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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,回顾复习,可靠度,R(t),产品在规定条件下和规定时间内完成规定功能的概率。,失效率,(t),工作到某时刻,t,时尚未失效或故障的产品，在,t,时刻以后的下一个单位时间内发生失效或故障的概率。,可靠性指标及其内在关系,第二章 不可修复系统的可靠性,2.1,可靠性功能逻辑图,2.2,串联系统,2.3,并联系统,2.4,混联系统,2.5,表决系统,2.6,旁联系统,2.7,网络系统,1,可靠性功能逻辑图,就其,功能,研究系统可靠性。,可靠性逻辑图：,系统与单元,功能间,的逻辑关系图,建立可靠性功能逻辑框图，不能从结构上而应从功能上研究系统类型,1,可靠性功能逻辑图,B,A,C2,C1,例,1,：,逻辑关系？,1,可靠性功能逻辑图,如果分析的是短路失效，只要一个短路，系统即短路。其系统逻辑框图为：,如果分析的是开路失效，当两个电容同时失效，才会引起系统失效。其逻辑框图为：,A,B,C1,C2,A,B,C1,C2,1,可靠性功能逻辑图,例,2,：,A,B,1,2,逻辑关系？,1,可靠性功能逻辑图,如果研究的是液体,“,流通,”,：,1,、,2,都实现自己的功能,“,开启,”,，系统才能实现液体,“,流通,”,。其逻辑框图为：,如果研究的是液体,“,被截流,”,：,1,、,2,只要有一个功能正常,“,关闭,”,，系统就可实现,“,被截流,”,。其逻辑框图为：,A,B,1,2,A,B,1,2,1,可靠性功能逻辑图,若已知逻辑图和每个单元的工作概率或故障概率，则通过适当的运算，可求得整个系统的工作概率（可靠度）、故障概率（不可靠度）、,MTTF,等可靠性特征量（指标）。,主要研究几种常用的典型系统及其可靠性特征量的计算方法。,假设：, 系统、单元均有两种状态正常与失效；, 各单元所处的状态是相互独立的。,2,串联系统,特征：,n,个单元全部正常工作时，系统正常工作； 只要有一个单元失效，系统即失效。,设： 系统正常工作状态, 系统故障状态, 单元,i,处于正常工作状态（,i,1,，,2,，,，,n,）, 单元,i,处于故障状态（,i,1,，,2,，,，,n,）,1,2,n,A,B,2,串联系统,则,A, , ,2,串联系统,由上式：,（,A,i,之间相互独立）,上式表明，,在串联系统中，系统的可靠度是元件,(,单元,),可靠度乘积,。, ,1,，, ,1,， 而且 ,即串联子系统的可靠度比任一单元要小。,因此，,提高最低可靠度单元（薄弱环节）的可靠度,效果会更好。,2,串联系统,若各单元服从指数分布，, ,由此可知，串联后仍服从指数分布：,s, ，,s, 。,3,并联系统,特征：,任一单元正常工作，子系统即正常工作,;,只有所有单元均失效，系统才失效,。,设：,A, 系统正常状态, 系统故障, 单元,i,处于正常工作状态（,i,1,，,2,，,，,n,）, 单元,i,处于故障状态,1,2,3,A,B,3,并联系统,则 ,（设各单元状态相互独立）, , , ,3,并联系统,若各单元寿命均服从指数分布，,i,，,当,n,2,时，,3,并联系统,经分析，并联系统 ,之最大值，,n,越大， 越高，但并联单元多，结构尺寸大，重量、造价高，且,通常取,n,2,3,。,n,缓慢,4,混联系统,一般混联系统（由串联、并联混合组成的系统）,1,2,3,4,5,6,7,8,子系统,S,1,6,7,S,2,8,等效单元,8,S,4,S,3,4,混联系统,其中,4,混联系统,串并联系统,11,21,m,1,1,12,22,m,2,2,1n,2n,m,n,n,ij,第,j,列,i=1,2,m,j=1,2,n,4,混联系统,每一列视为一个子系统，求出各子系统的,R,j,，再相乘即得,R,s, ,当,m,1,m,2,m,n,m,，且 时，,4,混联系统,并串联系统,11,i=1,2,m,j=1,2,n,第,i,行,12,1n,1,21,22,2n,2,m,1,m,2,mn,m,ij,4,混联系统,每一行视为一个子系统，求出各子系统的,R,i,，再求得,R,s,当,n,1,n,2,n,m,n,， 时，,5,表决系统（,r/n,）,特征：,n,个单元中只要有,r,个单元正常工作系统就能正常工作,。