复变函数课件第3章 基本定理的推广 复合闭路定理

D C 1C 2C 3CD C 1C1DA A BBEE FF第 三 节 基 本 定 理 的 推 广 复 合 闭 路 定 理问 题 的 提 出1 复 合 闭 路 定 理2 小 结 与 思 考4 典 型 例 题3 一 、 问 题 的 提 出 2 .d11 , z zz计 算实 例 , 1 2 在 内 的 闭 曲 线是 包 含因 为 zz根 据 本 章 第 一 节 例 4可 知 , 2 .2d11 z izz由 此 希 望 将 基 本 定 理 推 广 到 多 连 域 中 . 二 、 复 合 闭 路 定 理1. 闭 路 变 形 原 理 , )( 在 多 连 通 域 内 解 析设 函 数 zf ),( 1 正 向 为 逆 时 针 方 向单 闭 曲 线 内 的 任 意 两 条 简为及 DCC . 11D DCC全 含 于 为 边 界 的 区 域及 D C 1C1DA A BB , BBAA 和作 两 段 不 相 交 的 弧 段 D C 1C1DA A BBEE FF , AEBB E A A 显 然 曲 线 BFABFAA , , , , , E E F F 为 了 讨 论 方 便 添 加 字 符 . 均 为 封 闭 曲 线 , D因 为 它 们 的 内 部 全 含 于 ( )d 0,AEBB E A A f z z 故 ( )d 0.AA F B BFA f z z ,AAAEBBBAEBAAEBAEB ,BFABBBFAAABFABFAA AAEBAEB zzf d)( 由 ,0d)( BFABFAA zzf 得D C 1C1DA A BBEE FFC zzf d)( 1 d)(C zzf AA zzf d)( AA zzf d)(,0d)( BB zzf BB zzf d)( ,0d)(d)( 1 CC zzfzzf即 .d)(d)( 1 CC zzfzzf或 D C 1C1DA A BBEE FF , 1 成 一 条 复 合 闭 路 看及闭 曲 线如 果 我 们 把 这 两 条 简 单 CC : 的 正 方 向 为 , C外 面 的 闭 曲 线 按 逆 时 针 进 行1 , C内 部 的 闭 曲 线 按 顺 时 针 进 行 ), , ( 的 左 手 边内 部 总 在 的的 正 向 进 行 时即 沿 .0)( dzzf那 末 解 析 函 数 沿 闭 曲 线 的 积 分 ， 不 因 闭 曲 线 在 区域 内 作 连 续 变 形 而 改 变 它 的 值 . 闭 路 变 形 原 理说 明 : 在 变 形 过 程 中 曲 线 不 经过 函 数 f(z) 的 不 解 析 的 点 . 2. 复 合 闭 路 定 理1 2 1 2 , , , , , , , , , , , n nC DC C C C C C C CD 设 为 多 连 通 域 内 的 一 条 简 单 闭 曲 线是 在 内 部 的 简 单 闭 曲 线 它 们互 不 包 含 也 互 不 相 交 并 且 以为 边 界 的 区 域 全 含 于 ( ) , f z D如 果 在 内 解 析 D C 1C 2C 3C那 末 ,d)(d)()1( 1 nk CC k zzfzzf ; kC C其 中 及 均 取 正 方 向 D C 1C 2C 3C.0d)()2( zzf 1 2 1 2 , , , , ( : , , , , ). n nC C C CC C C C 这 里 为 由 组 成 的 复 合 闭 路其 方 向 是 按 逆 时 针 进 行 按顺 时 针 进 行 . 1 ,d12 2 曲 线在 内 的 任 何 正 向 简 单 闭 为 包 含 圆 周计 算 积 分 zzzzz三 、 典 型 例 题例 1解 ,1 0 12 2 zzzzz 和内 有 两 个 奇 点 在 复 平 面因 为 函 数依 题 意 知 , xyo 1也 包 含 这 两 个 奇 点 ， 1 2 ,C C在 内 作 两 个 互 不 包 含 也 互 不 相 交 的 正 向 圆 周和 xyo 1 ,0 1 zC 只 包 含 奇 点2 1, C z 只 包 含 奇 点 1C 2C根 据 复 合 闭 路 定 理 , zzzz d122 21 d12d12 22 CC zzzzzzzz 2211 d1d11d1d11 CCCC zzzzzzzz 0220 ii .4 i d , 2 1 . ze z zzz 计 算 积 分 为 正 向 圆 周和 负 向 圆 周 所 组 成例 2 xyo 1 21C 2C解 1 2 , C C和 围 成 一 个 圆 环 域 ,zez函 数 在 此 圆 环 域 和 其 边 界上 处 处 解 析 圆 环 域 的 边 界 构 成 一 条 复 合 闭 路 ,根 据 闭 路 复 合 定 理 , .0d zzez 11 d , ( ) . n z az an 求 为 含 的 任 一 简 单 闭路 ， 为 整 数例 3解 , 内 部在 曲 线因 为 a a, 故 可 取 很 小 的 正 数1 : , z a 使 含 在 内 部 1111 ( ) ,nz a 在 以 为 边 界 的 复 连 通 域内 处 处 解 析 由 复 合 闭 路 定 理 , 1 d)( 1d)( 1 11 zazzaz nn a1,20 ieaz令 1 d)( 1 1 zaz n 20 1 d)( ni ieie 20 d ninie .0,0 0,2d)( 1 1 nnizaz n故 此 结 论 非 常 重 要 , 用 起 来 很 方便 , 因 为 不 必 是 圆 , a也 不 必是 圆 的 圆 心 , 只 要 a在 简 单 闭 曲线 内 即 可 . 例 4 001 1 d , 2 ( ), .n z zi z zn 求 为 含 的 任 意 正向 闭 曲 线 为 自 然 数解 由 上 例 可 知 ,0,0 0,2d)( 1 1 nnizaz n0 , a z此 处 不 妨 设 0 1, 11 1 d2 ( ) 0, 1.n nzi z z n 则 有 四 、 小 结 与 思 考 本 课 所 讲 述 的 复 合 闭 路 定 理 与 闭 路 变 形 原理 是 复 积 分 中 的 重 要 定 理 , 掌 握 并 能 灵 活 应 用 它是 本 章 的 难 点 .常 用 结 论 : .0,0 0,2d)( 1 1 nnizaz n 思 考 题 复 合 闭 路 定 理 在 积 分 计 算 中 有 什 么 用 ? 要注 意 什 么 问 题 ? 思 考 题 答 案 利 用 复 合 闭 路 定 理 是 计 算 沿 闭 曲 线 积 分 的最 主 要 方 法 .使 用 复 合 闭 路 定 理 时 , 要 注 意 曲 线 的 方 向 . Thank You!再 见 ！