数学建模M01N

理学院 高阳,数学建模,办公室：根底楼三层306-3,答疑时间：每周一下午13:30,关于笔记,课上记笔记，来不及记的可先空下来,不管课上笔记记得是否完整，课后都要认真复习。把落下的补上，同时写下自己复习时的心得。,不定时抽查笔记作为平时成绩。,关于作业,每周第一节课交作业，由课代表收齐。,不要上课写作业，影响听课。,作业尽量独立完成，实在难以完成可参考同学或参考书，但不能当复印机。,作业可几个人一组，做完后互相评判，然后用别针别在一起交上来。,本课最低要求,不缺课,不缺交作业,认真记笔记,期末开卷考试,(60-30)/0.7=43,分以上,期末大作业,可以分组，,23,人一组，也可以单独完成,组内可以讨论，组间禁止抄袭，如发现雷同，所有试卷均为,0,分,试卷的格式参照今年国赛要求,参考书,数学建模根底，王兵团主编，清华大学出版社,数学建模方法及其应用，韩中庚 ，高等教育出版社,数学模型，姜启源，高等教育出版社,数学的实践与认识杂志，中国数学会,第一章 建立数学模型,第二章 初等模型,第三章 简单的优化模型,第四章 数学规划模型,第五章 微分方程模型,第六章 稳定性模型,第七章 差分方程模型,第八章 离散模型,第九章 概率模型,第十章 统计回归模型,第十一章 马氏链模型,第十二章 动态优化模型,(,不讲,),第十三章 其它模型,(,不讲,),高等数学,线性代数,最优化,运筹学,微分方程,图论,概率统计,第,一,章 建立数学模型,1.1 从现实对象到数学模型,1.2 数学建模的重要意义,1.3 数学建模例如,1.4 数学建模的方法和步骤,1.5 数学模型的特点和分类,1.6 怎样学习数学建模,第一次听说数学建模,什么时间？,什么人？,干什么的？,简单还是容易？,数学建模活动,全国大学生数学建模竞赛,美国大学生数学建模竞赛,中国石油大学,(,北京,),大学生数学建模竞赛,难！,你碰到过的数学模型“总体估计,二战中盟军怎样估计德国的坦克数目,?,更进一步，怎样估计一个自然保护区中某种动物的数目,.,你碰到过的数学模型“利息,银行的利率总是不定期的变化，假设2021-1-31日你在银行存了一笔1万元的一年期定期存款，存款利率是2.75%. 在2021-2-9日，银行将一年期定期存款利率调整为3%，活期存款利率还是0.36%. 请问是将这笔存款取出重新存还是不动？,这个问题是有一个临界日期的，请你们算出来。,你碰到过的数学模型“航行问题,用,x,表示船速，,y,表示水速，列出方程：,答：船速每小时,20,千米,.,甲乙两地相距,750,公里，船从甲到乙顺水航行需,30,小时，,从乙到甲逆水航行需,50,小时，问船的速度是多少,?,x,=,20,y,=,5,求解,航行问题建立数学模型的根本步骤,作出简化假设船速、水速为常数；,用符号表示有关量x, y表示船速和水速；,用物理定律匀速运动的距离等于速度乘以,时间列出数学式子二元一次方程；,求解得到数学解答x=20, y=5；,答复原问题船速每小时20千米.,玩具、照片、飞机、火箭模型,实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机,物理模型,地图、电路图、分子结构图,符号模型,模型是为了一定目的，对客观事物的一局部,进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物.,模型集中反映了原型中人们需要的那一局部特征.,1.1,从现实对象到数学模型,我们常见的模型,数学模型 (Mathematical Model) 和,数学建模Mathematical Modeling),对于一个,现实对象,，为了一个,特定目的,，,根据其,内在规律,，作出必要的,简化假设,，,运用适当的,数学工具,，得到的一个,数学表述,.,建立数学模型的全过程,包括表述、求解、解释、检验等,数学模型,数学建模,1.2,数学建模的重要意义,电子计算机的出现及飞速开展；,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透,.,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，,越来越受到人们的重视。,在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；,在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；,数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地,.,“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术.,数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争力具有重要意义.,“计算和建模重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径 .,数学建模的重要意义,数学建模的具体应用,分析与设计,预报与决策,控制与优化,规划与管理,数学建模,计算机技术,知识经济,如虎添翼,1.3 数学建模例如,1,.,3.1,椅子能在不平的地面上放稳吗,问题分析,模型假设,通常,三只脚着地,放稳,四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形,;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面,;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地,.,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,.,椅子位置,利用正方形,(,椅脚连线,),的对称性,.,x,B,A,D,C,O,D,C ,B,A,用,(,对角线与,x,轴的夹角,),表示椅子位置,.,四只脚着地,距离是,的函数,.,四个距离,(,四只脚,),A,C,两脚与地面距离之和 ,f,(,),B,D,两脚与地面距离之和 ,g,(,),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形,ABCD,绕,O,点旋转,正方形对称性,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,.,f,(,) ,g,(,),是,连续函数,对任意,f,(,),g,(,),至少一个为,0,数学问题,： f() , g()是连续函数 ;,对任意， f() g()=0 ;,f() 0， g() 0,且 g(0)=0， f(0) 0.,证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,模型求解,给出一种简单、粗造的证明方法,将椅子旋转900，对角线AC和BD互换.,由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0.,令h()= f()g(), 那么h(0)0和h(/2)0.,由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的根本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .,因为f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,评注和思考,建模的关键,假设条件哪些是本质的,哪些是非本质的,?,考察四脚连线呈长方形的椅子,(,习题,4),和 f(), g()确实定,1.3.2 商人们怎样平安过河,问题,(,智力游戏,), 3,名商人, ,3,名随从,随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货,.,乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能平安过河?,问题分析,多步决策过程,决策 每一步(此岸到此岸或此岸到此岸)船上的人员,要求在平安的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.,河,小船,(,至多,2,人,),模型构成,x,k,第,k,次渡河前此岸的商人数,y,k,第,k,次渡河前此岸的随从数,x,k, y,k,=0,1,2,3;,k,=1,2,s,k,=(,x,k, y,k,) ,过程的状态,S=(,x, y,),x,=0,y,=0,1,2,3;,x,=3,y,=0,1,2,3;,x,=,y,=1,2,S ,允许状态集合,u,k,第,k,次渡船上的商人数,v,k,第,k,次渡船上的随从数,d,k,=(,u,k, v,k,) ,过程的决策,D ,允许,决策,集合,u,k, v,k,=0, 1, 2;,k,=1,2,s,k,+1,=,s,k,d,k,+(-1),k,状态转移律,D=(,u, v,),u+v,=,1, 2,状态,因决策而改变,模型求解,x,y,3,3,2,2,1,1,0,穷举法,编程上机,图解法,状态,s,=(,x,y,) 16,个格点, 10,个 点,允许决策,移动,1,或,2,格,;,k,奇,左下移,;,k,偶,右上移,.,s,1,s,n,+1,d1, d11给出平安渡河方案,d,1,d,11,允许状态,S=(,x, y,),x,=0,y,=0,1,2,3;,x,=3,y,=0,1,2,3;,x=y,=1,2,求,d,k,D(,k,=1,2,n),使,s,k,S,并,按,转移律,s,k,+1,=,s,k,+,(-1),k,d,k,由,s,1,=(3,3),到达,s,n,+1,=(0,0).,模型构成,商人和随从人数增加或小船容量加大,;,商人们怎样平安过河,智力游戏,多步决策过程,(,数学模型,),易于推广,:,规格化方法,考虑,4,名商人各带一随从的情况,.,多步决策模型,:,恰当地设置状态和决策,确定状态转移律及目标,(,目标函数,).,便于求解,(,计算机编程等,),背景,年,1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999,人口,(,亿,) 5 10 20 30 40 50 60,世界人口增长概况,中国人口增长概况,年,1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000,人口,(,亿,) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0,研究人口变化规律,控制人口过快增长,1.3.3,如何预报人口的增长,指数增长模型,马尔萨斯提出,(,1798,),常用的计算公式,x,(,t,) ,时刻,t,的,人口,根本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数,今年人口,x,0,年增长率,r,k,年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,与常用公式的一致,指数增长模型的应用及局限性,与,19,世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,.,适用于,19,世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