,设：,A,i, 单元,i,处于正常工作状态（,i,1,，,2,，,3,）,A, 系统处于正常工作状态,则,A,设,A,i,间相互独立，但事件,：,A,1,A,2,，,：,A,1,A,3,，,：,A,2,A,3,，,，,，,相容,1,2,n,r/n,以,1,2,3,2/3,为例,5,表决系统（,r/n,）,P,（,A,）,P(A1A2),P(A1A3),P(A2A3), P(),P(),P(),P ,P(A1A2),P(A1A3),P(A2A3), P(A1A2A3),P(A1A2A3),P(A1A2A3),P(A1A2A3),P(A1A2),P(A1A3),P(A2A3),2 P(A1A2A3),P(A1)P(A2),P(A1)P(A3),P(A2)P(A3),2P(A1)P(A2) P(A3), ,-2,5,表决系统（,r/n,）,当各单元相同时：, ； ,5,表决系统（,r/n,）,对上述,“,2/3,”,子系统也可以表示为：,由此，按前述并、串联系统的计算方法即可求得系统的可靠性特征量。,1,2,3,3,2,1,5,表决系统（,r/n,）,一般，对于,n,个相同单元（ ）组成的,r/n,表决系统，由于各单元只有两个状态，因此,r/n,系统可靠度 可表示为：,i,为正常工作单元数，,i,r,，,r,1,，,，,n,时系统都可正常工作。,式中：,5,表决系统（,r/n,）,又,r/n,系统，当,r,n,时，,n/n,系统，即为串联系统,当,r,1,时，,1/n,系统，即为并联系统,各系统单元相同，且均服从指数分布时，失效率为,；,则 ,此时 ,用数学归纳法可以证明：,(1),5,表决系统（,r/n,）,当,i,1,时，, ,上式成立。,设,i,k,（,1k,n,）时等式成立，,即 ,(2),证明,i,k,1,时，上式（,1,）成立：,i,k,1,时：,5,表决系统（,r/n,）,i,k,1,时，（,1,）成立，, （,1,）式成立。,6,旁联系统（非工作贮备系统）,设贮备单元完全可靠（由于单元受环境的影响，单元贮备期间也可能失效，此部分内容这里不讲，而只讲贮备单元完全可靠的情况）,1,2,n,故障检测和转换装置,R,0,(t),6,旁联系统（非工作贮备系统）,转换装置完全可靠（,R,0,(t),1,）,设,T,1,，,T,2,，,，,T,n,为,1,n,个单元的寿命，随机变量，且两两相互独立,则系统寿命 随机变量：,T,s,T,1,T,2,T,n,系统可靠度：,P,（,T,s,t,）,P,（,T,1,T,2,T,n,t,）,系统平均寿命：, 单元,i,的平均寿命,6,旁联系统（非工作贮备系统）,下面以两个单元组成的旁联系统为例，说明上式 的计算方法。,设两单元：,T,1,、,T,2,均服从指数分布，失效率分别为,1,、,2,则,f,1,(t), ，,f,2,(t),6,旁联系统（非工作贮备系统）,P(T,s,t),: T,s,T,1,T,2,的概率密度函数,T,s,T,1,T,2, 即,f,1,(t),和,f,2,(t),的卷积。,两边取拉普拉斯变换：, ,由上式：, ， ,（用到： ； ）,6,旁联系统（非工作贮备系统）,代入上式即可得,6,旁联系统（非工作贮备系统）,对两个相同单元组成的旁联系统，用上述同样方法得,对,n,个不同单元组成的旁联系统,6,旁联系统（非工作贮备系统）,6,旁联系统（非工作贮备系统）,转换装置不完全可靠（服从指数分布）,仍以个单元组成的旁联系统为例,1,分布函数（或不可靠度）,6,旁联系统（非工作贮备系统）,6,旁联系统（非工作贮备系统）,6,旁联系统（非工作贮备系统）,转换装置不完全可靠。,（不使用时,=0,，使用时,(t) = = c,）,单元,1,先投入使用，单元,1,失效时，转换装置投入使用， 此时转换装置有两种可能,：,失效： 系统寿命为 ，失效概率为,1-R,0,正常： 系统寿命为 ，正常概率为,R,0,6,旁联系统（非工作贮备系统）,此时：,对指数分布：,6,旁联系统（非工作贮备系统）,时,对由,n,个相同指数单元组成的旁联系统，经推导可得,：,网络系统,除前面介绍的串联、并联和表决等典型模型外，还有一般网络模型，如通性网络，交通网络，电路网络等,本节讨论网络模型常用的,R,分析方法，网络由节点和节点间的连线,(,弧或单元,),连接而成，假设弧,(,单元,),和系统只有两种可能状态,正常,或,失效,。