信号相关分析原理：自相关函数,互相关函数

1 第 五 章 信 号 相 关 分 析 原 理5.1 信 号 的 互 能 量 与 互 能 谱5.2 信 号 的 相 关 分 析5.3 离 散 信 号 的 自 相 关 函 数5.4 信 号 的 互 相 关 函 数作 业 2 5.1 信 号 的 互 能 量 与 互 能 谱(一 ) 信 号 的 能 量 与 功 率信 号 的 能 量 ： 指 信 号 f(t)的 归 一 化 能 量 ， 即 信 号 的 电 压 （ 电 流 ） 加 在 1电 阻 上 所 消 耗 的 能 量 。dttfE 2|)(| （ 5.1 1）若 f(t)为 实 数 dttfE 2 )( 由 公 式 ： dtRURdtIE 22当 R=1时 ， 即 可 得 公 式 （ 5.1 1） 。对 于 能 量 信 号 E为 有 限 值 。如 果 在 无 限 大 的 时 间 间 隔 内 ，信 号 的 能 量 为 有 限 值 ， 而 信 号的 平 均 功 率 为 零 3 信 号 的 功 率 ： 信 号 电 压 （ 或 电 流 ） 在 1欧 姆 电 阻 上 所 消 耗 的 功 率 。 21 212 )(1 TT dttfTTP若 f(t)为实 函 数设 T2=T/2， T1=-T/2， 则 ： 22 2)(1 TT dttfTp在 T1， T2时 间 内 平 均 功 率 可 表 示 为 ：当 T时 22 2)(1lim TTT dttfTP （ 1.2 2） 22 2 )(1lim TTT dttfTP 5.1 信 号 的 互 能 量 与 互 能 谱 4 (二 ) 能 量 谱 与 功 率 谱5.1 信 号 的 互 能 量 与 互 能 谱 dFdttfE 22 )(21)(其 中 |F()|2 表 明 了 信 号 能 量 在 频 域 的 分 布 情 况 ， 所 以被 称 为 能 量 谱 密 度 ,简 称 能 谱 。 记 作 ： 2)()( FW 因 为 能 谱 是 频 谱 密 度 模 的 平 方 ， 与 相 位 无 关 。对 波 形 相 同 而 时 间 位 置 不 同 的 所 有 信 号 ， 其 能 谱 完 全 相 同 。 1. 能 量 谱 : 该 式 为 帕 色 伐 尔 （ 斯 瓦 尔 ） 定 理 ， 又 成 称 为 瑞 利 公 式 。它 表 明 ： 对 于 能 量 信 号 ， 在 时 域 内 计 算 的 信 号 能 量 与 在 频 域内 计 算 的 信 号 能 量 相 等 。 5 5.1 信 号 的 互 能 量 与 互 能 谱2. 功 率 谱 ：设 是 的 截 短 函 数)(0 tfT )(tf 22000 0 )()( TTT tttftf则 f(t)的 功 率 谱 密 度 函 数 为 0 2)(lim)( 00 TFS TT 所 以 dSP )(21 6 5.1 信 号 的 互 能 量 与 互 能 谱(三 ) 两 信 号 的 互 能 量两 信 号 x(t) 、 y(t)之 和 的 能 量 为 ： dttytxE 2)()( dttytxdttydttx )()(2)()( 22 xyyx EEE 信 号 的 互 能 量 为 ： dttytxExy )()(2两 函 数 的 标 量 积 ： dttytxyx )()(),( （ 两 信 号 之 和 的 能 量 ， 除了 包 含 两 信 号 各 自 的 能 量外 ， 还 包 含 一 项 Exy） 7 5.1 信 号 的 互 能 量 与 互 能 谱若 信 号 x(t) 和 y(t) 为 实 函 数 ， 其 频 谱 密 度 分 别 为)()( YX 和 ， 则 dYXdttytxyx )()(21)()(),(四 ) 广 义 瑞 利 公 式 、 互 能 谱1. 广 义 瑞 利 公 式 ：2. 互 能 谱 ： )()()( YXWxyWxy()称 为 信 号 x(t)、 y(t)的 互 能 谱 密 度 ， 简 称 互 能 谱 。 8 5.2 信 号 的 相 关 分 析（ 一 ） 信 号 的 自 相 关 函 数为 了 定 量 地 确 定 信 号 x(t) 与 时 移 副 本 x(t-) 的 差 别 或相 似 程 度 ， 通 常 用 自 相 关 函 数 ： dttxtxRx )()()( 自 相 关 函 数 的 特 点 ：1. 