差分与等距节点newton插值

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第四节 差分与等距节点newton插值,5.5.1、差分及其性质,5.5.2、,等距节点插值公式,5.5.3、例题分析,9/13/2024,1,在实际应用Newton插值多项式时，经常遇到插值,节点是等距的情况，此时可以简化Newton插值公式。,个插值节点：,已知,其中,为步长,于是在差商中，,分母部分将变得简单，,计算量主要集中在分子（两节点处函数值,的差）。,分析差商的形式，引入差分概念,当插值节点x,0,x,1,x,n,分布等距时，,也即,h=x,k+1,-x,k, k=0,1,2,n-1,一、差分及其性质,9/13/2024,2,定义5.5.1.,一阶中心差分,9/13/2024,3,依此类推,9/13/2024,4,向前差分算子，,差 分,9/13/2024,5,引入下列常用算子符号：,并称I为恒等算子，E为移位算子，各算子之间如下关系,故,同理,9/13/2024,6,差分的性质,性质5.5 常数的差分等于零,性质5.6 函数值可以表示各阶差分,9/13/2024,7,9/13/2024,8,性质5.7,9/13/2024,9,性质5.8,9/13/2024,10,差分与导数的关系：,9/13/2024,11,9/13/2024,12,差分表,9/13/2024,13,5.5.2、Newton插值公式,由差商与向前差分的关系,Newton插值基本公式为,如果假设,1.Newton向前(差分)插值公式,计算x,0,点附近的值,9/13/2024,14,则插值公式,化为,9/13/2024,15,此公式为牛顿,向前,插值公式，其余项为,9/13/2024,16,类似有牛顿,向后,插值公式,等距节点插值公式,9/13/2024,17,等距节点插值公式,:牛顿向前插值公式、牛顿向后插值公式。,9/13/2024,18,例1,分别作出 f(x)=x,2,+x+1 的前差和后差表。,解: 前差表见表47; 后差表见表48,表 47,三、例题分析,9/13/2024,19,表,4,8,9/13/2024,20,例2,给出正弦函数sinx由x=0.4到0.7的值(h=0.1),试分别用牛顿前差和后差公式计算sin0.57891的近似值。,解： 作差分表49。,表 4,9/13/2024,21,利用牛顿前差公式,9/13/2024,22,利用牛顿后差公式,9/13/2024,23,为使用牛顿插值公式，先构造差分表.,例3,给出 在,处的函数值，试用4次等距节点插值公式计算 及,的近似值并估计误差.,解,根据题意，插值条件为,由于 接近 ，所以应用牛顿向前插值公式计算,的近似值.,9/13/2024,24,(注意：表中带下划线的数据为 点的各阶向前差分，双下划线为 点的各阶向后差分 .),9/13/2024,25,取,则,用表2-4上半部的各阶向前差分，得,9/13/2024,26,由余项公式（4.11）得误差估计,其中,（4.11）,9/13/2024,27,于是,计算 应使用牛顿向后插值公式，,用差分表2-4中下半部的各阶向后差分，得,这里,9/13/2024,28,其中,由余项公式,（,4.13）得误差估计,（4.13）,9/13/2024,29,