】,如图所示,在平面直角坐标,系,xOy,中,设椭圆,E: =1(ab0),其中,b= a,过椭圆,E,内一点,P(1,1),的两条直线分别与椭圆,交于点,A,C,和,B,D,且满足,其中,为正,常数,.,当点,C,恰为椭圆的右顶点时,对应的,= .,(1),求椭圆,E,的离心率,.,(2),求,a,与,b,的值,.,(3),当,变化时,k,AB,是否为定值,?,若是,请求出此定值,;,若不是,请说明理由,.,【,解题导引,】,(1),由,b= a,求离心率,.,(2),由,时,C,为椭圆的右顶点,求点,A,坐标,代入椭圆方程,求,a,b,.,(3),设出点,A,B,C,D,的坐标,利用点差法求,k,AB,与,k,CD,再根据,k,AB,=,k,CD,求解,.,【,解析,】,(1),因为,b= a,所以,b,2,= a,2,得,a,2,-c,2,= a,2,所以,e,2,= ,e= .,(2),因为,C(a,0),= ,所以由,得,将它代入到椭圆方程中,得,解得,a=2(,负值舍去,),所以,a=2,b= .,(3),设,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),C(x,3,y,3,),D(x,4,y,4,),由,得 同理,将,A,B,坐标代入椭圆方程得,两式相减得,3(x,1,+x,2,)(x,1,-x,2,)+4(y,1,+y,2,)(y,1,-y,2,)=0,即,3(x,1,+x,2,)+4(y,1,+y,2,)k,AB,=0,同理,3(x,3,+x,4,)+4(y,3,+y,4,)k,CD,=0,而,k,AB,=k,CD,所以,3(x,3,+x,4,)+4(y,3,+y,4,)k,AB,=0,所以,3(x,3,+x,4,)+4(y,3,+y,4,)k,AB,=0,所以,3(x,1,+x,3,+x,2,+x,4,)+4(y,1,+y,3,+y,2,+y,4,)k,AB,=0,即,6(1+)+8(1+)k,AB,=0,所以,k,AB,=-,为定值,.,热点考向三,圆锥曲线中的存在性问题,命题解读,:,以直线与圆锥曲线的位置关系为背景,考查学生分析问题和解决问题的能力,.,命题角度一点、线的存在性问题,【,典例,3】,(2016,临汾二模,),已知椭圆,C:,(ab0),的离心率为,以原点,O,为圆心,椭圆,C,的长半,轴长为半径的圆与直线,2x- y+6=0,相切,.,(1),求椭圆,C,的标准方程,.,(2),已知点,A,B,为动直线,y=k(x-2)(k0),与椭圆,C,的两个,交点,问,:,在,x,轴上是否存在定点,E,使得,为定值,?,若存在,试求出点,E,的坐标和定值,;,若不存在,请说明理由,.,【,题目拆解,】,解答本题第,(2),问,可拆解成两个小题,:,假设存在定点,E(m,0),把,用,k,m,表示,;,寻找满足定值需要的条件,.,【,规范解答,】,(1),由,e=,得,即,c= a,又以原点,O,为圆心,椭圆,C,的长半轴长为半径的圆为,x,2,+y,2,=a,2,且与直线,2x- y+6=0,相切,所以,a=,代入得,c=2,所以,b,2,=a,2,-c,2,=2.,所以椭圆,C,的标准方程为,(2),由 得,(1+3k,2,)x,2,-12k,2,x+12k,2,-6=0.,设,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),所以,根据题意,假设,x,轴上存在定点,E(m,0),使得,为定值,.,则,=(x,1,-m,y,1,),(x,2,-m,y,2,)=(x,1,-m)(x,2,-m)+y,1,y,2,=(k,2,+1)x,1,x,2,-(2k,2,+m)(x,1,+x,2,)+(4k,2,+m,2,),要使上式为定值,即与,k,无关,3m,2,-12m+10=3(m,2,-6),得,m= .,此时,所以在,x,轴上存在定点,E,使得,为定值,值为,- .,命题角度二字母参数值的存在性问题,【,典例,4】,(2016,长沙二模,),如图,在平面直角坐标系,xOy,中,已知,F,1,F,2,分别是椭圆,E: (ab0),的左、,右焦点,A,B,分别是椭圆,E,的左、右顶点,D(1,0),为线段,OF,2,的中点,且,(1),求椭圆,E,的方程,.,(2),若,M,为椭圆,E,上的动点,(,异于点,A,B),连接,MF,1,并延长交椭圆,E,于点,N,连接,MD,ND,并分别延长交椭圆,E,于点,P,Q,连接,PQ,设直线,MN,PQ,的斜率存在且分别为,k,1,k,2,.,试问是否存在常数,使得,k,1,+k,2,=0,恒成立,?,若存在,求出,的值,;,若不存在,说明理由,.,【,解题导引,】,(1),根据条件,D(1,0),为线段,OF,2,的中点,且,以及,a,2,=b,2,+c,2,即可求解,.(2),将直线,MD,的方,程与椭圆方程联立,利用根与系数的关系即可建立,k,1,k,2,所满足的一个关系式,从而可探究,的存在性,.,【,规范解答,】,(1),因为,所以,因为,a+c,=5(a-c),化简得,2a=3c,点,D(1,0),为线段,OF,2,的,中点,所以,c=2,从而,a=3,b= ,左焦点,F,1,(-2,0),故椭圆,E,的方程为,(2),存在满足条件的常数,=- ,设,M(x,1,y,1,),N(x,2,y,2,),P(x,3,y,3,),Q(x,4,y,4,),则直线,MD,的方程为,x=,代入椭,圆方程,整理得,所以,y,1,+y,3,=,所以,y,3,=,从而,x,3,=,故点,同理,点,因为三点,M,F,1,N,共线,所以,从而,x,1,y,2,-x,2,y,1,=2(y,1,-y,2,),从而,故,k,1,- =0,从而存在满足条件的常数,=- .,【,规律方法,】,存在性问题求解的思路及策略,(1),思路,:,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在,;,若结论不正确,则不存在,.,(2),策略,:,当条件和结论不唯一时要分类讨论,;,当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件,.,【,变式训练,】,(2016,哈尔滨二模,),已知椭圆,C: (ab0),的焦,点分别为,F,1,(- ,0),F,2,( ,0),点,P,在椭圆,C,上,满足,|PF,1,|=7|PF,2,|,tanF,1,PF,2,=4 .,(1),求椭圆,C,的方程,.,(2),已知点,A(1,0),试探究是否存在直线,l,:y,=,kx+m,与椭圆,C,交于,D,E,两点,且使得,|AD|=|AE|?,若存在,求出,k,的取值范围,;,若不存在,请说明理由,.,【,解析,】,(1),由,|PF,1,|=7|PF,2,|,PF,1,+PF,2,=2a,得,由余弦定理得,cos,F,1,PF,2,=,所以,a=2,所以所求,C,的方程为,+y,2,=1.,(2),假设存在直线,l,满足题设,设,D(x,1,y,1,),E(x,2,y,2,),将,y=,kx+m,代入,+y,2,=1,并整理得,(1+4k,2,)x,2,+8kmx+4m,2,-4=0,由,=64k,2,m,2,-4(1+4k,2,)(4m,2,-4)=-16(m,2,-4k,2,-1)0,得,4k,2,+1m,2,又,x,1,+x,2,=,设,D,E,中点为,M(x,0,y,0,),k,AM,k,=-1,得,m= ,将代入,得,4k,2,+1,化简得,20k,4,+k,2,-10(4k,2,+1)(5k,2,-1),0,解得,k,或,k- ,所以存在直线,l,使得,|AD|=|AE|,此时,k,的取值范围为,
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