自 相 关 函 数 是 偶 函 数 )()( RR2. 当 =0 时 ， 自 相 关 函 数 等 于 信 号 的 能 量 xx EdttxR )()0( 23. Rx(0)为 自 相 关 函 数 的 最 大 值 9 5.2 信 号 的 相 关 分 析（ 二 ） 无 限 长 信 号 的 自 相 关 函 数 无 限 长 非 周 期 函 数 ： 由 有 限 时 间 信 号 的 周 期 T0趋 于 无 穷 大 时 获 得 的 。为 使 所 得 R() 的 表 达 式 不 发 散 ， 定 义 新 自 相 关 函 数 ： 20200 )()(1lim)( 0 TT dttxtxTR Tx 周 期 函 数 ： 其 自 相 关 函 数 为 22 )()(1)( TT dttxtxTRx 周 期 信 号 的 自 相 关 函 数 是 的 周 期 函 数 ， 周 期 为 T。当 =0 或 T 的 整 数 倍 时 ， x(t- )=x(t), Rx()达 到 最 大 值 ，为 x(t)的 平 均 功 率 。 10 5.2 信 号 的 相 关 分 析（ 四 ） 自 相 关 函 数 与 能 谱 的 关 系 deXR jx 2)(21)( deW jx )(21可 见 ， 自 相 关 函 数 等 于 信 号 能 谱 的 傅 立 叶 变 换 。 由此 易 得 ： deRW jxx )()( 11 5.2 信 号 的 相 关 分 析（ 五 ） 自 相 关 函 数 与 功 率 谱 的 关 系维 纳 辛 钦 （ Wiener-K hintchine） 关 系 ：S()为 信 号 的 功 率 谱 密 度 ， 0 2)(lim)( 00 TXs TT 则 ： deRS j)()( deSR j)(21)( 12 5.3 离 散 信 号 的 自 相 关 函 数离 散 信 号 的 自 相 关 函 数 ： j njxjxnR )()()(性 质 ：1、 离 散 自 相 关 函 数 是 偶 函 数 )()( nRnR 2、 在 n=0时 ， 自 相 关 函 数 就 是 离 散 信 号 的 能 量 xjx EjxR )()0( 2 13 5.4 信 号 的 互 相 关 函 数（ 一 ） 互 相 关 函 数设 x(t)、 y(t) 为 能 量 信 号 ， 则 x(t)、 y(t) 的 互 相 关 函 数 为 dttytxRxy )()()( dttxtyRyx )()()( 式 中 为 两 信 号 的 时 差 。描 述 两 信 号 之 间 的 相 互 关 系 ，即 两 信 号 波 形 的 相 似 程 度 ， 时间 轴 上 的 位 置 差 别如 果 两 信 号 正 交 0)()( dttytx说 明 正 交 信 号 之 间 毫 无 相 似 之 处 。 14 20200 )()(1lim)( 0 TT dttytxTR Txy 20 200 )()(1lim)( 0 TT dttxtyTR Tyx 若 x(t),y(t) 为 功 率 信 号 ， 则 x(t), y(t) 的 互 相 关 函 数 为 5.4 信 号 的 互 相 关 函 数 15 互 相 关 函 数 性 质 ：1、 互 相 关 函 数 不 是 偶 函 数 。)()( xyxy RR )()( yxyx RR2、 和 不 是 同 一 个 函 数 ， 即 ：)( xyR )(yxR )()( yxxy RR 但 存 在 下 列 关 系 ： )()( yxxy RR 5.4 信 号 的 互 相 关 函 数 16 （ 二 ） 相 关 与 卷 积 的 关 系卷 积 ： dtyxtytx )()()()(互 相 关 ： dtyxRxy )()()( 5.4 信 号 的 互 相 关 函 数 17 （ 三 ） 相 关 定 理若 ， 的 频 谱 函 数 分 别 为 ， )(tx )(ty )(X )(Y则 ： )()()( YXRF xy )()()( XYRF yx由 此 可 见 ， 两 信 号 的 互 相 关 函 数 和 互 能 谱 是 一 对 傅 立 叶 变 换 。)()()()( YXWR xyxy（ 四 ） 离 散 信 号 的 互 相 关 函 数 jxy njyjxR )()()( 5.4 信 号 的 互 相 关 函 数 18 作 业 ： 5-3， 5-4， 5-10， 5-11