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*,*,江西五十铃发动机有限公司,技术中心,/33,江西五十铃发动机有限公司,技术中心,/33,*,江西五十铃发动机有限公司,技术中心,/33,*,1,杆系结构的有限元法,主讲人：杨红林,2014.07.25,1杆系结构的有限元法,2,目录,一、杆系结构的概念与分析原理,1,、杆系结构定义,2,、杆系结构离散与单元分析,3,、平面杆单元的坐标变换,4,、整体刚度矩阵的组装,5,、整体刚度方程的求解,二、杆系结构算例,1,、阶梯直杆算例,2,、桁架结构算例,2目录,3,一、杆系结构的概念与分析原理,1,、杆系结构的定义,由,有限根杆件在它们的端点处相互连接而成的结构。,2,、杆系结构的离散与分析,一般原则：杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺寸突变处等都应设置节点，节点之间的杆件即构成单元。,如图为桁架结构,3一、杆系结构的概念与分析原理1 、杆系结构的定义2 、杆系,4,F,节点,1,节点,2,点,2,单元,F,节点,3,节点,2,单元,如图为阶梯直杆的离散,对其中一个杆单元进行分析，设所需要的参数如下图：,根据势能变分原理，它的刚度矩阵为：,4F节点1节点2点2单元F节点3节点2单元如图为阶梯直杆,5,单元的刚度方程为：,其中,为节点力列阵；,为节点位移列阵。,3,、平面杆单元的坐标变换,工程实际中，整体坐标系和局部坐标系要相互转化。如下进行推导分析：,5单元的刚度方程为：其中为节点力列阵；为节点位移列阵。3 、,6,平面杆单元的坐标变换,局部坐标系中的节点位移为：,整体坐标系中的节点位移为：,两个坐标系下的等价变换关系为：,6平面杆单元的坐标变换局部坐标系中的节点位移为：整体坐标系中,7,写成矩阵形式为：,为坐标变换矩阵，即,下面推导整体坐标系下的刚度方程，根据势能变分原理可得单元势能为：,7写成矩阵形式为： 为坐标变换矩阵，即下面推导整体坐标,8,为整体坐标系下的单元刚度矩阵， 为整体坐标系下的节点力列阵，即：,由最小势能原理，对待定的节点位移列阵取极小值，可得到整体坐标系下的刚度方程,4,、整体刚度矩阵的组装,将所得到的各单元的刚度矩阵按节点编号进行组装，可得整体刚度矩阵，即,K= K,1,+ K,2,+ K,3,+ K,4,+ K,5,+ ,。组装步骤如下：,（,1,）计算局部坐标系下各个单元的刚度矩阵；,（,2,）计算各单元从局部坐标系到整体坐标系的转换矩阵；,（,3,）计算整体坐标系下各单元刚度矩阵；,（,4,）“对号入座”组装成整体刚度矩阵。,5,、整体刚度方程的求解,由于整体刚度矩阵是奇异的，它的行列式为零，不能立即求逆；整体分,8为整体坐标系下的单元刚度矩阵， 为整体坐标系下的节点,9,若结构的某些节点位移值为零时（即与刚性支座连接点的位移），则可将总体刚度矩阵中相应的行列删行删列划掉，然后将矩阵压缩即可求解。这种方法的优点是道理简单。如果删去的行列很多，则总体刚度矩阵的阶数可大大缩小。例如整体刚度方程为：,去行去列法,析时，结构处于自由状态，在节点载荷的作用下，结构可以产生任意的刚体位移，不能通过平衡方程唯一地解出节点位移，故需处理边界条件。方法有删行删列法、分块法、对角元素置一法、乘大数法。,边界条件为： ，根据边界条件去行去列，如上图，,9 去行去列法析时，结构处于自由状态，在节点载荷,10,二、杆系结构算例,1,、阶梯直杆算例,算例一：,求解所示阶梯直杆的力学参量，材料参量和参数为：,则去行去列后有：,这样就求得节点位移，进而可求支反力、单元应变和单元应力等。,10二、杆系结构算例1、阶梯直杆算例算例一：则去行去列后有：,11,图,1,：三连杆结构的受力状况,1,）节点编号和单元划分,图,2,：各单元的节点位移和外力,2,）计算各单元的单元刚度方程,单元的刚度方程为：,11图1：三连杆结构的受力状况1）节点编号和单元划分图2：各,单元的刚度方程为：,单元的刚度方程为：,3,）组装各单元刚度方程,整体结构由各个单元按一定连接关系组合而成。