弧,(,或单元,),之间相互独立,。,网络系统,例如,也可表示为：,1,2,3,4,网络系统,全概率分解法,根据全概率公式,其中，,=1,(,全集,),互不相容,网络系统,设,x ,某被选单元正常状态,(,事件,),某被选单元故障状态,(,事件,),S,系统正常状态,系统故障状态,则有,：,网络系统,则,同理可写出：,其中,：,表示单元,x,正常时子系统故障状态的概率,表示单元,x,故障时子系统故障状态的概率,若,S (x),单元正常时的子系统（正常状态）,S(,),单元故障时的子系统（正常状态）,网络系统,例如 ：,1,2,3,4,5,按单元展开：如图,a,b,（）,正常时（短路）,（）,故障时（断路）,网络系统,可转化为：,全概率分解法的关键是选择合适的单元进行展开，对于,更为复杂的网络系统，可按此原理逐级分解，将其转化,为一般的串并联，从而求出全系统的可靠性。,网络系统,布尔真值表法（穷举法）,n,个单元组成的网络系统，各单元均有“正常”和“失效”,2,种状态，则系统就有,2,n,种（微观）状态。,对这个,状态逐一分析，判断系统的状态是“正常”还是“故障”，由于各状态互斥。因此所有正常工作状态的概率之和就是系统的可靠度。,例如：,1,2,3,4,故障,正常,网络系统,共有,32,微观状态,系统,.,网络系统,网络中有一些弧或单元，当这些弧正常时，网络就正常，这些弧的集合称为路集，若路集中除去任一弧，就不能仍为路集，这种路集称为最小路集。,最小路集法,路：连接任意两节点间由有向弧组成的弧的集合，称为这两个节点的一条路，或称道路。,如,，,网络系统,路集：由输入节点到输出节点的所有路的集合，称为路集,最小路：如果一条路中移去一条弧后就不再构成路，则称这条路为最小路。,最小路集：由最小路构成的集合。,具有,n,个节点的网络的最小路集的最大路长为,n,1,。,求最小路集的方法：有联络矩阵法、网络遍历法（计算机求解）等，主要介绍联络矩阵法。,网络系统,联络矩阵法,给定一个有,n,个节点的网络,s,（有向、无向或混合型），定义相应的,n,阶矩阵,其中,若节点,i,到,j,之间有弧直接相连,若节点,i,到,j,之间无弧直接相连,称,c,为网络,s,的联络矩阵（或关联矩阵）,网络系统,例如网络,s,1,2,3,4,网络系统,联络矩阵的乘方规则,定义,其中,显然,，,表示节点,i,到节点,j,的长度为,2,的最小路集的全体,.,同理,所以从任意节点,i,到节点,j,的所有最小路集可表示为：,（,=,）,（ 路长,r=1,2,n-1,）,网络系统,由于,n,个节点网络的最小路集的最大路长为,n-1,，因此当,r,n,时，必有,0,例如：求上例从,1,到,4,最小路集,当,r=1,时,网络系统,当,r=2,时,网络系统,当,r=3,时,网络系统,系统,S,的最小路集为,S=,注：集合运算,网络系统,b,搜索法,可以用建搜索树的方法求解,如上例,s=,网络系统,由最小路集求系统可靠度（正常工作概率）,设某网络共有,m,个最小路集,最小路集存在，足以使网络正常，,，,任意,因此网络正常事件,可表示为,第,i,个最小路集存在的事件,网络系统正常工作的概率（可靠度）,网络系统,仍以上述网络为例,已知,且各弧正常工作的概率事件之间相互独立,网络系统,应用上式：,网络系统,类似方法：,利用上式可得：,网络系统,（,4,）最小割集法,网络中的一些弧（或单元），当这些弧失效时，网络就失效，这些弧的集合称为割集，若由割集中去掉任何一个弧，就不能仍为割集，这种割集称为最小割集,。,设,系统即失效，,为系统的,k,个最小割集，任一最小割集发生,失效，,因此系统,失效事件,B,为：,网络系统,则系统的失效概率（不可靠度）,如割集：,则,作业：,有,旁联系统（非工作贮备系统）如下图所示。,1.,转换装置不完全可靠（服从指数分布）,仍以个单元组成的旁联系统为例,1,求系统的可靠性和平均寿命，要求有详细的推导过程,2.,转换装置不完全可靠。,（不使用时,=0,，使用时,(t) = = c,）,单元,1,先投入使用，单元,1,失效时，转换装置投入使用， 此时转换装置有,2,种可能,：,失效： 系统寿命为 ，失效概率为,1-R,0,正常： 系统寿命为 ，正常概率为,R,0,求系统的可靠性和平均寿命，要求有详细的推导过程,
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