,.,可用于短期人口增长预测,.,不符合,19,世纪后多数地区人口增长规律,.,不能预测较长期的人口增长过程,.,19,世纪后人口数据,人口增长率,r,不是常数,(,逐渐下降,),阻滞增长模型,(,Logistic,模型,),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r,固有增长率,(,x,很小时,),xm人口容量资源、环境能容纳的最大数量,r,是,x,的减函数,dx,/,dt,x,0,x,m,x,m,/2,x,m,t,x,0,x,(,t,)S,形曲线,x,增加先快后慢,x,0,x,m,/2,阻滞增长模型,(,Logistic,模型,),参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口,预报，必须先估计模型参数,r,或,r, x,m,.,根据统计数据利用,线性最小二乘法,作拟合,阻滞增长模型,(,Logistic,模型,),例：美国人口数据,(,百万,),1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 2000,31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4,t,x,数据,(,t,x,),数据,(,x,y,),用最小二乘法估计,r,s,r,x,m,模型检验,用模型计算,2000,年美国人口,误差不到,3%,阻滞增长模型,(,Logistic,模型,),r,=0.2557,x,m,=392.1,用美国,18601990,年数据,(,去掉个别异常数据,),与实际数据(2000年为281.4)比较,1790,年为零点,=,274.5,Logistic,模型的应用,模型应用,参加2000年人口数据后重新估计模型参数,r,=0.2490,x,m,=434.0,x,(2010)=306.0,预报美国2021年的人口,经济领域中的增长规律,(,耐用消费品的售量,).,种群数量模型,(,鱼塘中的鱼群,森林中的树木,).,预报人口的增长,指数增长模型,阻滞增长模型,参数估计和模型检验是建模的重要步骤,.,线性最小二乘法是参数估计的根本方法.,修改假设,数学建模的根本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，,找出反映内部机理的数量规律,.,将对象看作“黑箱,通过对量测数据的,统计分析，找出与数据拟合最好的模型.,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究,(Case Studies),来学习。以下建模主要指机理分析,.,二者结合,用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数,.,1.4,数学建模的方法和步骤,数学建模的一般步骤,模,型,准,备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个,比较清晰,的问题,模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,数学建模的一般步骤,模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,模,型,假,设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,数学建模的一般步骤,模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,模,型,构,成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想象力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,模型,求解,各种数学方法、软件和计算机技术,.,如结果的误差分析、统计分析、,模型对数据的稳定性分析,.,模型,分析,数学建模的一般步骤,模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,模型,检验,与实际现象、数据比较，,检验模型的合理性、适用性.,模型应用,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,表述,求解,解释,验证,(,归纳,),(,演绎,),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译成数学问题.,选择适当的数学方法求得数学模型的解答,.,将数学语言表述的解答“翻译回实际对象.,用现实对象的信息检验得到的解答,.,实践,现实世界,数学世界,理论,实践,1.5,数学模型的特点和分类,模型的逼真性和可行性,模型的渐进性,模型的强健性,模型的可转移性,模型的非预制性,模型的条理性,模型的技艺性,模型的局限性,数学模型的特点,数学模型的分类,应用领域,人口、交通、经济、生态、,数学方法,初等数学、微分方程、规划、统计、,表现特性,描述、优化、预报、决策、,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,1.6,怎样学习数学建模,数学建模与其说是一门,技术,，不如说是一门,艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准那么,想象力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型.,亲自动手，认真作几个实际题目,.,