,12,单元的刚度方程为：单元的刚度方程为：3）组装各单元刚度方,就是节点,1,、,2,、,3,、,4,上的合成节点力。即,由已知得：,为支座的支反力。,将材料参数和几何尺寸参数代入得：,4,）处理边界条件并求解,结构的位移边界条件为：,并将已知的节点位移和节点力代入得：,13,就是节点1、2、3、4上的合成节点力。即由已知得：为支座的支,求解上述方程，有：,5,）求支反力,由上面的方程，可得支反力为：,6,）求各个单元的应变和应力,根据应力和应变的定义可得：,14,求解上述方程，有：5）求支反力6）求各个单元的应变和应力14,这样求得各个单元的应力与应变。,15,算例二：,所示的四杆桁架结构，各杆的弹性模量和横截面积都为,，试求解该结构的节点位移，单元应力和支反力。,2,、桁架结构算例,这样求得各个单元的应力与应变。15算例二：，试求解该结构的节,16,四杆桁架结构,（,1,）结构的离散化及编号,对结构进行离散，单元编号和节点编号，有关单元和节点的信息见表。,四杆桁架结构节点及坐标,16四杆桁架结构（1）结构的离散化及编号四杆桁架结构节点及坐,17,可编辑,17可编辑,18,四杆桁架结构的单元编号及对应节点,各单元的长度及轴线方向余弦,（,2,）各个单元的矩阵描述,在整体坐标系下对节点位移和单元刚度矩阵进行表达，各单元经坐标变换后的刚度矩阵如下：,18四杆桁架结构的单元编号及对应节点各单元的长度及轴线方向余,19,19,20,（,3,）建立整体刚度矩阵,将各个单元刚度矩阵按节点编号进行组装，形成整体刚度矩阵；同时将所有节点载荷进行组装。,刚度矩阵：,节点位移：,节点力：,20（3）建立整体刚度矩阵刚度矩阵：节点位移：节点力：,21,整体刚度方程为：,（,4,）边界条件的处理及刚度方程求解,边界位移条件为：,化简后有：,21整体刚度方程为：（4）边界条件的处理及刚度方程求解化简后,22,对该方程进行求解，有,则所有的节点位移为：,（,5,）各单元应力的计算,同理，可求出其他单元的应力,22对该方程进行求解，有则所有的节点位移为：（5）各单元应力,23,（,6,）支反力的计算,根据整体刚度方程，可求得结果为,23（6）支反力的计算,24,算例三：,五杆桁架结构，各杆的弹性模量与截面积为,E= pa,，,A=,，,P=2000N,，求结构的节点位移、支反力和单元应力。,五杆桁架结构,（,1,）结构离散与编号,结构离散后进行节点编号与单元编号，有关节点与单元的信息见下表。,节点,X,Y,1,0,0,2,100,0,3,200,0,4,100,100,桁架结构节点及坐标,24算例三：五杆桁架结构（1）结构离散与编号节点XY1002,25,单元,对应节点,1,2,2,3,4,3,4,2,1,4,桁架结构的单元及对应编号,单元,L,n,x,n,y,100,1,0,100,1,0,100,/2,- /2,100,0,-1,100,/2,/2,各单元长度及方向余弦,（,2,）单元分析,求出各杆单元的坐标转换矩阵及刚度矩阵,T,1,=,25单元对应节点1223434214桁架结构的单元,26,=,T,2,=20 ,K,2,=,T,3,=,T,4,=,T,5,K,1,=,26=T2=20 K2 =T3 =T4 =T5K1=,27,K,3,= ,K,4,=20 ,K,5,= ,（,3,）整体分析,将各单元刚度矩阵按节点编号进行组装，可得整体刚度矩阵。,刚度矩阵：,K= K,1,+ K,2,+ K,3,+ K,4,+ K,5,节点位移：,q=,27K3= K4=20 K5= （,28,节点力：,p=,整体刚度方程为,=,（,4,）刚度方程求解,边界条件为： ，代入方程化简后有,28节点力：p=整体刚度方程为=（4）刚度方程求解,29,对方程求解，则所有的节点位移为,mm,求解整体刚度方程，可得支反力为,29对方程求解，则所有的节点位移为mm求解整体刚度方程，可得,30,（,5,）各单元应力的计算,=,同理，可求出其他单元的应力,30（5）各单元应力的计算=同理，可求出其他单元的应力,Thank You,31,Thank You31,32,可编辑,32可编辑,
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