第六章-样本及抽样分布课件

单击此处编辑母版标题样式,第六章 样本及抽样分布,第六章 样本及抽样分布,第一节 引言,在概率论中，概率分布通常被假定为已知的，而一切问题的解决均基于已知的分布进行的。,但在实际问题中，情况往往并非如此。,例,6-1,第一节 引言 在概率论中，概率分布通常被假定为已知的,第二节 总体与样本,一、总体与个体,二、样本,三、小结,第二节 总体与样本一、总体与个体二、样本三、小结,一、总体与个体,1.,总体,研究对象的全体称为总体,.,在研究2000名学生的年龄时, 这些学生的年龄的全体就构成一个总体, 每个学生的年龄就是个体.,2.,个体,构成总体的每个成员称为个体,.,实例,1,一、总体与个体1. 总体研究对象的全体称为总体.,某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的总体中, 个体的总数就是10月份生产的灯泡数, 这是一个有限总体; 而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成的总体是一个无限总体, 它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命.,3.,有限总体和无限总体,实例,2,当有限总体包含的个体的总数很大时, 可近似地将它看成是无限总体.,某工厂10月份生产的灯泡寿命所组,4.,总体分布,在2000名大学一年级学生的年龄中, 年龄指标值为“15”，“16”，“17”，“18”，“19”，“20” 的依次有9，21，132，1207，588，43 名, 它们在总体中所占比率依次为,实例,3,即学生年龄的取值有一定的分布.,4. 总体分布 在2000名大学,一般地, 我们所研究的总体, 即研究对象的某项数量指标,X,其取值在客观上有一定的分布, 是一个随机变量.,总体分布的定义,我们把数量指标取不同数值的比率叫做总体分布,.,如,实例,3,中, 总体就是数集 15, 16, 17, 18, 19, 20.,总体分布为,一般地, 我们所研究的总体, 即研究对象的某项数量指标 X,二、样本,1.,样本的定义,二、样本1. 样本的定义,2.,简单随机抽样的定义,最常用的“,简单随机抽样,”有如下两个要求：,（,1,）样本具有随机性,（,2,）样本要有独立性,即要求总体中每一个个体都有同等机会被选入样本，这便意味着每一个样品 与总体 有相同的分布,.,即要求样本中每一样品的取值不影响其他样品的取值，这意味着 相互独立,.,用简单随机抽样方法得到的样本称为,简单随机样本,，简称,样本,2. 简单随机抽样的定义最常用的“简单随机抽样”有如下两个要,根据简单随机样本定义得:,又若,X,为离散型随机变量，,样本分布是指,样本的联合分布,根据简单随机样本定义得:又若X为离散型随机变量，样本分布是指,解,例,6-6,解例6-6,解,例,6-7,考虑电话交换台,1,小时内的呼唤次数,X,，求来自这一总体的简单随机样本,x,1,x,2,x,n,的样本分布。,由概率论知识，,X,服从泊松分布,P,(,),，其概率函数为,因此简单随机样本,x,1,x,2,x,n,的样本分布为,解例6-7 考虑电话交换台1小时内的呼唤次数X，求来自这一总,解,练习,解练习,第六章-样本及抽样分布课件,三、小结,个体 总体,有限总体,无限总体,基本概念:,说明,1,一个总体对应一个随机变量,X,我们将不区分总体和相应的随机变量, 统称为总体,X,.,说明,2,在实际中遇到的总体往往是有限总体, 它对应一个离散型随机变量; 当总体中包含的个体的个数很大时, 在理论上可认为它是一个无限总体.,样本,三、小结个体 总体有限总体无限总体基本概念:说明1一个,第三节 统计量及其分布,一、基本概念,二、常见分布,三、小结,第三节 统计量及其分布一、基本概念二、常见分布三、小结,一、基本概念,1.,统计量的定义,一、基本概念1. 统计量的定义,是,不是,实例,1,是不是实例1,2.,经验分布函数,经验分布函数的做法如下:,与总体分布函数,F,(,x,),相应的统计量称为经验分布函数。,2. 经验分布函数经验分布函数的做法如下:与总体分布函数F(,第六章-样本及抽样分布课件,实例,2,则经验分布函数为,实例2则经验分布函数为,实例3,则经验分布函数为,实例3则经验分布函数为,例,6-9,则经验分布函数为,样本为,344 347 351 351 355,例6-9则经验分布函数为样本为344 347 351,说明：,对每一固定的,x,经验分布函数,F,n,(,x,),是样本中事件,x,i,x,发生的频率。,当,n,固定时，,F,n,(,x,),是样本的函数。由伯努利大数定律知，只要,n,充分大，则,F,n,(,x,),依概率收敛于总体分布函数,F,(,x,),。,当,n,充分大时，经验分布函数,F,n,(,x,),是总体分布函数,F,(,x,),的一个良好的近似。,说明：,3.,几个常用统计量,(1),样本均值（定义,6-2,）,在分组样本场合，样本均值的近似公式为,其中,k,为组数，,x,i,为第,i,组的组中值，,f,i,为第,i,组的频数。,例,6-10,3. 几个常用统计量(1)样本均值（定义6-2）在分组样本场,样本均值的性质,（,1,）若称样本中的数据与样本均值的差为,偏差,，则样本所有偏差之和为,0,，即,证明：,样本均值的性质 （1）若称样本中的数据与样本均值的差为,样本均值的性质,（,2,）数据观察值与均值的偏差平方和最小，即在形如 的函数中， 最小，其中,c,为任意给定的常数。,证明：,样本均值的性质 （2）数据观察值与均值的偏差平方和最小,对于样本均值的抽样分布，满足如下定理：,定理,6-1,对于样本均值的抽样分布，满足如下定理：定理6-1,(2),样本方差与样本标准差（定义,6-3,）,样本方差,样本标准差,称为,偏差平方和,例,6-11,(2)样本方差与样本标准差（定义6-3）样本方差样本标准差称,第六章-样本及抽样分布课件,对于样本均值的抽样分布，满足如下定理：,定理,6-2,由定理,6-1,显然有,下面证,证明,:,对于样本均值的抽样分布，满足如下定理：定理6-2 由定理6-,由于,又,因此,由于又因此,第六章-样本及抽样分布课件,例,1,解,例1解,由,契比雪夫不等式,由契比雪夫不等式,第六章-样本及抽样分布课件,例,2,解,P,例2解P,(2),且相互独立,(2) 且相互独立,由定理,6-2,由定理6-2,样本,k,阶原点矩,样本,k,阶中心矩,(3),样本矩（定义,6-4,）,注意：样本一阶原点矩就是样本均值。,注意：,k,=2,时，称为,二阶样本中心矩,，记为,s,n,2,样本 k 阶原点矩样本 k 阶中心矩(3)样本矩（定义6-4,(4),极大顺序统计量和极小顺序统计量,定义,6-5,(4) 极大顺序统计量和极小顺序统计量定义6-5,定理,6-3,证明,:,记,x,(1),和,x,(,n,),的分布函数分别为,F,1,(,x,),和,F,n,(,x,),定理6-3证明:记x(1)和x(n)的分布函数分别为F1(x,定理,6-3,证明,:,定理6-3证明:,例,解,例解,第六章-样本及抽样分布课件,二、常见分布（正态总体的抽样分布）,统计量的分布称为抽样分布,.,（三大抽样分布）,1.,二、常见分布（正态总体的抽样分布）统计量的分布称为抽样分布.,第六章-样本及抽样分布课件,性质,1,( 此性质可以推广到多个随机变量的情形. ),性质1( 此性质可以推广到多个随机变量的情形. ),性质,2,性质2,分位数的值,得,可以通过查表求,对于不同的,a,a,n,数,分布的分位数,2,c,分位数的值得可以通过查表求对于不同的aan数分布的分位数,附表4只详列到,n,=45,为止.,例,附表4只详列到 n=45 为止.例,解,例,2,),(,1,2,),16,(,),(,2,1,2,2,2,1,2,-,=,=,s,m,s,s,m,n,i,i,n,X,n,P,X,n,X,X,X,N,X,概率,求,的样本,为来自,设总体,L,解例 2)(12 , )16(, ,),第六章-样本及抽样分布课件,例,解,且它们相互独立,根据,独立同分布中心极限定理,5-4,(1),),1,(,2,100,2,1,分布,都具有,因为,c,X,2,X,2,X,2,L,例解且它们相互独立, 根据独立同分布中心极限定理5-4 ,第六章-样本及抽样分布课件,第六章-样本及抽样分布课件,2.,根据,F,分布的定义可知,2.根据F分布的定义可知,第六章-样本及抽样分布课件,分布的分位数,F,分布的分位数F,例4,例4,证明,证明,.,分位数,的一些,用来求分布表中未列出,a,. 分位数的一些用来求分布表中未列出a,t,分布又称,学生氏,(,Student,),分布,.,3.,t 分布又称学生氏(Student)分布.3.,当,n,充分大时, 其图形类似于标准正态变量概率密度的图形.,因为,当 n 充分大时, 其图形类似于标准正态变量概率密度的图形.,t,分布的一些重要事实,:,(1),自由度为,1,的,t,分布就是标准柯西分布,其均值不存在,;,(2),n,1,时,t,分布的数学期望存在且为,0;,(3),n,2,时,t,分布的方差存在且为,n,/(,n,-2),(4),当自由度较大,(,如,n,30,),时,t,分布可以用,N,(0,1),分布近似,.,t分布的一些重要事实:,由分布的对称性知,由分布的对称性知,例3,例3,4.,正态总体的样本均值与样本方差的抽样分布,定理,6-1,4. 正态总体的样本均值与样本方差的抽样分布定理6-1,定理,6-4,定理6-4,例,解,.,2,),(,1,2,),2,(,;,2,),(,1,2,),1,(,),16,(,),(,2,1,2,2,2,1,2,2,2,1,2,-,-,=,=,=,s,s,s,m,s,s,m,n,i,i,n,i,i,n,X,X,n,P,X,n,P,X,n,X,X,X,N,X,概率,求,的样本,为来自,设总体,L,例解.2)(12 )2( ;2)(12 )1(,第六章-样本及抽样分布课件,例,解,.,2,),(,1,2,),2,(,;,2,),(,1,2,),1,(,),16,(,),(,2,1,2,2,2,1,2,2,2,1,2,-,-,=,=,=,s,s,s,m,s,s,m,n,i,i,n,i,i,n,X,X,n,P,X,n,P,X,n,X,X,X,N,X,概率,求,的样本,为来自,设总体,L,例解.2)(12 )2( ;2)(12 )1(,第六章-样本及抽样分布课件,例,解,例解,第六章-样本及抽样分布课件,故所求概率为,故所求概率为,证明,且两者独立, 由,t,分布的定义知,推论,6-1,证明且两者独立, 由 t 分布的定义知推论6-1,推论,6-2,推论6-2,第六章-样本及抽样分布课件,证明,(1) 由定理,6-4,证明(1) 由定理6-4,(2),由于,(2)由于,第六章-样本及抽样分布课件,三、小结,两个最重要的统计量:,样本均值,样本方差,三个来自正态分布的抽样分布:,三、小结两个最重要的统计量:样本均值样本方差三个来自正态分布,